人教版高一数学必修一全套教案课程

必修 1

引入课题

今天我们学习高中数学的第一章集合与函数，初中我们就学习过函数，高中我们将在集合的背景下重新学习函数，所以我们从今天开始先学习集合，（板书）下面请咱班的全体同学把课本翻到第二页，在这里，咱班的全体同学就构成了一个集合。小学和初中我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，不等式解的集合，平面内到一条线段两个端点距离相等的点的集合。那么集合的含义是什么呢？

阅读课本P2-5内容，附加（9）我国的小河流；（10）全班成绩好的学生

其中（1）--（8）都是把一些确定的元素组成的总体叫集合，而（9），（10）其研究对象含糊不清，不明确，不能作为一个集合

二、新课教学

1，集合的有关概念

一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

比如说咱们班全体同学构成了一个集合，其元素是每一位同学。

同学们举例-----

2，关于集合的元素的特征

教室内帅气的男生能否构成一个集合？

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

今天上了哪些课程？今天数学是联排课，数学用不用说两遍？

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

咱班的同学按照姓氏笔画排列一遍，再按照年龄大小排列一遍，是不是同一个集合？

无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

练习：判定是否是集合？

（1）方程x*2-2x+1=0的解集（2）鲁迅，π，上海

说明：其中前两个性质作为集合的判定定理

3，元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：aA

会不会有第三种关系，即不确定属于不属于？（确定性）

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。

4．集合与元素的字母表示：

集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示；集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

5．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；（自然英文首字母）

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；（zheng）

有理数集，记作Q；（QQ交朋友）

实数集，记作R；（真实的英文首字母）

区分有理数，无理数：

有理数：整数，分数，小数，无限循环小数

无理数：无限不循环小数，典型代表，π，e

6,我们可以用自然语言来描述一个集合，比如说“四大洋”，这个集合有几个元素？元素个数比较少，我们可以一一列举出来，这就是集合的表示方法之一，列举法，再比如2，4，6，7这四个数构成的集合，用自然语言描述不好描述，用列举法就很简单，

下面我们看看列举法的一般的书写格式

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫

列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

例1．（课本例1）用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；

（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；

（4）方程组的解组成的集合

说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

　　　2．各个元素之间要用逗号隔开；

　　　3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

　　　5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号， 象自然数集Ｎ用列举法表示为

6，{实数集}，{R}也是错误的，这里的{ 　}已包含“所有”的意思。

思考：你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？无法用列举法（元素个数无限多，而且不容易写出规律加省略号），但是这些元素共同的性质很容易概括，x<10

得出描述法的定义：

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{　}内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；

例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；

（3）方程组的解。

描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}， {x|y= x2+3x+2}, {y/3|y= x2+3x+2}是不同的集合，

探究：课本P5最后一段话；生活的的例子适合用自然语言，比如说我们班的全体同学，元素个数有限且较少更适合列举法，元素个数多或则无法一一列举适合但共同属性很容易概括适用于描述法

归纳小结：1---6

提升：集合是高中数学的一个重要平台，学好集合基本知识，为我们在这个平台上施展抱负做好准备。

一、复习回顾：

1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？

（1）10以内3的倍数； （2）1000以内3的倍数

2.用适当的符号填空： 0 N； Q； -1.5 R。

思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

二、新课教学

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

（1），；

（2），；

（3），

由学生通过观察得结论。

1． 子集的定义：

对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：

读作：A包含于B，或B包含A

当集合A不包含于集合B时，记作

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

如：（1）中

2． 集合相等定义：

如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。（可以类比两个实数相等）

如（3）中的两集合。（相等，子集两种写法都对）

3． 真子集定义：

若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。

记作：A B（或B A）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

如：（1）和（2）中A B，C D；（子集，真子集两种写法都对）

探究A是B的子集可能包含了什么情况？

4． 空集定义：方程x*2+1=0的解集？你还能举出不含任何元素的集合吗？

不含有任何元素的集合称为空集，记作：。

5． 几个重要的结论：

（1） 空集是任何集合的子集；

（2） 空集是任何非空集合的真子集；

（3） 任何一个集合是它本身的子集；

（4） 对于集合A，B，C，如果，且，那么。

（5） 例3，练习1，

注意：1）分类讨论要不重不漏，有逻辑性，可以按照元素的个数分类，

2) 归纳法有猜想的成分，不严谨，我们学习了排列组合可以严谨证明

应用：（1，2）真含于A含于（1，2，3，4，5）求满足条件的集合A的个数

变式：（1，2）真含于A含于（1，2，3，4，5，6，7）

课本P7练习2，3

注意：集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；

归纳小结：

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符号；并用Venn图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用。

