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2018年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)

发布时间：2018-03-21   来源：文档文库   
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2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数 的实部为
A. B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知全集 ，集合 ， ， ， ， ，

，则图1中阴影部分表示的集合为

A. ， ， B. ， C. ，
D. ， ，


的最小值为 3. 若变量 ， 满足约束条件
，则

A. B. 0 C. 3 D. 9
4. 已知 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 把曲线 ： 上所有点向右平移
个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到曲线 ，则


A. 关于直线 对称 C. 关于点 ， 对称




B. 关于直线 对称 D. 关于点 ， 对称
 6. 已知 ，则
A.


B.


C.


D.


7. 当 ， 时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为
第1页，共16页

A. 20 B. 42 C. 60 D. 180
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.


B. 15
C.

D. 18
9. 已知 为奇函数， 为偶函数，则

A.

B.


C.


D.


10. 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则
的面积
第2页，共16页

A.
B. 10 C. D.

11. 已知三棱锥 中，侧面 底面 ， ，
， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为 A. B. C. D. 12. 设函数 ，若 ， 是函数 的两个极值点，现给出如下结论：
若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 其中正确结论的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
，则实数 的值等于______． 13. 设 ， ， ， ， ，若
14. 已知 ， 展开式中 的系数为1，则a的值为______．
15. 设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取 有放回，且每球取得的机会均等 个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为______． 16. 双曲线 ： ， 的左右焦点分别为 ， ，焦距2c，以右顶
点A为圆心，半径为




的圆过 的直线l相切与点N，设l与C交点为 ，
，若 ，则双曲线C的离心率为______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17. 已知各项均不为零的等差数列 的前n项和 且满足 ， ．
求 的值；
求数列


的前n项和 ．


18. 有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：
甲公司
职位 月薪 元 乙公司 职位 月薪 元
A 5000
B 7000
C 9000
D 11000
A 6000
B 7000
C 8000
D 9000
获得相应职位概率
获得相应职位概率
根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；
某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：
第3页，共16页

人员结构 选择意愿 选择甲公司 选择乙公司
40岁以上 含40 40岁以上 含40 40岁以下男性 40岁以下女性
岁 男性 岁 女性 110 150
120 90
140 200
80 110
若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的 的观测值为 ，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 附： k







19. 如图，已知四棱锥 中， ， ， ， ，
， ．
证明：顶点P在底面ABCD的射影在 的平分线上； 求二面角 的余弦值．


20. 已知椭圆 ： 的焦点与抛物线 ： 的焦点F重合，

且椭圆 的右顶点P到F的距离为 ；
求椭圆 的方程；
设直线l与椭圆 交于 ， 两点，且满足 ，求 面积的最大值．

第4页，共16页







21. 已知函数 ， 其中
若曲线 在点 ， 处的切线方程为 ，求a的值； 若 为自然对数的底数 ，求证： ．


22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 为参数， ， 为参数 ，x轴正半轴曲线C的参数方程为 以坐标原点O为极点， 为极轴建立极坐标系．
求曲线C的极坐标方程；
设C与l交于 ， 两点 异于原点 ，求 的最大值．

23. 已知函数 ， ．
若 ，求a的取值范围；
若 ，对 ， ， ，都有不等式 恒成立，求a的取值范围．






第5页，共16页

答案和解析
【答案】 1. B 2. A 8. C 9. D 13.
3. A 10. C 4. B 11. D 5. B 12. B
6. C

7. C
14. 15.
16. 2
17. 解： 因为数列 为等差数列，设 ，
因为 的公差不为零，则




，所以 ，
因为 ， ，所以 ，




．所以





由 知 ， 所以













 ，




所以 ．

18. 解： 设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 ， ，
则 ， ，


，


，
则 ， ，
我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司； 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司； 因为 ，根据表中对应值，
得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是 ， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的 列联表如下：

男 女 总计 计算

选择甲公司 250 200 450

 选择乙公司 350 200 550
总计 600 400 1000

，
且 ，
第6页，共16页

对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为 ， 由 ，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．
证明：设点O为点P在底面ABCD的射影，连接 ， ，则 底面ABCD， 19. 解：分别作 ， ，垂直分别为 ， ，连接 ， ， 因为 底面 ， 底面ABCD，所以 ，
又 ， ，所以 平面 ， 平面OPM， 所以 ，
同理 ，即 ，
又 ， ，所以 ≌ ， 所以 ，又 ，所以 ≌ ， 所以 ，所以AO为 的平分线．

