集合

集合

1.1 集合的含义与表示

【知识梳理】

1.集合的概念：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，简称“集”。集合中每个对象叫做这个集合的元素。

通常用大写字母A，B，C……表示集合，用小写字母a，b，c……表示集合中的元素。

集合的分类：根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集。

1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集。

2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集。

2.集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

3.元素与集合的关系：

4.常用数集

集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示

题型一 集合与元素的含义

【例1】已知集合，且下列关系式：，有且只有一个正确，则100a+10b+c=_____.

【例2】设，若集合=，则

【例3】下面四个命题正确的是（　　）

　　 A．10以内的质数集合是{0，3，5，7}

　　 B．“个子较高的人”不能构成集合

　　 C．方程的解集是{1，1}

　　 D．偶数集为

【例4】已知集合各元素之和等于3，则实数的值为

【例5】求集合中的元素的取值范围.

【例6】下面有四个命题：

⑴集合中最小的数是；

⑵若不属于，则属于；

⑶若,则的最小值为；

⑷的解可表示为；

其中正确命题的个数为（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【例7】.知A＝{1,2，3}，B＝{2，4}，定义集合A、B间的运算A*B＝{x|x∈A且}，则集合A*B等于(　)

A.{1，2,3} B.{2，4} C.{1，3} D.{2}

【过关练习】

1.分析下列各组对象能否构成集合：

（1）比2008大的数；

（2）一次函数的图象上的若干个点；

（3）正比例函数与反比例函数的图象的交点；

（4）面积比较小的三角形.

2.下列命题正确的有（ ）

⑴很小的实数可以构成集合；

⑵集合与集合是同一个集合；

⑶这些数组成的集合有个元素；

⑷集合是指第二和第四象限内的点集．

A．个 B．个 C．个 D．个

3.下列各选项中的与表示同一集合的是 （ ）

A.

B.

C.,

D.

4.已知集合A={}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A

5.集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为（）

A.3 B.4 C.11 D.12

6.已知集合，定义集合，则中元素的个数为（  ）

A.77 B.49 C.45 D.30

题型二 集合的表示

【例1】已知集合，则中元素的个数是 （ ）

A． B． C． D．

【例2】试选用适当的表示方法表示下列集合：

（1）一次函数与的图象的交点组成的集合；

（2）二次函数的函数值组成的集合；

（3）反比例函数的自变量的值组成的集合.

【例3】已知，，．当时，用列举法表示集合

【过关练习】

1.用列举法表示集合：

2.已知，，且，，求满足条件的的值．

3.直角坐标平面除去两点、可用集合表示为（ ）

A． B．或

C．且 D．

题型二 集合与元素的关系

【例1】已知，若集合P中恰有3个元素，求。

【例2】设集合，若，则下列关系正确的是（ ）

A． B． C． D．

【例3】用适当的符号填空：已知，，则有：

17 A； －5 A； 17 B.

【过关练习】

1.给出下列关系：

（１）｛０｝是空集；

（２）若，则；

（３）集合

（４）集合

其中正确的个数为 （ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．0个

2.用“”或“”填空：

⑴ 若，则___；___；

⑵ ___；

⑶ ___．

1.2 集合间的基本关系

【知识梳理】

1.集合与集合间的基本关系：

2.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为.

性质：1）空集是任何集合的子集，即A

2）空集是任何非空集合的真子集，即A

辨析比较0，{0}，，{}之间的关系

3.子集个数：若集合A中含有n个元素，则集合A中

1）含有个子集；

2）含有个真子集；

3）含有个非空子集；

4）含有个非空真子集

题型一 子集与真子集

【例1】下列四个命题：①＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（　　）

　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【例2】用适当的符号填空：

⑴

⑵ ___

⑶ ___

⑷ ____

⑸ ___

⑹

⑺

【例3】已知集合，其中，且，则等于___．

【例4】设，若，则的取值范围是______

【例5】已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0，x∈R}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m2－3m≤0，x∈R，m∈R }，全集为R，若A ∁RB，则实数m的取值范围是

【过关练习】

1.下列说法中，正确的是（ ）

A．任何一个集合必有两个子集；

B．若则中至少有一个为

C．任何集合必有一个真子集；

D．若为全集，且则

2.已知集合A＝，Z＝，全集为R，若，则实数a的取值范围是 ．

3.若集合，，且．求实数的取值范围．

4.若集合，且，求实数的值.