提升：集合已经学习了两节课，学习了不少概念，集合是数学的基本语言，同学们现在好比是牙牙学语的幼儿，希望同学们理解并记牢，快速成长！

算

一、复习回顾：

1．已知A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，则A S；{x|x∈S且xA}= 。

2．用适当符号填空：

0 {0}； 0 Φ； Φ {x|x＋1＝0,x∈R}

{0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ； {x|x>－3} {x>2}

同学们两个实数之间有四则运算，两个集合之间是否也有类似运算吗？

二、新课教学

思考：考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：

（1），；

（2），；由学生通过观察得结论。

1．并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集（union set）。记作：A∪B（读作：“A并B”），即

用Venn图表示：

这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即

= C

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

课本例4，例5

例5，数轴求并集1）画线高低错落，2）空心实心毫不含糊，3）求并有线就行

讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？

A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A

A∪B＝A , A∪B＝B .

引入：1，（2，4，6，8，10）（3，5，8，12）（8）

2，女同学，高一学生，高一女同学

2．交集的定义：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），记作A∩B（读“A交B”）即：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）

巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝ ;

②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝ 。 （双线才算）

讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？

A∩A＝ A∩Ф＝ A∩B B∩A

A∩B＝A A∩B＝B

3. 全集、补集概念及性质的教学：

研究问题时，我们经常要确定研究对象的范围，例如，从小学到初中，我么研究数的范围逐步由自然数，整数，有理数，实数过度不同范围研究同一个问题时，可能有不同结果，例如方程。(X-2)(X*2-3)=0的解在有理数范围只有一个解，在实数范围下就有三个解，所以研究问题时，我们常常需要设定前提范围，这就是全集。

1）、全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。（看书上的例题练习题，全集是因题而异的，是人为设定的）

2）、补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集，记作：，读作：“A在U中的补集”，即

用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）

巩固练习：例8，例9，练习题1，2，3，4

第四题：1）添加一问介绍反衍律，画图证明2）介绍四块地的集合表示

归纳小结：交，并，补

提升：到现在为止集合的概念运算已经都学完了，集合是数学的基本语言，同学们现在好比是牙牙学语的幼儿，已经初步掌握了这门语言，希望同学们认真练习，熟练运用！

一、复习准备：

初中我们都学习了哪些函数？一次，二次，反比例，其图像为：---混入一个竖直的直线，一个开口向右的抛物线，引出初中函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

二、讲授新课：

（一）函数的概念：

函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作：

问题1，初高中定义的相同点和不同点？相同点：关键词任意唯一每变，不同点：高中定义中提到了集合。

问题2，集合在定义中扮演什么角色？“口袋”作用就是把X,Y的取值装入两个集合口袋一个叫集合A一个叫集合B，比如说我们初中学习的一次函数，二次函数用高中定义来说——

练习1，是否是A到B的函数？

总结：任意唯一，是函数需遍取A中任意一个元素，不是函数只要在A中找到一个元素在B中没有对应，或对应多于一个。

完善定义：其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域。显然，值域是集合B的子集。

探究：值域是集合B的子集？

练习2，下列是A到B的函数的是A=[0，6] B=[0，2]（ ）

Af:y=x/4 B f:y=x/3 Cf:y=x/2

练习3，下列是A到B的函数（1）f: y^2=x, A:x≥0，y∈R （2）x^2+y^2=1 A,B=[-1，1]

练习4，A=[三角形] B=[正实数] f:求该三角形的面积

这就是我们高中函数的定义，其中定义域值域是初中定义每涉及的，下面我们就研究初中接触的函数的定义域和值域

（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；

（2）二次函数 (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。

（3）反比例函数的定义域是，值域是。

（二）区间及写法：

设a、b是两个实数，且a

（1） 满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2） 满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；

