2019年山西省中考模拟百校联考数学试卷（三）（解析版）

2019年山西省中考模拟百校联考数学试卷（三）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．（3分）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（　　）

A．100° B．80° C．40° D．10°

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6

C．（﹣x3）2÷x5＝1 D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝﹣x

3．（3分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在直线AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长为6.5m．由此，他可以知道A．B间的距离为（　　）

A．12m B．12.5m C．13m D．13.5m

4．（3分）某体校要从四名射击选手中选拔一名选手参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶10次，他们各自的平均成绩及其方差如下表所示：

如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．（3分）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，且∠CAB＝34°，则∠D的度数是（　　）

A．44° B．54° C．56° D．66°

6．（3分）探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数y＝2x2与一次函数y＝x+2的图象，求一元二次方程2x2＝x+2的近似根”小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根x1和x2满足﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．小华的上述方法体现的数学思想是（　　）

A．公理化 B．分类讨论

C．数形结合 D．由特殊到一般

7．（3分）在一个不透明的袋中，装有2个黄球和3个红球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出两个球，则这两个球颜色不同的概率是（　　）

A． B． C． D．

8．（3分）某种品牌自行车的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可打的折数是（　　）

A．八折 B．八四折 C．八五折 D．八八折

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为（　　）

A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12

10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点O为其中心．将其绕点O顺时针旋转45°后得到正方形A'B'C'D'，则旋转前后两正方形重叠部分构成的多边形的周长为（　　）（参考计算：，）

A．16﹣8 B．16﹣16 C．12﹣8 D．16﹣12

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）不等式组的解集是　 　．

12．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形组成，其中正方形涂有阴影．依此规律，第n个图案中有　 　个涂有阴影的正方形（用含有n的代数式表示）．

13．（3分）盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为　 　元．

14．（3分）某兴趣小组同学借助无人机航拍测量某公园内一座古塔高度．如图，无人机在距离地面168米的A处，测得该塔底端点B的俯角为40°，然后向古塔方向沿水平面飞行50秒到达点C处，此时测得该塔顶端点D的俯角为60°．已知无人机的飞行速度为3米/秒，则这座古塔的高度约为　 　米（参考计算：sin40°≈064．cos40°≈077．tan40°≈0.84.1.41.1.73．结果精确到0.1米）

15．（3分）如图，平行四边形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，∠BAD＝120°，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC．AF与DE交于点G，则AG的长为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（10分）（1）计算：﹣|﹣4|+（）﹣2﹣4

（2）化简：÷

17．（9分）截至2019年5月，山西省政府大力实施的建设“山西农谷”战略成果初现，“山两农谷”通过组建山西农谷生物科技研究院，逐步建成大学生“互联网+农业”创新创业园．某校科技小组到该创业园的全环境智能番茄特色小镇进行综合实践活动，随机调查了60株“农谷一号“番茄的挂果数量（单位：个），并绘制了如下不完靠的统计图表：

“农谷一号”番茄挂果数量统计表

请结合图表中的信息解答下列问题：

（l）统计表中，a＝　 　，若绘制“农谷一号”番茄挂果数量扇形统计图，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为　 　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）若所种植的“农谷一号”番茄有1000株，请估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄株数．

18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B，C在x轴上，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象经过A，E两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限内的D，H两点，正方形EFCH的顶点F．G在AD上．已知A（﹣1，a），B（﹣4，0）．

（1）求点C的坐标及k的值；

（2）直接写出正方形EFGH的边长．

19．（7分）阅读与探究

请阅读下列材料，完成相应的任务：

幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等，例如，图1是一个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到3x3的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，我们称这种幻方为“数字连续型三阶幻方”．

任务：（1）观察图1中三阶幻方中间的数字与9个数的和，可以发现二者有确定的数量关系．设“数字连续型三阶幻方中间的数字是x，幻方中9个数的和为s，则s与x之间的数量关系为　 　；

