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常数变易法推导

发布时间：2023-03-19 03:12:35 来源：文档文库

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我们来看下面的式子：
y’＋P(x·y＝Q(x…….(1对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。
起初的一些尝试和启示
先直接分离看一下：
dy/dx＋P(x·y＝Q(x

＝>dy＝(Q(x－P(x·y·dx…….(2
从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x＝u＝>y＝u·x.将y＝u·x代入(1式:u’·x＋u＋P(x·u·x＝
Q(x＝>u’·x＋u·(1＋P(x·x＝
Q(x＝>du/dx·x＝Q(x－u(1＋P(x·x＝>du＝[Q(x－u·(1＋P(x·x]·(1/x·dx………(3

这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x＝0，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。Ok，好戏开场了。
进一步：变量代换法
筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果会让你跌破眼镜。y＝u·v就是这么符合要求的一个函数。其中u和v都是关于x的函数。这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也，u和v都非常有用，看到下面就知道了。
让我们看看讲代换y＝u·v代入（1）式会出现什么：
u’·v＋u·(v’＋P(x·v＝Q(x………(4
如果现在利用分离变量法来求u对应于x的函数关系，那么u·(v’＋P(x·v就是我们刚刚遇到的没法把u单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。怎么变？这是v的用处就有了。令v’＋P(x·v＝0，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/73ddd3b8312b3169a451a4f6.html