（3） 满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。

我们把满足的实数x的集合分别表示为。

巩固练习：

用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}

（学生做，教师订正）

（3）例题讲解：

例1：求下列函数的定义域（用区间表示）

1 f(x)=； ⑵ f(x)=； ⑶ f(x)=－；

学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）→写成集合或区间

例2，已知函数，求f(0)、f(a)、f(2a+1)、f(x-1)、f(g(x))的值。

说明：秘诀：整体打包代入

例3．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）； （2）；

（3）； （4） 。

说明：相同三要素完全相同，不同一个要素不同就不同。

探究：三要素是有关系的，我们是否可以判定两要素相同就说是同一个函数？

总结：函数的定义

提升：从初中函数的概念到高中函数的概念，我们在更高的平台上对函数有了进一步的了解，好比同学们的学习，一个又一个台阶，不断进步！

一、复习准备：

1．提问：函数的概念？函数的三要素？

2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、讲授新课：

（一）函数的三种表示方法：

结合课本P15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：

优点：简明扼要；给自变量求函数值。

优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。

例1．（课本P19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

例2：（课本P20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

（二）分段函数的教学：

分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。

说明：

（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；

（2）．分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。

例3：（课本P21 例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。

例4．已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值

导入：对比函数的定义

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射。

（三） 映射的概念教学：

定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。记作：

讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？

例1．（课本P22例7）以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？

（1） 集合A={P | P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2） 集合A={P | P是平面直角坐标系中的点}，B= ，对应关系f： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3） 集合A={x | x是三角形}，集合B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4） 集合A={x | x是新华中学的班级}，集合B={x | x是新华中学的学生}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。

例2．设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。

（四）、归纳小结：

本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。

1.3.1单调性与最大（小）值

1、复习准备：

下图是神州号飞船飞行的高度关于时间的图像

问题1，是定义在t∈[0，8]的函数图像吗？

问题2，观察函数图像，你能了解神州号飞船的飞行规律吗？上升下降，最高最低点

这就是我们本节课要学习的两个方面，单调性与最值（写课题）

引导1，在t∈[0，2]上图像是如何变化的？上升的

引导2，图像是上升的，很好的感性的认识，但一般不会作为严格的官方定义，如何定义呢？

随着x的变大y变大

引导3，随着x的变大y变大，也就是说如果x12时，则有f(x1)2)，这就是增函数的定义

定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f(x1)2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）

如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。

探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；

（有的同学描述减函数的定义时漏掉任意，任意二字在定义中是无关痛痒，还是必须加上？）

一次函数、二次函数和反比例函数单调性？取值任意性

暴露的书写规范问题：1，f(x)＝3x＋2单调递增。2，反比例函数单调区间用并集符号了（定义域和值域用并，）。3，f(x)＝x 区间端点开闭问题（区间局部性）

例1（P29例1） 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

探究：在区间-5到0上是单调递增吗？学生答：先减后增故不是单调递增，这样不严谨，概念辨析题，还得回归概念本身

总结：单调递增的判定，不是单调递增的判定（找到一个反例就行，可以类比函数的判定）

证明单调性：一次函数，二次函数，反比例函数，对勾函数

暴露问题：1，“由图可知”，作为一个证明题肯定是不够严密的，应当回归定义用代数手段证明，可示范一题。（出单调性证明的四个步骤，实际上就是做差法比大小）2，用单调性证明单调性。3，不会变形，总结常见的变形手段，通分，因式分解---目的：化整为零，定各个因式的符号，因式分解越彻底，定号越容易。好不生活中我们想做一件事比较繁琐-----

总结：1，理论支持：单调性的定义

2，步骤：四步走

3，原理：做差比大小

4，难点：变形手段

5，易错：“由图易知”“由单调性证单调性”

引入：烟花问题，1，单调性？2，还有哪些性质？

人们总是希望在最高点看到烟花爆炸，这就是我们接下来研究的最值

本题如何求最大值？最大值如何定义？最大值可以说是30吗？

最大值的定义，类比说出最小值的定义，

练习初等函数在定区间上的最值，题后总结：定义三方面：任意，存在，常数

讨论：y=2有最值吗？题后总结：概念辨析题一定要回归概念本身，不能做“看脸族”

总结：单调性的定义，最值的定义，单调性的证明

提升：学会理性推理，比如：1）证明单调性不能由图可知而要用单调性的定义证明2）y=2有最值？做题一定会用官方的概念定义公式来处理，不要随性想当然，这和做人是一个道理！

1.3.2奇偶性

复习准备，引入正课：

1.提问：什么叫增函数、减函数？最大（小）指？

2.指出f(x)＝x－1的单调区间及单调性。 →变题：f(x)＝|x－1|的单调区间

3.这两个函数有什么共同特征？关于Y轴对称。

4.其函数值有什么规律？比如f(1),f(-1),f(2),f(-2).回答：f(1)=f(-1),f(2)=f(-2).