（2）现要用9个数3，4，5，6，7，8，9，10，11构造一个三阶幻方．请将构造的幻方填写在图2的3×3方格中；

（3）某学习小组同学在研究图1的三阶幻方时，发现任何一个角上的数都有两个数与其不在同一行、列及对角线上，并且它们之间存在一个等量关系．为此该小组同学绘制了图3，请你用图3中的字母m，a，b表示他们发现的这个等量关系．（直接写出，不必证明）

20．（7分）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆上有一点C，且∠ABC＝60°，点D为AO上一点．将△DBC沿直线DC对折得到△DB'C，点B的对应点为B′，且B'C与半圆相切于点C，连接B′O交半圆于点E．

（1）求证：B'D⊥AB；

（2）当AB＝2时，求图中阴影部分面积．

21．（9分）某书店积极响应政府“改革创新，奋发有为”的号召，举办“读书节“系列活动．活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买故事类图书的数量恰好比单独购买典籍类图书的数量少10本．

（1）求活动中典籍类图书的标价；

（2）该店经理为鼓励广大读者购书，免费为购买故事类的读者赠送图1所示的精致矩形包书纸．在图1的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．已知该包书纸的面积为875cm2（含阴影部分），且正好可以包好图2中的《中国故事》这本书，该书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，请直接写出该包书纸包这本书时折叠进去的宽度．

22．（12分）综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝4cm，AD＝3cm．连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD和△BCE．保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）．

操作发现

（1）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，则当α＝0°时，的值是　 　；

（2）如图2，将图1中的△BCE旋转，当点E落在BA延长线上时停止旋转，求出此时的值；

实践探究

（3）如图3，将图2中的△BCE继续旋转，当AC＝AE时停止旋转，直接写出此时α的度数，并求出△AEC的面积；

（4）将图3中的△BCE继续旋转，则在某一时刻AC和AE还能相等吗？如果不能，则说明理由；如果能，请在图4中画出此时的△BCE，连接AC，AE，并直接写出△AEC的面积值．

23．（13分）综合与探究

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+3与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点A坐标为（﹣1，0）．直线l为该抛物线的对称轴，且交直线BC于点D．抛物线上有一动点P，且横坐标为m（4＜m＜9），连接PD，过点P作PE⊥l于点E．

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式．

（2）当△DEP与△BOC相似时，求m的值；

（3）如图2，点M为直线BC上一动点，是否存在点P，使得以点A，C，P．M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出此时点P和点M的坐标；若不存在，说明理由．

2019年山西省中考模拟百校联考数学试卷（三）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．（3分）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（　　）

A．100° B．80° C．40° D．10°

【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．

【解答】解：∵∠A＝80°，

∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°．

故选：A．

【点评】此题主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6

C．（﹣x3）2÷x5＝1 D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝﹣x

【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可

【解答】解：A、x2和x3不能合并，故本选项不符合题意；

B、结果是x5，故本选项不符合题意；

C、结果是x，故本选项不符合题意；

D、结果是﹣x，故本选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．

3．（3分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在直线AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长为6.5m．由此，他可以知道A．B间的距离为（　　）

A．12m B．12.5m C．13m D．13.5m

【分析】根据三角形中位线定理解答．

【解答】解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，

∴AB＝2MN＝13（m），

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

4．（3分）某体校要从四名射击选手中选拔一名选手参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶10次，他们各自的平均成绩及其方差如下表所示：

如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【分析】先比较平均数，再根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．

【解答】解：∵＝＞＞，

∴应从甲和丙中选择，

∵S甲2＝0.56＞S丙2＝0.94，方差小的为甲，

∴应选择的选手是甲．

故选：A．

【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

5．（3分）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，且∠CAB＝34°，则∠D的度数是（　　）

