九年级数学上册全部知识点总结

九年级上册知识点总结

一、一元二次方程

一元二次方程复习：

1、定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫

做一元二次方程。

2、一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次

项，是一次项系数；是常数项。

3、判断标准：①，即二次项系数不能为0.

②只含有一个未知数

③未知数最高次数是2

④是整式方程

4、解法：①直接开平方法

②配方法：步骤：1.移项：把常数项移到等式的右边

2.把二次项系数化为1

3.方程两边都配上一个一次项系数一半的平方

4.变为完全平方式，用直接开平方法求解

③公式法：

④因式分解法：1.形如，用提取公因式，变为

2.形如，用平方差公式，变为

3.形如，用十字相乘法，变为

5、根的判别式：Δ=，当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根

当Δ<0时,一元二次方程有两个相等的实数根

当Δ=0时,一元二次方程没有实数根

6、根与系数的关系：一元二次方程有两个实数根，，则有

， .

用根与系数常见的类型：①

②

③

④

7、实际应用：①传播问题：1.流感传播：

2.主干+支干+分支：

3.信息获得：

②握手问题：1.单循环：

2.双循环：

③增长率（下降率）问题：若起始量为，一年后的产量为，

1.增长率为，则有

2.下降率为，则有

若起始量为，两年后的产量为，

1.增长率为，则有

2.下降率为，则有

④利润问题：单件利润=售价-进价 利润率=利润/成本*100%

总利润=单价利润*销售量

⑤面积问题:根据实际问题计算剩余面积.

⑥数字问题：1.三个连续整数：设中间为，则其余的两个为，

2.三个连续偶数(奇数)：设中间为，则其余两个，

3.两位数的表示方法:若十位、个位分别为、，则这两位数

可表示为

二、二次函数

一次函数复习:

1、定义：形如，其中，当时，一次函数变为，也叫

正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

2、性质：①当，时，的图像经过第一、二、三象限

②当，时，的图像经过第一、三、四象限

③当，时，的图像经过第一、二、四象限

④当，时，的图像经过第二、三、四象限

特别的，当时，，当时，的图像经过第一、三象限

当时，的图像经过第二、四象限

二次函数复习：

1、定义：形如的函数叫二次函数，其中为自变量，是二次

项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。

2、解析式：①一般式：

对称轴： 顶点坐标：

②顶点式： 对称轴： 顶点坐标：

③交点式： ，与轴的两个交点，

3、判断方法：①，即二次项系数不能为0

②未知数最高次数为2

③是整式

4、图像和性质：①图像:都是一条抛物线

②开口方向：与有关，，开口向上；，开口向下

③开口大小：与有关，越大，开口越小；越小，开口越大

以一般式为例:

