赵树源线性代数习题四(B)题目和答案

1．三阶矩阵的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。

【解】应选择答案。因为：

由已知及特征值定义，的特征方程的根为－2，1，3，

应有，

即有，知为奇异矩阵；

由知为奇异矩阵；

，知为奇异矩阵；

而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是的特征值，从而，即为非奇异矩阵。

2．设是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵必有一个特征值为[ ]。

【解】应选择答案。因为：

是矩阵的一个特征值，即有，

于是，

亦即，

对上式两端左乘，得，

亦即 ，

整理得，

这说明是矩阵的一个特征值。

3．设，都是阶矩阵的特征值，，且与分别是的对应于与的特征向量，则[ ]。

且时，必是的特征向量

且时，必是的特征向量

时，必是的特征向量

而时，必是的特征向量

【解】应选择答案。因为：

当且时， 为零向量，不可成为任一阶矩阵的特征向量；

反设是的特征向量，对应的特征值为，

于是有 ,

亦即为 ，

由定理4.3，不同特征值对应的特征向量线性无关，由上式应有

，

而题设且，于是只能有，

亦即为 ，但这与题设相矛盾，从而且时，

不可能是的特征向量；

当时，有可能与同时为0，因为此时为零向量，所以“必”是的特征向量的说法是错误的；

综上知，正确。事实上：

当而时，，而已知是的对应于的特征向量，即有，知此时是的对应于的特征向量。

4．与矩阵相似的矩阵是[ ]。

【解】应选择答案。因为：

设各选项矩阵分别为，，，，则由于与，，，都是对角矩阵，因此它们的特征值都是其主对角线上的元素，即都是，，

按定理4.7，只要看，，，是否满足：对每一个重特征值，成立者即与相似，即：

对于，有，而由，得，有，

即由定理4.7，不与矩阵相似。

对于，有，而由，得，成立，

即由定理4.7，不与矩阵相似。

对于，有，而由，得，成立，

又对于，有，而由，得，成立，

综上，由定理4.7，与矩阵相似。

对于，有，而由，得，有；

由定理4.7，不与矩阵相似。

5．矩阵与相似的充分必要条件是[ ]。

与有相同的特征多项式

阶矩阵与有相同的特征值且个特征值互不相同

【解】应选择答案。因为：

是与相似的充分但不必要条件。如与矩阵有，但由上面4题知，与不相似。

是与相似的充分但不必要条件。如与矩阵有，但由上面4题知，与不相似。

与有相同的特征多项式，是与相似的充分但不必要条件。如与矩阵具有相同的特征多项式，但由上面4题知，与不相似。

矩阵与相似的充分必要条件是“阶矩阵与有相同的特征值且个特征值互不相同”。这是定理4.6的推论。

6．设，为阶矩阵，且与相似，则[ ]。

与有相同的特征值和特征向量

与都相似于一个对角矩阵

对任意常数，与相似

【解】应选择答案。因为：

～时，不一定有。

如～，

但， ，

对比可见。

与相似，由定义4.3，有可逆阵，使，亦即，

由定理4.5，与相似则有相同的特征值。于是可设与有相同的特征值，并设对应于的特征向量为，

即应有，于是在等号两端左乘，得，

由于本小题的第一步所得的，上式因此变化为，

这说明对应于的特征向量为，而与未必相等，即说明与对应于相同的特征值未必有相同的特征向量。

由课本P183页末知，与约当矩阵相似，

而由课本P180页末又知，不存在相似的对角矩阵，

因此，与相似，则与都相似于一个对角矩阵的判断未必正确。

综上知，正确。事实上：

由于与相似，由定义4.3，有可逆阵，使，

于是，对任意常数，

亦即为 ，

由定义4.3，这说明与相似。

7．设三阶矩阵有三个线性无关的特征向量，则[ ]。

【解】应选择答案。因为：

由，得的特征值，，

由定理4.6，有三个线性无关特征向量的三阶矩阵必与对角矩阵相似，

从而由定理4.7，对于2重特征值，由于，应有，

而由于，即应有。

8．设矩阵与相似，其中，已知矩阵有特征值1，2，3，则[ ]。

【解】应选择答案。因为：

题设，由定理4.5知，与有相同的特征值1，2，3，

再由定理4.4，的所有特征值之和等于的主对角线上元素之和，即有

解之得 。

9．下述结论中，不正确的是[ ]。

若向量与正交，则对任意实数，，与也正交

若向量与向量，都正交，则与，的任一线性组合也正交

若向量与正交，则，中至少有一个是零向量

若向量与任意同维向量正交，则是零向量

【解】应选择答案。因为：

若向量与正交，由定义4.7，成立，

于是，对任意实数，，有，

即由定义4.7知，与也正交。命题正确而非不正确。

若向量与向量，都正交，由定义4.7，成立，，

于是，对，的任一线性组合，成立

，

由定义4.7知，与，的任一线性组合也正交。命题正确而非不正确。

若向量与正交，由于正交定义4.7并未指定与是否为零向量，因此本命题肯定说正交向量，中至少有一个是零向量不正确。

事实上，当，中至少有一个是零向量时，必成立，而当，中都不是零向量时，仍可能成立，如而时，它们都不是零向量，但成立。

若向量与任意同维向量正交，不妨设为维向量，则与初始单位向量组，，…，正交，即有（），亦即（），从而的个分量都为零，即是零向量。命题正确而非不正确。

10．设为阶实对称矩阵，则[ ]。

的个特征向量两两正交

的个特征向量组成单位正交向量组

的重特征值，有

的重特征值，有

【解】应选择答案。因为：

关于实对称矩阵的特征向量的正交判断定理仅有定理4.12，而且定理指明：对应于不同特征值的特征向量才是正交的，因此，本题的正交条件不足，仅为“实对称矩阵”，难以保证特征向量两两正交。事实上，课本P191例5中，实对称矩阵有特征值，。其中对应于的特征向量为，，显见，说明与就不是正交的；

由知，的个特征向量尚且不一定两两正交，那就更不一定能组成单位正交向量组了；

“的重特征值，有”是阶实对称矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件——定理4.7，而本题已知“为阶实对称矩阵”，由定理4.13知其必与对角矩阵相似，从而本判断是正确的；

由定理4.7及的判断，的重特征值，应有成立而不是成立。

*11．为3阶矩阵，，，为其特征值，的充分条件是[ ]。

，， ，

，，

【解】应选择答案。因为：

由定理4.14，阶矩阵成立的充分必要条件为的一切特征值的模小于1。可知仅有条件可选。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7f9e6a886529647d27285292.html