A．44° B．54° C．56° D．66°

【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角是90°和圆周角定理解答即可．

【解答】解：连接BC，

∵AC是⊙O的直径，∠CAB＝34°，

∴∠C＝56°，

∴∠D＝56°，

故选：C．

【点评】本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角．

6．（3分）探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数y＝2x2与一次函数y＝x+2的图象，求一元二次方程2x2＝x+2的近似根”小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根x1和x2满足﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．小华的上述方法体现的数学思想是（　　）

A．公理化 B．分类讨论

C．数形结合 D．由特殊到一般

【分析】结合图象解答题目，属于数形结合的数学思想．

【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数形结合的数学思想．

故选：C．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

7．（3分）在一个不透明的袋中，装有2个黄球和3个红球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出两个球，则这两个球颜色不同的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色不同的结果数，再利用概率公式计算可得．

【解答】解：列表如下：

由表知共有20种等可能结果，其中这两个球颜色不同的有12种结果，

所以这两个球颜色不同的概率为＝，

故选：A．

【点评】此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

8．（3分）某种品牌自行车的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可打的折数是（　　）

A．八折 B．八四折 C．八五折 D．八八折

【分析】设打x折，则售价是500×元．根据利润率不低于5%就可以列出不等式，求出x的范围．

【解答】解：要保持利润率不低于10%，设可打x折．

则500×﹣400≥400×5%，

解得x≥8.4．

故选：B．

【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率，是解题的关键．

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为（　　）

A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出△OAP的面积S＝|k|＝2S△PAB的面积，再根据双曲线所在的象限即可求出k的值

【解答】

解：

∵点B为AO的中点，△PAB的面积为3

S△OAP＝2S△PAB＝2×3＝6

又∵S△OAP＝|k|

∴|k|＝6，|k|＝12

双曲线一支位于第二象限，所以k＜0

因此，k＝﹣12

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等 |k|．

10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点O为其中心．将其绕点O顺时针旋转45°后得到正方形A'B'C'D'，则旋转前后两正方形重叠部分构成的多边形的周长为（　　）（参考计算：，）

A．16﹣8 B．16﹣16 C．12﹣8 D．16﹣12

【分析】首先求出正方形的对角线长；进而求出OA′的长；证明△A′MN为等腰直角三角形，求出A′N的长度；同理求出D′M′的长度，即可解决问题．

【解答】解：连接OA′，交AB于M，如图所示：

∵正方形ABCD的边长为2，

∴该正方形的对角线长＝2，

∴OA′＝；而OM＝1，

∴A′M＝﹣1；

由题意得：∠MA′N＝45°，∠A′MN＝90°，

∴∠MNA′＝45°，

∴MN＝A′M＝﹣1；

由勾股定理得：A′N＝2﹣；

同理可求D′M′＝2﹣，

∴NM'＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2，

∴正八边形的边长为2﹣2，

故重叠部分构成的多边形的周长为8（2﹣2）＝16﹣16

故选：B．

【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用；应牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）不等式组的解集是　﹣1＜x≤2　．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式x﹣2＞﹣3，得：x＞﹣1，

解不等式2（x﹣2）≥3x﹣6，得：x≤2，

则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，

故答案为：﹣1＜x≤2．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

12．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形组成，其中正方形涂有阴影．依此规律，第n个图案中有　（2+2n）　个涂有阴影的正方形（用含有n的代数式表示）．

【分析】根据题目中的图形可以发现正方形个数的变化规律，可以求得第n个图案中正方形的个数．

【解答】解：∵第1个图案中有4个涂有阴影的正方形，

第2个图案中有6＝2×2+2个涂有阴影的正方形，

第3个图案中有8＝2×3+2个涂有阴影的正方形，

…

∴第n个图案中有 （2+2n）个涂有阴影的正方形，

故答案为：（2+2n）．

【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

13．（3分）盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为　53　元．

【分析】设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，

依题意，得：，

解得：．

故答案为：53．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

14．（3分）某兴趣小组同学借助无人机航拍测量某公园内一座古塔高度．如图，无人机在距离地面168米的A处，测得该塔底端点B的俯角为40°，然后向古塔方向沿水平面飞行50秒到达点C处，此时测得该塔顶端点D的俯角为60°．已知无人机的飞行速度为3米/秒，则这座古塔的高度约为　81.5　米（参考计算：sin40°≈064．cos40°≈077．tan40°≈0.84.1.41.1.73．结果精确到0.1米）