④对称轴：

⑤顶点坐标：

⑥最值：时，时，

时，时，

⑦增减性：时，在对称轴的左侧，随的增大而增大

在对称轴的右侧，随的增大而减小

时，在对称轴的左侧，随的增大而增大

在对称轴的右侧，随的增大而减小

所有二次函数的性质总结表

5、平移规律： 左加右减（x轴），上加下减（y轴）

6、根据图像判断系数的大小：①

②

③

④

⑤若二次函数与轴的交点为、，

则一元二次方程的两根为、。

7、二次函数解析式的求法：①知道3个点的坐标，用一般式

②知道顶点坐标，用顶点式

③知道与轴的两个交点坐标，用交点式

8、实际应用：①面积最值问题：根据题意列出函数解析式，求最值

②利润最值问题：单件利润=售价-进价 总利润=单件利润*销售量

③实际抛物线问题：先建立直角坐标系，求出函数解析式，在解决实际问题。

二次函数的实际问题要注意自变量x的取值范围。

三、旋转

旋转的复习：

1、旋转：①定义：在平面图形中绕某一点转动某一个角度叫做图形的旋转。其中，这一定

点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，相对应的点叫做对应点。

②三要素：旋转中心：在对应点连线的垂直平分线上

旋转角：范围0-360度

旋转方向：顺时针旋转、逆时针旋转

③性质：1.对应点到旋转中心的距离相等

2.对应点与旋转中心的连线所形成的夹角为旋转角，旋转角相等。

3.旋转前后的图形全等

2、中心对称：①定义：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能和另一个图形重合，

我们就说这两个图形成中心对称。其中，这一定点为对称中心，旋

转后所对应的点为对称点。

②性质：1.成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被

对称中心所平分。反过来，如果两个图形的对称点的连线经过对

称中心，并且被对称中心所平分，则这两个图形成中心对称。

2.成中心对称的两个图形全等

③中心对称与轴对称的区别：

3、对称点的坐标：①关于轴对称：横坐标不变，纵坐标为相反数，

②关于轴对称：横坐标为相反数，纵坐标不变，

③关于原点对称：横、纵坐标都为相反数，

④点与点关于点对称，则有，

四、圆

圆的知识点：

1、圆：①定义：在一个平面内，线段绕固定的一点旋转360度后所形成的图形为圆。

这一固定的点为圆心，线段为圆的半径。

②确定一个圆的要素：1.圆心（定点）：决定圆的位置

2.半径（定长）：决定圆的大小

③圆的特征：1.圆上各点到圆心的距离相等，都等于半径。

2.到定点的距离都等于定长的点在同一个圆上。

④圆的相关定义：1.弦：圆上任意两点之间的线段叫弦。

2.直径：经过圆心的弦叫直径。直径是最长的一条弦。

3.弧：圆上任意两点之间的部分角弧。弧有优弧和劣弧之分。

4.半圆：直径把圆分为相等两部分，把弧分为相等的两半，每一

半都是一个半圆，半圆是弧。

2、圆的对称性： ①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。

②圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

3、垂径定理：①定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

②推论：1.平分弦（这条弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对

的两条弧。

2.弦的垂直平分线一定经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

3.平分弦所对的一条弧的直径则一定垂直于弦，并且平分弦所对的

另一条弧。

4.在同圆中，若两条弦互相平行，那么这两条平行弦所夹的弧相等。

（直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个条件满足其一，剩下的必定满足）

4、圆心角：①定义：顶点在圆心上，并且与圆相交的角叫做圆心角。

②定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

③推论：1.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那它所对的圆心角相等，所对

的弧也相等。

2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那它所对的圆心角相等，所对

的弦也相等。

（两个圆心角、两条弦、两条弧，这三个条件满足其一，剩下的也必定满足）

5、弦心距：①定义：圆心到弦的距离叫做弦心距。

②定理：在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦也相等。

反过来，如果两条弦相等，则这两条弦心距也相等。

6、圆周角：①定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角为圆周角。

②定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

③推论：1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。

2.直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。

7、圆内接四边形：①定义：如果一个四边形的所有顶点都是同一个圆上，这个四边形就叫

圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的内接圆。

②性质：1.圆内接四边形的对角互补。

2.圆内接四边形的外角等于它的内对角。

8、点和圆的位置关系：圆的半径为，点到圆心的距离为，则有：

① ② ③

9、确定圆的条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

10、三角形的外接圆：①定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形

的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。

②三角形外接圆的圆心：1.定义:三角形外接圆的圆心是三条边垂直

平分线的交点。

2.位置：①锐角三角形外接圆的圆心在三角形内

②钝角三角形外接圆的圆心在三角形外

③直角三角形外接圆的圆心在斜边的中

点上。

直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，又等于斜边上的中线，即

