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清华大学2019年自主招生数学试题

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清华大学自主招生数学试题
1.一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径.2.求值：
3.已知P为单位圆上一动点，A(0,2，B(0,1，求|AP||BP|2的最大值.
4.AB为圆O的直径，则下列选项正确的是（）COAB，M为AC中点，CHMB，A.AM2OHB.AH2OHC.△BOH∽△BMAD.忘记
5.A{1,2,3,,15}，B{1,2,3,4,5}，f是A到B的映射，若满足f(xf(y，则称有序对(x,y为“好对”，求“好对”的个数最小值.
6.若对cR，a,b，使得

1
1
(1sin2xx2dx.

f(af(b
f(c成立，则称函数f(x满足性质T，下列
ab
1x1
f(xeC.D.f(xsin(2x12
x1
函数不满足性质T的是（）A.f(xx33x23xB.f(x
7.已知|a||b|1，ab
rrrr
rrrrurrur1
，(ca(cb0，若|dc|1，求|d|的最大值.2
x2y2
1，过F(2,0的直线交椭圆于A、B两点，点C在直线x3上，若8.椭圆62
△ABC为正三角形，求△ABC的面积.
9.圆x2y24上一点(x0,y0处的切线交抛物线y28x于A、B两点，且满足
AOB90，其中O为坐标原点，求x0.

10.设a为44444444各位数字和，b是a的各位数字之和，c为b的各位数字之和，求c的值.
22
11.实数x、y满足x(y21，求
x3yxy
2
2
的最大值和最小值.
12.在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC90，AB6，BCBB132，动点P在

1

线段B1C上，求A1PBP最小值.
13.若集合A、B是正整数的一个二划分，则（）A.集合A中不存在三项等差，集合B中不存在无穷项等差B.集合A中不存在三项等比，集合B中不存在无穷项等比C.忘了D.忘了
2
3an4，则（）14.数列{an}满足：a13，an1an
A.{an}单调递增B.{an}无上界C.忘了D.lim
15.若正实数a、b满足ab(a8b20，则a3b的最小值为
16.设f(x|x1||x3|，g(x2ex，求f(xg(x最小值.
17.设x,yN，则方程
18.令zkcos
1
1na1i1i
n
113
的解的个数为xy100
2k22k2
isin（i1,2,3,4,5），若ai(zizj，则（）55ij
52
125D.a15A.a1a3a4125B.a1a2a3a4a55C.a2a4

19.若实数x、y满足x38y36xy10，求x3y的范围.


2

参考答案
1.设ABACADBCBD6，CD9，易知△BCD的外接圆O1半径为r1同理可得△ACD的外接圆O2的半径为r2设外接圆的圆心为O，易知OO2则外接球半径R
1
2
r22OO2
12
，7
12，7
3，7
314433，∴外接球半径为33.77
1112222
(1sinxxdx(xdxxcos2xdx，由分部积分法可知：1112
12121222
xcos2xdxxdsin2x(xsin2xsin2xdx）=(xsin2x2xsin2xdx22211
(x2sin2xxdcos2x(x2sin2xxcos2xcos2xdx221sin2x(x2sin2xxcos2x221111111
∴(1sin2xx2dx((sin22cos2(sin22cos2.
1233234
2.
3.设P(cos,sin，在S|AP||BP|2cos2(sin22[cos2(1sin2]
1sin25
(sin，24
51
4333,由三元均值不等式可知：S8(3
1
当且仅当sin时，等号成立，则|AP||BP|2的最大值为33.
2
整理得：S8(
8
，AMCM2，BC22，10
64
4OH2
1610210在△OBH与△ABM中，由余弦定理可知：cosABM，
32810
10
2
解得：OH，AM2OH，选项A错误，
5
4168
在△AHC中，由中线定理可知：AH2，4，解得：AH
10105
则AH2OH，选项B正确，
4.设圆O的半径为2，易知BM10，BH而
BOBHOH2
，∴△BOH∽△BMA，选项C正确，综上：选B，C.BMBAMA10
3


5.情形一：当只对应B中1个元素时，此时“好对”有1515225对，
情形二：当只对应B中2个元素时，设有a1组f(xf(y，b1组f(xf(y，则此时“好对”有a12b12对，且a1b115，
(a1b12225
则由柯西不等式可知：ab，
22
2
1
21
情形三：当只对应B中3个元素时，设有a2组f(xf(y，b2组f(xf(y，c2组
222b2c2对，且a2b2c215，f(xf(y，则此时“好对”有a2
(a2b2c22
则由柯西不等式可知：abc75，
3
依次可得：易知当对应B中5个元素时，此时“好对”的最小值为45，当且仅当A中每3
22
22
22
个元素对应B中一个元素时，等号成立，则“好对”的个数的最小值为45.6.∵cR，a,b，使得
f(af(b
f(c，则f(x的值域是f(x值域的子集，
ab
A选项：f(x3x26x3[0,，f(xR，满足题意，
B选项：f(x
2x1
，令，则g(sin2(1cos2，xtan
(x2122
当sin2，cos20时，则由四元均值不等式可知：
1cos232
sin22(1cos2227((1cos227(4，
34
33331
,]，f(x(0,1]，满足题意，当且仅当cos2时，等号成立，∴f(x[882
∵g(为奇函数，
C选项：f(xex1，f(xR，f(xR，不满足题意，
D选项：f(x2cos(2x1，f(x[1,1]，f(x[2,2]，不满足题意，综上：选A，B.
rrr13
7.建立平面直角坐标系，且a(1,0，b(,，易知点c的终点的轨迹方程为
22
urrur323213133
.(x(y，又|dc|1，∴此时|d|max1
444222
xmy2
8.设直线l:xmy2，A(x1,y1，B(x2,y2，AB中点为E，联立2，2
x3y626(m21
整理可得：(m3y4my20，则AB，
m23
2
2
AB21163(m21m21
而EA12|3xE|12|32，而，|
EAmmm3(m23|m|3
解得：m21，∴SVABC
333333
AB26，则△ABC的面积为.4422
4


9.∵AOB90，∴直线AB恒过定点(8,0，而切线方程为lAB:xx0yy04，则8x04，解得：x0
1.2
10.∵1000444444444444100004444，则34444lg4444444444444，则a9(4444419159993，
情形一：当a的位数为6，则b149441，情形二：当a的位数小于6，则b5945，由情形一和情形二可知：b45，
情形三：当a的位数为2位时，则c3912，情形四：当a的位数1位数时，则c9，由情形三和情形四可知：c12，
又44447(mod9，731(mod9，则4444444474444(73148177(mod9，而44444444abc7(mod9，∴c7.
11.情形一：当x0时，此时P
x3yxy
2
2
3，
3yx，情形二：当x0时，此时P
y1(2
x
yy
易知：[3,，令tan，[,，则P2sin((3,2]，
xx326
3y1
x，情形三：当x0时，此时P
y1(2
x
yy
易知：(,3]，令tan，(,]，则P2sin([1,3，
xx236
1
综上：P的最小值为1，最大值为2.
5

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/72953710a12d7375a417866fb84ae45c3b35c28a.html

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