【分析】作AE⊥地面于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，根据正切的定义求出BE，再根据正切的定义计算即可．

【解答】解：作AE⊥地面于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，

则四边形AEBF为矩形，

∴BF＝AE＝168，AF＝BE，

在Rt△AEB中，tan∠ABE＝，

则BE＝≈＝200，

∴CF＝AF﹣AC＝200﹣50×3＝50，

在Rt△CFD中，tan∠FCD＝，

则DF＝CF•tan∠FCD≈50×1.73＝86.5，

∴BD＝168﹣86.5＝81.5（米）

故答案为：81.5．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

15．（3分）如图，平行四边形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，∠BAD＝120°，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC．AF与DE交于点G，则AG的长为　　．

【分析】延长DE交直线BC于H，如图，利用平行四边形的性质和边长之间的关系证明△ABF为等边三角形得到AF＝AB＝2，再证明△ADE≌△BEH得到BH＝AD＝3，然后证明△ADG∽△FHG得到＝＝，最后利用比例性质计算出AG．

【解答】解：延长DE交直线BC于H，如图，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BC＝AD＝3，AD∥BC，

∴∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，

∵AD＝3，AB＝2，BF＝2FC，

∴BF＝2＝AB，

∴△ABF为等边三角形，

∴AF＝AB＝2，

∵E为AB的中点，

∴AE＝BE，

而∠H＝∠ADE，∠AED＝∠BEH，

∴△ADE≌△BEH，

∴BH＝AD＝3，

∵AD∥FH，

∴△ADG∽△FHG，

∴＝＝，

∴＝，

∴AG＝×2＝．

故答案为．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（10分）（1）计算：﹣|﹣4|+（）﹣2﹣4

（2）化简：÷

【分析】（1）根据二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂法则进行计算，再合并同类二次根式便可；

（2）先分解因式，再将分式除法转化成分式乘法进行约分计算便可．

【解答】解：（1）原式＝3﹣4+9﹣2

＝；

（2）原式＝÷

＝•

＝x．

【点评】本题是实数的运算与分式的乘除运算，关键是熟练掌握各个法则和计算步骤，是基础题，难度不大，要求迅速、准确地进行计算．

17．（9分）截至2019年5月，山西省政府大力实施的建设“山西农谷”战略成果初现，“山两农谷”通过组建山西农谷生物科技研究院，逐步建成大学生“互联网+农业”创新创业园．某校科技小组到该创业园的全环境智能番茄特色小镇进行综合实践活动，随机调查了60株“农谷一号“番茄的挂果数量（单位：个），并绘制了如下不完靠的统计图表：

“农谷一号”番茄挂果数量统计表

请结合图表中的信息解答下列问题：

（l）统计表中，a＝　0.25　，若绘制“农谷一号”番茄挂果数量扇形统计图，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为　72°　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）若所种植的“农谷一号”番茄有1000株，请估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄株数．

【分析】（1）根据频率＝频数÷总数可得a的值，用360°乘以对应的频率可得其圆心角度数；

（2）总人数乘以35≤x＜45的频率可得其人数，再根据各组人数之和等于总人数可得55≤x＜65的人数，从而补全图形；

（3）根据样本估计总体思想求解可得．

【解答】解：（1）a＝15÷60＝0.25，

挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为360°×0.2＝72°，

故答案为：0.25，72°；

（2）35≤x＜45的人数为60×0.2＝12（人），

55≤x＜65的人数为60﹣（6+12+15+9）＝18（人），

（3）1000×＝300（株）

答：估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄约为300株．

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和用样本估计总体．

18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B，C在x轴上，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象经过A，E两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限内的D，H两点，正方形EFCH的顶点F．G在AD上．已知A（﹣1，a），B（﹣4，0）．