以O为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
因为 ，所以 ，因为 ， 为 的平分线，
所以 ， ， ，所以 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， 所以 ， ， ， ， ， 设平面BPD的一个法向量为 ， ， ， ，可取 则 ， ， ， 设平面PDC的一个法向量为 ， ， ， ，可取 则由 ， ， ，



所以 ，



，
第7页，共16页

所以二面角
的余弦值为 ．

20. 解： 设椭圆 的半焦距为c，依题意，可得 ，
且 ， ， ， ， ， 所以椭圆
的方程为
．
依题意，可设直线 ， 的斜率存在且不为零， 不妨设直线PA： ，则直线 ： ，
， 联立： 得




则 同理可得：








，



， 所以 的面积为： 当且仅当 ，即


是面积取得最大值 ．




21. 解： 的定义域为 ， ， ，




由题意知 ，则
，





解得 ， 或 ， ，所以 ． 令 ，则 ， 因为 ，所以









，即 在 ， 上递增，
以下证明在 区间 ， 上有唯一的零点 ， 事实上





， ，


第8页，共16页

因为 ，所以




， ，

由零点的存在定理可知， 在 ， 上有唯一的零点 ， 所以在区间 ， 上，在区间 ， 上，单调递减；
0，f(x'/>单调递增，

故当 时， 取得最小值 ， 因为 ，即 ，




所以 ，





即 ．



．
22. 解： 曲线C的参数方程为 为参数 ，
消去参数 ，得曲线C的普通方程为 ， 化简得 ，则 ， 所以曲线C的极坐标方程为 ．

直线l的参数方程为 为参数， ，
由直线l的参数方程可知，直线l必过点 ， ，也就是圆C的圆心，则 ，不妨设 ， ， ， ，其中 ， ，
则 ， 所以当 ， 取得最大值为 ．







23. 解： ，
若 ，则 ，得 ，即 时恒成立， 若 ，则 ，得 ，即 ， 若 ，则 ，得 ，即不等式无解， 综上所述，a的取值范围是 ， ．
由题意知，要使得不等式恒成立，只需 ， 当 ， 时， ，











，

因为 ，所以当 ， 时，

，
即

，解得 ，结合 ，所以a的取值范围是 ， ．

【解析】
第9页，共16页

1. 解：

复数




，
的实部为0．
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2. 解： 全集 ，集合 ， ， ， ， ， 或 ， ，
图中阴影部分表示的集合为 ， ， ． 故选：A．
求出 或 ，从而 ，图中阴影部分表示的集合为 ．
本题考查集合的求法，考查补集、并集及其运算、集合的包含关系判断及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3. 解：画出变量 ， 满足约束条件


可行域如图阴影区域：

目标函数 可看做 ，即斜率为 ，
截距为 的动直线，
数形结合可知，当动直线过点A时，z最小 由 得 ，
目标函数 的最小值为 ． 故选：A．
先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值．
本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题
4. 解：“ ”，解得 或 ． 由“ ”，解得 ．
“ ”是“ ”的必要不充分条件． 故选：B．
分别解出方程，即可判断出结论．
本题考查了方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．



5. 解：把曲线 ： 上所有点向右平移 个单位长度，
可得 的图象；
再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到曲线 ： 的图第10页，共16页







象，
对于曲线 ： ：
令 ， ，不是最值，故它的图象不关于直线 对称，故A错误； 令




， ，为最值，故它的图象关于直线 对称，故B正确；



令 ， ，故它的图象不关于点 ， 对称，故C错误；
令 ， ，故它的图象不关于点 ， 对称，故D错误， 故选：B．
利用 的图象变换规律，求得 的方程，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
本题主要考查 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
6. 解：由 ，
得


，即
，
，












．
故选：C．
由已知求得 的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解 的值． 本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．

7. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值， ． 故选：C．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．
8. 解：由题意可知几何体的直观图为：多面体：

几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3，
上底边长为1，
几何体的体积为： 棱柱 棱锥





第11页，共16页



．
故选：C．
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
9. 解：根据题意， 为奇函数，则有 ，
即 ，解可得 ， 为偶函数，则 ， 即 ， 解可得 ， 则 ，
故选：D．
根据题意，由于 为奇函数，分析可得 ，解可得a的值，又由 为偶函数，分析可得 ，解可得b的值，即可得ab的值，将ab的值代入函数 的解析式，计算可得答案．
b的值． 本题考查函数奇偶性的性质与应用，关键是利用函数奇偶性的性质分析求出a、