题型二 子集的列举与个数

【例1】已知集合A＝｛x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R｝．

　　（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；

（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

【例2】求满足条件的集合的个数

【例3】集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x-1A且x+1A，则称x为A的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的4元子集.

【例4】已知集合P＝{x∈R|x²－3x＋m＝0｝，集合Q｛x∈R|（x＋1）²（x²＋3x－4）＝0，集合P是否能成为Q的一个子集？若能，求出m的取值范围；若不能。

【过关练习】

1. ，求满足条件的的个数．

2. 已知集合,,是否存在a的值,使?若存在,求出a的取值范围.若不存在,说明理由

3.若，则满足上述条件的集合M的个数是（ ）

A 4 B 3 C 2 D 1

4.已知集合，若，则实数a的所有可能取值的集合为（ ）

A {-1} B {1} C {-1，1} D {-1,0,1}

5.已知集合，则满足条件的集合C的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.已知集合

（1）当时，若，试确定的正负；

（2）当时，若，试求m的取值范围.

1.3 集合的基本运算

【知识梳理】

1.交集：= ；

2.并集： =；

3.全集与补集：设全集是U，集合,则

4.集合的运算性质：

1）；

2）；

3）；

4）.

注意事项：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心

题型一 集合的基本运算

【例1】已知，，则等于（ ）

A． B． C． D．

【例2】若集合，则有（ ）

A． B． C． D．

【例3】已知集合，若，求实数a的值．

【例4】设全集，，，求．

【过关练习】

1.已知，，则．

2.已知，，则中最小的正整数是 _________．

3.设，，若，求．

4.设，集合，；若，求的值．

5. x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________

题型二 集合的运算律

【例1】设集合，则

【例2】已知，，，则等于（ ）

A． B． C． D．

【例3】设集合.

【过关练习】

1.已知全集，，，求，，， ，并比较它们的关系.

2.下列表示图形中的阴影部分的是 （ ）

A．

B．

C．

D．

3.A=，则A Z 的元素的个数 ．

4.某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人．

课后练习

【补救练习】

1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则(　　)

2．下列五个关系式：①{0}＝∅；②∅＝0；③{0}⊇∅；

④0∈∅；⑤∅≠{0}，其中正确的个数(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．下列语句：

(1)0与{0}表示同一个集合；

(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；

(3)方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；

(4)集合{x|4＜x＜5}是有限集．

正确的是(　　)

A．只有(1)和(4) B．只有(2)和(3)

C．只有(2) D．以上语句都不对

4．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝(　　)

A．{1,3,4} B．{3,4}

C．{3} D．{4}

5．设方程x2－px－q＝0的解集为A，方程x2＋qx－p＝0的解集为B，若A∩B＝{1}，则p＋q＝(　　)

A．2　　 B．0　　 C．1　　 D．－1

6．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)

A．{0} B．{0,2}

C．{－2,0} D．{－2,0,2}

【巩固练习】

1．设集合P＝{3,4,5}，Q＝{4,5,6,7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为(　　)

A．3个 B．4个 C．7个 D．12个

2．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a≤x≤a＋3}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．

3．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}, 若A∩B＝{－3}，求实数a的值．

4．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．

(1)求A∪B；

(2)求(∁RA)∩B；

(3)若A∩C＝A，求a的取值范围．

【拔高练习】

1.已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2－4x+m-1>0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A, 求m的取值范围.

2.设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围。

3.定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素数字之和为（ ）.

A．9 B. 14 C. 18 D. 21

4.（1）给定集合A、B，定义A※B={x|x=m-n，m∈A，n∈B}．若A={4，5，6}，B={1，2，3}，则集合A※B中的所有元素之和为 （ ）

A．15 B．14 C．29 D．-14

（2）设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A、B的运算：A*B={x|x∈A，或x∈B,且xA∩B}，则(A*B)*A等于（ ）

A．A B．B C． D．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6fe08bfc443610661ed9ad51f01dc281e43a56c5.html