（1）求点C的坐标及k的值；

（2）直接写出正方形EFGH的边长．

【分析】（1）将A（﹣1，a）代入y＝﹣中，得a＝4．求得点A的坐标为（﹣1，4），过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，根据勾股定理得到A B＝＝＝5，推出四边形ABCD是菱形，求得点C坐标为（1，0），点D坐标为（4，4），把点D（4，4）代入y＝中，于是得到结论；

（2）设正方形EFGH的边长为a，得到E（﹣，a+4），得到H（，a+4），根据正方形的性质列方程解得a＝2﹣2，（负值舍去）．于是得到结论．

【解答】解：（1）将A（﹣1，a）代入y＝﹣中，得a＝4．

∴点A的坐标为（﹣1，4），

过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，

∴∠A MB＝∠DNC＝90°，

∴AM∥DN．

则MO＝1，AM＝4．

∵点B（﹣4，0），

∴OB＝4，BM＝BO﹣MO＝3．

在Rt△ABM中，A B＝＝＝5，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝MN＝5，AM＝DN＝4，OC＝BC﹣BO＝5﹣4＝1，ON＝MN﹣M0＝5﹣1＝4．

∴点C坐标为（1，0），点D坐标为（4，4），

把点D（4，4）代入y＝中，得k＝16；

（2）设正方形EFGH的边长为a，

则∵E点反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，

∴在E（﹣，a+4），

∵H点在y＝的图象上，

∴H（，a+4），

∴﹣（﹣）＝a，

解得：a＝2﹣2，（负值舍去）．

∴正方形EFGH的边长为2﹣2．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

19．（7分）阅读与探究

请阅读下列材料，完成相应的任务：

幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等，例如，图1是一个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到3x3的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，我们称这种幻方为“数字连续型三阶幻方”．

任务：（1）观察图1中三阶幻方中间的数字与9个数的和，可以发现二者有确定的数量关系．设“数字连续型三阶幻方中间的数字是x，幻方中9个数的和为s，则s与x之间的数量关系为　s＝9x　；

（2）现要用9个数3，4，5，6，7，8，9，10，11构造一个三阶幻方．请将构造的幻方填写在图2的3×3方格中；

（3）某学习小组同学在研究图1的三阶幻方时，发现任何一个角上的数都有两个数与其不在同一行、列及对角线上，并且它们之间存在一个等量关系．为此该小组同学绘制了图3，请你用图3中的字母m，a，b表示他们发现的这个等量关系．（直接写出，不必证明）

【分析】（1）求出9个数的和即可解决问题；

（2）9个数的平均数为7，故中间应该是7；

（3）根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可．

【解答】解：（1）三阶幻方如图所示：

用x的代数式表示幻方中9个数的和s＝（x+3）+（x﹣4）+（x+1）+（x﹣2）+（x+2）+x+（x﹣1）+（x+4）+（x﹣3）＝9x．

故答案为：s＝9x；

（2）如图所示（答案不唯一）：

（3）m＝．

【点评】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键．

20．（7分）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆上有一点C，且∠ABC＝60°，点D为AO上一点．将△DBC沿直线DC对折得到△DB'C，点B的对应点为B′，且B'C与半圆相切于点C，连接B′O交半圆于点E．

（1）求证：B'D⊥AB；

（2）当AB＝2时，求图中阴影部分面积．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠B'CO＝90，根据等边三角形的性质、翻转变换的性质计算，得到∠B′DB＝90°，证明结论；

（2）求出∠B′OC＝45°，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵B'C与半圆相切于点C，

∴∠B'CO＝90，

∵OC＝OB，∠ABC＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠OCB＝60°，∠B'CB＝∠B'CO+∠OCB＝90°+60°＝150°，