③外心：1.定义：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

2.性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，都等

于三角形外接圆的半径。

11、反证法：①定义：先假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假

设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。

②适用范围：反证法主要用来证明直接证法不易证明或不能证明的命题。

12、直线和圆的位置关系：圆的半径为，圆心到直线的距离为，则有：

①

②

③

注意：如果直线上的一点到圆心的距离等于半径，那这条直线与圆的

位置关系为相交或相切。

13、圆的切线：①切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

②切线的判定方法:1.定义：直线与圆只有一个公共点，这条直线与圆相切

2.数量关系：圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切

3.判定定理：经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线

③切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

14、切线长：①定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆

的切线长。

②定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心

的连线平分两条切线的夹角。

15、三角形内切圆：①定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

②三角形内切圆的圆心：1.定义：三角形内切圆的圆心是三角形三个

角平分线的交点

2.位置：三角形内切圆的圆心都在三角形内

直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和减去斜边的差的一半，即

③内心：1.定义：三角形内切圆的圆心也叫做三角形的内心。

2.性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，都等于

三角形内切圆的半径。

三角形的外接圆与内切圆以及外心和内心的对比

16、圆与圆的位置关系：①

②

③

④

⑤

17、正多边形和圆：①相关定义：1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形为

正多边形。

2.正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心为正

多边形的中心。

3.正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

4.正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角为

正多边形的中心角。

5.正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边

的距离为正多边形的边心距。

②有关计算：1.正边形的内角和：

2.正边形的每个内角：

3.正边形的每个中心角：

4.正边形的每个外角：

5.正边形的半径、边心距、边长之间的关系：

6.正边形的边长、边心距、周长、面积之间的关系：

，

③与圆的关系：1.画法：要作正边形，只需把圆等分，然后顺次连

接各点即可。

2.关系：任何正多边形都只有一个外接圆和只有一个内

切圆，且这两个圆为同心圆。

④正多边形的性质：1.正多边形各边相等，各角相等

2.正多边形都是轴对称图形，有几条边就有几条对

称轴；边数为偶数的正多边形是中心对称图形，

边数为奇数的正多边形不是中心对称图形。

18、弧长和扇形面积：①弧长公式：，其中为圆心角，为半径，为弧长。

②扇形面积：1.定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧

围成的图形叫做扇形。

2.扇形的大小：和半径和和圆心角有关

3.扇形的面积：，其中为圆心

角，为半径，为面积，为弧长

19、圆锥的侧面积和表面积：①定义：圆锥是由一个底面和一个曲面围成的几何体。

②母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆

锥的母线。

③侧面展开图：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆

锥的母线长，即圆锥的母线=扇形的半径，

；扇形的弧长是圆锥的底面周长，即

圆锥的底面周长=扇形的弧长，。

④圆锥的母线，高，底面半径之间的关系：

⑤公式：1.圆锥的侧面积：=，其中，第一个

是扇形的弧长，是扇形的半径，是

圆锥的半径，第二个是圆锥的母线。

2.圆锥的表面积：

3.圆柱的侧面积：

圆柱的表面积：

圆柱的体积：

五、概率

概率复习：

1、随机事件与概率：①不可能事件：在一定条件下，绝不可能发生的事件为不可能事件。

②必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件为必然事件。

③随机事件：在一定条件下，有可能发生也有可能不发生的事件为随

机事件。

④确定性事件：包括必然事件和不可能事件。

2、事件发生的可能性：不可能事件为0，必然事件为100%，随机事件不确定，有大小之分。

3、概率：①定义：一般地，对于随机事件A，我们把刻画可能性大小的数值，称为随机事

件A发生的概率，记为.

②概率求法：

当事件A为必然事件时，=1，

当事件A为不可能事件时，=0，

当事件A为随机事件时，事件发生的可能性越大，概率越接近1，

事件发生的可能性越小，概率越接近0.

4、用列举法求概率：①列举法

②列表法

③列树状图法

5、用频率估计概率：对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着实验次数的增加，

一个事件出现的概率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳

定性，因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的

频率去估计它的概率。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/745ced386394dd88d0d233d4b14e852459fb3933.html