5.关于Y轴对称我们可得到f(1)f(-1),f(2)=f(-2)，反过来，由f(1)=f(-1),f(2)=f(-2)，能得到图像关于Y轴对称吗？回答：不能，需满足任意性

定义偶函数：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数.其图像关于Y轴对称。

练习：为什么函数f(x)＝|x－1|图像关于Y轴对称？

下面我们观察两个函数1）Y=2X, 2)Y=1/X 这两个函数有什么共同特征？这两个函数都是关于原点对称，我们称这样的函数是奇函数，类比偶函数想想奇函数的定义？

如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数。

课本思考题：P35,思考题（2）已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。（假如f(x)是奇函数?）

判断下列函数是否是偶函数．思考题（1），课本例题5,外加

用框图总结判定奇偶性的步骤------画框图时同步说明以下几个问题：

1，奇偶函数定义域特点？

2，即奇有偶函数举例？

3，非奇非偶如何生成的？

总结：奇偶函数的代数定义和几何意义

提升：奇偶性是研究函数图像整体的对称性，上一节所学的单调性是研究图像局部的增减性，由局部到整体我们将对函数有更进一步的认识，希望同学们认真体会！

引入：今天我们学习第二章基本初等函数，我们初中学习了哪些初等函数？

高中还要学习一些新的函数，因为函数应用太广泛了，大到科研如神州号飞船飞行高度是关于飞行时间的函数，碳14衰变函数可以较比准确预测古董年份，小到我们生活中的一些小问题，比如一直困扰我的拉面问题，2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----大约拉4，5次就可以了，2^2=4,我们称2是4的？算术平方根，4的平方根呢？还有±2，2^3=8,我们称2是8的立方根，8的立方根只有2吗？只有2，可以类比平方根，立方根，还有四次方根，五次方根-----的定义，（±2）^4=16，我们称16的四次方根为±2，,2^5=32，我们称32的五次方根是2， 讲授新课:定义n次方根：一般地，若,那么叫做的次方根.( th root ),其中, 简记：. 例如：，则

探究：同学们可能发现：N次方根有时候有两个，有时候有一个，何时两个何时一个？

学生答：偶次方根有两个,奇次方根有一个.

问：这个结论正确吗？

答：不正确，例如：-16的四次方根不存在，n次方根有几个不但和n的奇偶有关，还和的正负有关

问：到底分几种情况？

答：是正数，负数，n是奇数，偶数，可以组合出四种情况

总结：

问：仅仅是四种情况吗？答：不要忘记=0讨论！

上面表中的结论再用语言描述：正数奇次方根有一个为正，正数的偶次方根有两个互为相反数，负数的奇次方根有一个为负，负数的偶次方根不存在，0的n次方根始终为0

定义根式：像的式子就叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

练习：请按照讨论的结论编出各种情况的题目，同桌互相考察！

探究： 、的结果？ 怎样研究会全面客观？还是按照是正数，负数，n是奇数，偶数把情况想全！

结论：. 当是奇数时，；当是偶数时，

例题讲解（P5O例题1）：求下列各式的值

引例：a>0时， → ；根式是能表示成分数指数幂的形式 ，当被开方的指数不能被根指数整除时根式是否也能表示成分数指数幂的形式？ → .这样规定的合理性？使得理论体系得以推广健全。

定义分数指数幂：

规定；

随堂练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：；；

B. 求值 ； ； ； .

讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

指数幂的运算性质：

·； ； ．

教学例题：

（1）、（P51，例2）

解：① ，②

③ ，④

总结：有两种思路：1）直接将分数指数幂转化成根式。但这样做有时比较麻烦，如④。2）把底数先写成分数指数幂的形式，这样新老幂之间可能约分化简，较好！

（2）、（P51，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）

解：，

（3）（P52例5）计算下列各式

（1）（2）＞0）

无理指数幂的教学

的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材P58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）

无理数指数幂是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？

归纳小结：

1．根式的概念：若n＞1且，则

为偶数时，；

2．掌握两个公式：

3．根式和分数指数幂的转化。

提升：指数幂的推广完善：整数（初中）→有理数→实数，理论体系就像一颗种子一样慢慢的生根发芽开花结果！

2.1.2 指数函数及其性质

一、复习准备：

1. 提问：分数指数幂是怎样定义的？

2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？

讲新课之前我想提一个一直困扰我的拉面问题，2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----实际上就是一个函数关系，大约拉4，5次就可以了，正是这个函数把我从人生的困惑中解脱出来，这就是我们今天指数函数。

2、讲授新课：

举例：生活中其它指数模型？

A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？

B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

定义：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.