∵△DBC沿直线DC对折得到△DB'C，

∴∠DCB＝∠B’CB＝＝75°，

在△DBC中，∠CDB＝180°﹣∠ABC﹣∠DCB＝180°﹣75°﹣60°＝45°

∴∠B′DB＝2∠CDB＝2×45°＝90°，

∴B′D⊥AB；

（2）解：∵AB＝2，△OBC是等边三角形，

∴OC＝OB＝BC＝B'C＝1，

∵∠B'CO＝90°，

∴∠B′OC＝45°，

∴阴影部分的面积＝S△B′OC﹣S扇形EOC＝B′C•CO﹣＝﹣＝．

【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、翻转变换的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

21．（9分）某书店积极响应政府“改革创新，奋发有为”的号召，举办“读书节“系列活动．活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买故事类图书的数量恰好比单独购买典籍类图书的数量少10本．

（1）求活动中典籍类图书的标价；

（2）该店经理为鼓励广大读者购书，免费为购买故事类的读者赠送图1所示的精致矩形包书纸．在图1的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．已知该包书纸的面积为875cm2（含阴影部分），且正好可以包好图2中的《中国故事》这本书，该书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，请直接写出该包书纸包这本书时折叠进去的宽度．

【分析】（1）设典籍类图书的标价为元，根据购买两种图书的数量差是10本，列出方程并解答；

（2）矩形面积＝（2宽+1+2折叠进去的宽度）×（长+2折叠进去的宽度）．

【解答】解：（1）设典籍类图书的标价为元，

由题意，得﹣10＝．

解得x＝18．

经检验：x＝18是原分式方程的解，且符合题意．

答：典籍类图书的标价为18元；

（2）设折叠进去的宽度为ycm，则（2y+15×2+1）（2y+21）＝875，

化简得y2+26y﹣56＝0，

∴y＝2或﹣28（不合题意，舍去），

答：折叠进去的宽度为2cm．

【点评】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，（2）题结合了矩形面积的求法考查了图形的折叠问题，能够得到折叠进去的宽度和矩形纸的长、宽的关系，是解决问题的关键．

22．（12分）综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝4cm，AD＝3cm．连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD和△BCE．保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）．

操作发现

（1）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，则当α＝0°时，的值是　　；

（2）如图2，将图1中的△BCE旋转，当点E落在BA延长线上时停止旋转，求出此时的值；

实践探究

（3）如图3，将图2中的△BCE继续旋转，当AC＝AE时停止旋转，直接写出此时α的度数，并求出△AEC的面积；

（4）将图3中的△BCE继续旋转，则在某一时刻AC和AE还能相等吗？如果不能，则说明理由；如果能，请在图4中画出此时的△BCE，连接AC，AE，并直接写出△AEC的面积值．

【分析】（1）如图1中，连接AC，理由勾股定理求出AC即可解决问题．

（2）如图2中，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△AFC中，求出AF，FC即可解决问题．

（3）结论：α的度数为60°．如图3中，设EC的中点为G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H．解直角三角形求出AG即可解决问题．

（4）结论：AC和AE还能相等，△BCE位置如图4所示：取CE的中点G，连接AG，作BH⊥AG于H．求出AG即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，