；



10. 解：若 ， ， ，
可得 由正弦定理可得


，
，


则 的面积为












，

．
故选C．
求得 ，再由正弦定理可得b，运用两角和的正弦公式可得 ，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．
本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式，以及运算能力，属于基础题．
取BC中点D，连结AD，过P作 11. 解：平面ABC，交AC于E，过E作 ，交AD于F，
以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ，即 ，
解得 ， ， ，

第12页，共16页



，

，
则 ， ， ，

， ，

设球心 ， ， ，则 ， 解得 ，
三棱锥 外接球半径 ，
三棱锥 外接球的表面积为： ． 故选：D．
取BC中点D，连结AD，过P作 平面ABC，交AC于E，过E作 ，交AD于F，以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥 外接球半径，由此能求出三棱锥 外接球的表面积．
本题考查三棱锥外接球球的表面积的求法，考查向量法、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 12. 解：函数 ， ， 令 ， ，
即 有两解 ， ， ， ，
分别画出 与
的图象如图所示： 当 时，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 故选：B．
先求导，可得 有两解 ， ，

，分别画出 与 的图象如图所示，结合图象即可判断．
本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了转化能力和数形结合的能力，属于中档题．13. 解： ， ， ， ， ， ， 则实数 故答案为： ． ，可得 ，即可得出． 由
本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14. 解： ； 其展开式中 的系数为 ， 即 ，
解得 或 不合题意，舍去 ； 的值为 ．








，
第13页，共16页

故答案为： ．
利用二项展开式定理求出多项式的展开式，再求 的系数，列方程求得a的值． 本题考查了二项展定理的应用问题，是基础题．
15. 解：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，
规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分， 现从该袋子中任取 有放回，且每球取得的机会均等 个球， 基本事件总数 ，
取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数 ， 取出此2球所得分数之和为3分的概率为 故答案为： ．
基本事件总数 ，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数 ，由此能求出取出此2球所得分数之和为3分的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
，可得N为PQ的中点， 16. 解：由
，
在直角三角形 中， ，




．

，
即有 ，
直线PQ的斜率为 ， 的斜率为 ，


由 ， ， ， ，
可得直线PQ的方程为 ，
代入双曲线的方程可得
， 设 ， ， ， ， 可得 ，
PQ的中点N的横坐标为






，
纵坐标为 ，

由 ，



即为

，
即为 ， 化为 ， 即 ，可得 ．
故答案为：2．
由题意可得N为PQ的中点， ，运用直角三角形的性质可得直线PQ的斜率为
第14页，共16页


， 的斜率为 ，求得直线
PQ的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得N的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，化简整理即可得到所求值．
本题考查双曲线的离心率的求法，考查直角三角形的性质和直线与双曲线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查两直线垂直的条件：斜率之积为 ，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
17. 利用等差数列的通项公式以及数列的求和公式，利用待定系数法求解即可． 利用裂项相消法求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查计算能力．
18. 设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 ， ，计算 和 的值，比较即可得出结论；
根据题意填写选择意愿与性别两个分类变量的列联表，计算 ，对照临界值表得出结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是中档题．19. 设点O为点P在底面ABCD的射影，连接 ， ，则 底面ABCD，分别作 ， ，垂直分别为 ， ，连接 ， ，证明 ，结合 ，推出 平面OPM，可得 ， ，证明 ≌ ， ≌ ，得到 ，推出AO为 的平分线．
以O为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
求出平面BPD的一个法向量，平面PDC的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角 的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断与性质，三角形的全等，二面角的为平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20. 利用已知条件转化求解椭圆的几何量，求解椭圆方程即可；
设出直线方程，利用直线与椭圆方程联立，利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解即可．
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
21. 求出定义域，求出导函数，利用切线方程列出方程组求解即可．
令 ，则 ，推出 在 ， 上递增，证明在 区间 ， 上有唯一的零点 ，推出 取得最小值即





，即可．
本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
22. 曲线C的参数方程消去参数 ，得曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．
由直线l的参数方程可知，直线l必过圆C的圆心 ， ，则 ，设 ， ， ， ，则 ，当 ， 取得最大值为 ．
本小题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．
第15页，共16页





通过 ， ， ，23. 利用 ，分别求解即可．
要使得不等式恒成立，只需 ，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．
本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．


第16页，共16页

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7a171231b94ae45c3b3567ec102de2bd9605de0e.html

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