讨论：为什么规定＞0且≠1呢？否则会出现什么情况呢？讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象（有图有真相），结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

如何做出一个新函数的图像？描点法或者图像变换

作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： （师生共作→小结作法）

函数与的图象有什么关系？如何由的图象画出的图象？根据两

函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？

根据图象归纳：指数函数的性质 (书P56)

3、例题讲解

例1：（P56 例6）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求

例2：（P56例7）比较下列各题中的个值的大小

（1）1.72.5 与 1.73( 2 )与( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1

总结：比较大小的常见方法：做差，做商，单调性，中间量--------

教学指数函数的应用模型：

① 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？

（师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结：从特殊到一般的归纳法）

② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？

③ 小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？ →一般形式：涉及到指数型函数的应用，形如（a＞0且≠1）.

归纳小结

1、指数函数的定义

2、指数函数图像和性质

提升：思想方法：分类讨论，数形结合，这是高中数学较比重要的思想希望同学们能有所体会！而且展示了研究一个新学函数方法，这位我们以后的学习起到了示范作用。

2.2.1对数与对数运算

复习准备：

今天我们学习2.2，在2.1中我们学习了哪些内容？根式与分数指数幂。指数函数对于这两节内容我们简单复习一下：

问题1.X^2=4,X=±2？.X^2=5，X=±√5？为什么X=±√5？这个方程的根X真实存在，但在有理数范围内是无解的，于是我们规定了n次方根的定义，从而就可以把这两个解书写出来，可以说就是为了解方程的需要人为发明的一个符号标记。

问题2。对于指数函数，Y=8,X=?, Y=30,X=?, X存在吗？唯一确定吗？你能估测其所在区间吗？虽然方程的根唯一确定但我们现在是无法说出x等于什么，怎么办？人为标记一个符号，怎么标记？同学们尝试发明创造-------，大家的创造能力很强，和合理，但生不逢时，这个已经被数学前辈发明了，16世纪苏格兰数学家纳皮尔，发明了对数，对数的发明是数学历史上的重大事件，天文学家，航海家为之欣喜若狂，恩格斯把对数的发明，解析几何，微积分并称17世纪数学的3大创造，伽利略说过，给我空间时间和对数我就能创造一个宇宙！！！

定义：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）.

记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 用定义说明： =30,X=?,

定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数简记为lgN 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN → 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3

练习课本例1.互化，添加两题（7）lg（-1）= (8)lg0= (9)lg1= (10)lg10=

结论：负数与零没有有对数？（原因：在指数式中 N > 0 ）

，

例2---------

指数有哪些运算律？对数也应当有自己的运算律，如果我们发现将是对对数体系是重大完善！

① 引例： 由，如何探讨和、之间的关系？

设, ，由对数的定义可得：M=，N=

∴MN==

∴MN=p+q，即得MN=M + N

② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？

如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则

; ；

性质的证明思路？（对数定义，用定义证明是证明的根本，学过了哪些？证明单调性，奇偶性）自然语言如何叙述三条性质？

例1. 判断下列式子是否正确，（＞0且≠1，＞0且≠1，＞0，＞），

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7）

例2（ P65例3例4）：用，，表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.

（1） （2） （3） （4）

对数在生活中的应用是很强的，看课本P66，我国人口问题达到18亿的年份，如何求，这里是非特殊值需要计算机，但问题来了，计算器上都是以10，e,为底的，所以我们需要把这个结果转化成以10或e,为底的。

换底公式，查计算机算出本题。从计算器求对数这个角度可以看出换底公式的重要性。

换底公式的推论：；

接下来继续见证对数的神奇：长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？

归纳小结：

对数的定义：＞0且≠1） 　

对数的性质公式：

提升：同学们本节课大家见证了对数的发明与发展，这个过程神奇但也入情入理，希望同学们在数学上投入兴趣多做研究，将来也能成为一名伟大的数学家！

一、复习准备：

对数的定义和运算，对数是17世纪数学史的重大发明，恩格斯把对数的发明，解析几何，微积分并称17世纪数学的3大创造，伽利略说过，给我空间时间和对数我就能创造一个宇宙。比如教材P73例，