∴AC＝＝＝5，

∵AE＝AD＝3，

∴＝，

故答案为．

（2）如图2中，过点C作CF⊥AB于点F，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，

∴EC＝4，BC＝3，∠BAD＝∠BCE＝90°，

∴BD＝BE＝＝＝5，

∴sin∠FBC＝＝．cos∠FBC＝＝，

在Rt△BFC中，BF＝BC•cos∠FBC＝3×＝，FC＝BC•sin∠FBC＝3×＝，

∴AF＝AB﹣BF＝4﹣＝，

在Rt△AFC中，AC＝＝＝，

∴AE＝BE﹣AB＝5﹣4＝1

∴＝．

（3）结论：α的度数为60°．

理由：如图3中，设EC的中点为G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H．

∵AC＝AE，EG＝GC，

∴AG⊥EC，

∵∠GCH＝180°﹣∠ECB＝180°﹣90°＝90°，

∴∠AGC＝∠GCH＝∠AHC＝90°，

∴四边形AGCH是矩形，

∴GC＝AH＝EC＝4＝2，

在Rt△ABH中，BH＝＝＝2，

∴AG＝CH＝BH﹣BC＝2﹣3，

∴S△AEC＝EC•AG＝×4×（2﹣3）＝（4﹣6）cm2．

（4）结论：AC和AE还能相等，△BCE位置如图4所示：

取CE的中点G，连接AG，作BH⊥AG于H．

同法可得：GH＝BC＝3，AH＝2，

∴AG＝2+3，

∴S△AEC＝EC•AG＝×4×（2+3）＝（4+6）cm2．

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

23．（13分）综合与探究

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+3与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点A坐标为（﹣1，0）．直线l为该抛物线的对称轴，且交直线BC于点D．抛物线上有一动点P，且横坐标为m（4＜m＜9），连接PD，过点P作PE⊥l于点E．

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式．

（2）当△DEP与△BOC相似时，求m的值；

（3）如图2，点M为直线BC上一动点，是否存在点P，使得以点A，C，P．M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出此时点P和点M的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）将点A坐标代入可求抛物线解析式，求出B、C坐标，待定系数法求出直线BC的解析式

（2）分类讨论相似关系，当△DEP～△COB和当△DEP～ABOC时，找好边角的对应关系，可求m的值．

（3）因为点P的坐标范围要求，所以点P只存在一种情况，利用全等关系，解方程等量关系获得点M和P点坐标．

【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）代入y＝ax2+x+3中，得a＝﹣∴抛物线的函数表达式为，y＝﹣x2+x+3

当x＝0，得y＝3∴点C的坐标为（0，3）

当y＝0时，得﹣y＝﹣x2+x+3＝0

解，得x1＝﹣1，x2＝9．∵点A在点B左侧点B坐标为（9，0）

设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，

把点B（9，0）和C（0，3）代入上式，

得 解得∴直线BC的函数表达式为y＝x+3

（2）在Rt△BOC中，OB＝9，OC＝3，∵PE⊥l于点E．∠PED＝∠BOC＝90°．

∵直线l为抛物线y＝﹣x2+x+3的对称轴，

∴直线l为x＝﹣＝﹣÷[2×（﹣）]＝4

∴点D和E的横坐标为4

把x＝4代入y＝x+3中，得y＝x4+3＝．

∴点D坐标为（4，）

∵点P是抛物线上的点，

∴设P（m，﹣m2+m+3），E（4，﹣m2+m+3）

∵4＜m＜9，且△DEP与△BOC相似

∴点E在点D上方，点P在点E右侧．

∴DE＝﹣m2+m+3﹣＝﹣m2+m+，PE＝m﹣4

①当△DEP～ABOC时，＝，

即＝

解得m1＝，m2＝（舍）

②当△DEP～△COB时，＝，

即＝

解得m1＝8，m2＝﹣1（舍）

∴当△DEP与△BOC相似时，m的值为或8

（3）∵点P的横坐标在4与9之间

∴A、C、P、M组成的平行四边形只有一种情况，如图

可证△PMN≌△ACO（AAS）

∴OA＝MN＝1，PN＝CO＝3

设点M（m，）

则P（m+1，+3）

将点P坐标代入解析式，可解得m＝

∴存在点P坐标为（，），点M坐标为（，）

【点评】本题考查了待定系数法求解析式，相似存在性问题以及平行四边形存在性问题，综合内容较多，是一道很好的入门级压轴问题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6cef43a6ec630b1c59eef8c75fbfc77da26997c1.html