对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与

之对应，从而t是关于P的函数，这个函数在考古年代断定上有无以伦比的作用，这个函数就

是今天要学习的对数函数。

二、讲授新课：

定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数叫做对数函数(logarithmic function).自变量是x； 函数的定义域是（0，+∞）

探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

如何做出一个新函数的图像？描点法，图像变换

同一坐标系中画出下列对数函数的图象 ；（可以通过将得到关于X轴对称）根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？

例1：（P71例7）求下列函数的定义域

（1） （2） （＞0且≠1）

例2. （P72例8）比较下列各组数中的两个值大小

（1） （2）

（3） （＞0，且≠1）

例3. （P72例9）：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？

（Ⅱ）纯净水摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.

总结：用函数思想解决实际应用问题的步骤：

第一步:抽象出的函数模型。（建函数）（本题是直接给出函数）

第二步：如何应用函数模型解决问题？（用函数）（单调性，由X求Y）

第三步：汇报实际结论。（跳出函数）

过度：PH值分别是8，9，10求对应的氢离子的浓度，分别将函数值代入8，9，10再指对互化分别求出自变量，但这样运算有重复的嫌疑，指对互化了3次，我们可以先指对互化得到一个新函数，对于这个新函数的自变量分别代入8，9，10这样会简单些。

原函数：PH值关于氢离子浓度的函数，新函数：氢离子浓度关于PH值的函数

这两个函数有什么变化？自变量和因变量颠倒。这就是我们下面要学习的反函数

当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）

如何由求出它的反函数？ y=2x-1?

函数由解出，是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为.那么我们就说指数函数与对数函数互为反函数。

在同一平面直角坐标系中，画出上面两对互为反函数的图象，发现什么性质？关于y=x对称。为什么？

例1、求下列函数的反函数

（1） （2）

（师生共练 → 小结步骤：解x ；交换x,y；定义域）

类比：原函数（汉献帝掌权）反解x （曹操挟天子以令诸侯）；交换x,y（曹操称帝，当然曹操自己没有称帝）

例2、己知函数的图象过点（1，3）其反函数的图象过（2，0）点，求的表达式.

归纳小结：对数函数的概念、图象和性质; 反函数的含义

提升：指对函数是高中最先学的两个基本初等函数，它们关于Y=X对称，（画门形图），走进这扇门将正式进入高中函数的学习！

2.3幂函数

新课引入：

（1）边长为的正方形面积，这里是的函数；

（2）面积为的正方形边长，这里是的函数；

（3）边长为的立方体体积，这里是的函数；

（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；

（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数.

观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）

给出定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.

幂函数和我们学习过的什么函数相似度较高？指数函数。区别是什么？指数：底定指变，幂：指定底变。

练：判断在函数y=x^3（是）,y=3^x（不是）,y=3x^2（不是）,y=x^2+x^3（不是），y=1/x（是）,y=x^0（是）,y=1（不是）中，哪几个函数是幂函数？用定义严格判断。只要形如这种形式的就是幂函数，参数a可以取任何值。在这里我们也可以看出幂函数的多样性，y=1/x,y=x,y=x^2,图像差别较大。

如何研究幂函数？可类比指对函数研究的方式：函数定义有了，下一步有图有真相，通过描点法出图像，但由于图像的多样性，每个幂函数的类比性不强，借鉴意义不算大，每个幂函数都要描点，今天我们用“超级描点法”比如：y=x^1/2:定义域【0，正无穷）值域【0，正无穷）图像就锁定第一象限且过原点，单调性【0，正无穷）单增，这样就把图像就有了大致轮廓，再描点就不会很盲目！（类比：作画，警察破案）

练习：分小组做出下列幂函数的大致图像a=3，-3，2/3,3/2,-2/3,-3/2

引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：

（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（Ⅱ）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（Ⅲ）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴。

过度：这就是我们今天研究的幂函数，体会了超级描点法，就是先通过函数解析式，可以很容易得到函数的一些性质，定义域，值域，单调性，奇偶性，特殊点---这样就可以勾勒出图像大致轮廓，再描点，就可以把图像快速画出！比如单调性不通过严谨证明，很容易判定出来，是增函数，当然如果你要想严谨证明也可以证出来。

例1（P78例1）．证明幂函数上是增函数

证：任取＜则

=

=

因＜0，＞0

所以，即上是增函数.

例2. 比较大小：与； 与； 与.

归纳小结：

1，定义。2，作图。3，性质

提升：通过作图可以了解幂函数性质，而通过性质我们也可以帮助我们作图，体现了数形结合思想，数形相辅相成。

3.1.1 方程的根与函数的零点

引入：在第二章我们学习了函数的概念，性质，指对幂函数，函数是高中数学最重要的内容，而函数在实际生活中应用非常广泛，比如上一章我们研究的人口的增长问题就是指数型函数模型，考古中年代断定就是对数型函数，不举高大上的就比如一个一直困扰我的拉面问题，2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----实际上就是一个指数函数，大约拉4，5次就可以了，正是这个函数把我从人生的困惑中解脱出来。第三章我们就重点研究函数的应用。

1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

①方程与函数②方程与函数

③方程与函数

生：这三个二次方程的根就是二次函数图形与X轴交点的横坐标

师：上述结论推广到一般二次方程和二次函数又怎样？可推广为更一般的函数与方程吗？

方程的根就是函数与X轴交点的横坐标

就叫做函数的零点．问上面三个函数的零点（纠错零点不是点是横坐标，名字有很强的迷惑性）方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

过度：函数一定有零点吗？

过度：二次函数的零点存在性可以通过判别式断定，其它函数的零点存在性如何判定？

零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数的图象：

① 在区间上有零点______；

_______，_______,

·_____0（＜或＞＝）．

② 在区间上有零点______；

·____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数的图象

① 在区间上______(有/无)零点；

·_____0（＜或＞＝）．

② 在区间上______(有/无)零点；

·_____0（＜或＞＝）．

③ 在区间上______(有/无)零点；

·_____0（＜或＞＝）．

1，由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？区间端点函数值异号，那么在该区间上存在零点。

2，这个结论对不对？连续函数区间端点函数值异号，那么在该区间上存在零点。

3，存在几个确定不？生：单调函数肯定存在一个，不单调一定存在奇数个。

4，这个结论正确吗？不单调也可能存在偶数个零点

5，端点值同号一定不存在零点吗？不一定

6，存在零点端点值一定异号吗？不 一定

从上面的问题中我们也可以看出零点存在性定理不能随意推广发散，遇到和定理不一样的描述一定认真判定其正确与否。

例1，求函数f(x)=的零点个数。

例2．求函数，并画出它的大致图象．

例3.（课本例1）求函数f(x)=lnx+2x-6零点的个数，

解法1，课本给出的有零点存在性定理可知零点位于（2，3）又由于函数在定义域上单调递增

解法2，函数有零点．方程有实数根两个函数交点的横坐标

总结：1，零点的定义；2，零点存在性定理。

提升：涉及到哪些思想方法？等价转化思想。等价转化思想是无比重要的数学思想，俄罗斯著名数学家雅

洁卡娅在《什么是解题》中说过这样一句话：解题就是把要解的题转化成已经解过的题，这句话体现了转化思想的重要性！

3.1.2用二分法求方程的近似解

引入：小学课本上有这样的一个问题有一个整数位于1到80，我现在就把这个数写在这张纸的背面，你可以问我形如这样的问题：这个数>20吗？我只会答是或不是，你如何找到这个数？

生：这个数>40吗？不是。这个数>20吗？是，这个数>30吗？------可以不断取中点从而确定这个数。

下面我们用这个理念解决上节课的问题，（课本例1）求函数f(x)=lnx+2x-6零点的个数，课本给出的有零点存在性定理可知零点位于（2，3），我想把这个零点的范围继续缩小，如何处理呢？我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。 取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，（解释：近似值和准确值之间的差距小于0.01）由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将该区间上任何一个值都可以作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，即方程㏑x＋2x－6=0近似值。这种求零点近似值的方法叫做二分法。

为什么由︱a － b ︳＜便可判断零点的近似值为【 a,b】中的任意值？

设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；由于︱a － b ︳＜，所以︱x0 － a ︳＜b－a＜,︱x0 － b ︳＜∣ a－b∣＜,即a或b 作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。

总结二分法的一般步骤

例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）

问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？

引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．

总结：二分法的作用原理和步骤。

提升：二分法对于研究不可解的方程的根有重大意义。而且二分法可以计算机编程，通过程序，把函数和精度输入，就可以得到零点的近似值。（必修2中继续学习）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6d02e082777f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9fb0.html