2020陕西省高考数学试题的特点分析及2020年高考试题的命制趋势

2020年12月7日 西安 陕西高考数学复课会议

2020陕西省高考数学试题的特点分析

及2020年高考试题的命制趋势

（联系方式：E: Q: 363215694 ）

咸阳师范学院 安振平

2020年高考数学试题的特点分析

　 今年的陕西高考数学试题，从整体上看，充分贯彻了全国高考数学《考试大纲》的基本精神，紧扣了现行高中数学教材的内容，既注重了基础知识的考查,又突出了能力立意的命题理念.虽然相比陕西自主命题的2020年、2020年试题，创意上略有提升，难度上略有所提高，但试题的难度仍然比较适中. 符合陕西省内陕南、陕北、关中不同地区的高中数学教学的实际，利于于高校选拔人才的基本要求.笔者以为，试题应当说是一份比较成功的、质量比较高的试题.

● 试题求“稳”，稳在哪里？

从试题的布局看，依然是22道试题，分别为12道选择题，4道填空题，6道解答题，和全国的模板相同，但分值用的是全国的旧形式，那就是，选择题60分，填空题16分，解答题74分.

从试题内容的布局上来看，重点没有变化，思想没有变化，原则没有变化，导向没有变化，特色没有变化.具体表现在：

主观题目考查的知识点相对稳定，例如：复数（理科），抽样（文科）线性规划，集合，等差数列，充要条件，反函数，涉及球的组合几何体，二项式定理，排列组合，解三角形，极限（理科），向量，直线与圆的位置关系，等等.

客观题目考查的题型也没有多大的变化，依然是，三角函数，概率与统计，立体几何里元素的位置关系判定与计算，解析几何里的直线与圆锥曲线的关系，函数、导数与不等关系，递推数列与不等式证明.

这些“稳定”点的重现与“不动点”的设计，充分体现了高考命题的基本要求：一是真正为中学生减负，二是把中学生的能力考出来.

文理科试题里均没有偏题、怪题与过难的题目，相同的题目有11道，类似的姊妹题有5道，不同的题目有6道.这样的处理，有效的显示了文理科学生数学能力的区别，设计的比较科学，符合高中生的实际，为今后的命题和高考文理科复习的不同要求，提供了比较好的方向.

● 试题求“变”，变在何处？

仔细比照陕西自主命题以来的2020、2020年的试题，不难发现，2020年试题是有一定变化的，变在知识载体的适度迁移，解题能力要求的恰当提升.

例如：第7题的反函数，2020年是抽象函数图像的选择题目，而2020年却变化为具体的指数函数与对数函数的运算问题.文理科均有的第12题，与2020年的第12题比照，均为信息安全情景，但新考题的加密办法要较原来考题新颖一点、抽象一点的.很好的处理了继承与发展变化的关系.

又如：数列题目2020年，2020年都设计了9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与44d853a7808a331d95220fcb38095649.png的关系的题目，而在2020年的题目里，有意做了回避.对解析几何解答题目，2020年设计了求参数的取值范围，2020年出现了求面积的最大值，都和不等式相联系，而2020年却有意避免了不等关系的出现，转变为等量关系了.立体几何解答题，其图形载体是比较新颖的.2020年是直二面角的图形，2020年是四棱锥的图形，而2020年却变化为“台体”了，当然，不变化的因素是，都有一线与一面垂直啊！

再如：理科的函数题目，2020年是三次函数、导数与数列不等式证明，2020年是指数函数与二次函数复合的分式型的函数，求参数的取值范围，求函数的单调区间.而2020年却变化为一次函数与二次函数复合的分式函数，载体做了一定的调整与变化，问题似乎也新鲜了一点的.数列题目，陕西命题的前两年，没有出项递推模型：e2ac3b4f86261587e0557c487ba1c4fe.png，而这点在2020年的理科第22题、文科第20题里得到了比较好的体现，此题目的背景，可以在课本上找到证实：过渡的人教版教材第一册（上）110页，或新课标人教A版数学必修5的第38页均有如下问题：

已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，d5095cbfaa9c90c0ebd80d131e887f98.png，写出数列的前5项．

这是根基在课本上的例子. 更多的往年高考真题的例子，可以列出如下的清单：

1. (2020，重庆)在数列｛an｝中，若a1=1．an+1=2an+3 (n≥1)．则该数列的通项an=__ ．

2.（2020，福建）已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足f773fb25db4a3fd5c7cb1cffe03ef074.png．求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式．

3. （2020，全国2）设数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的首项1f36f41a42f43fcbfd81aca0b4eb0f67.png，e35126765adb6aea3444aaab0df84e51.png，b7bec19233356c5d82bcd950a0c891ee.png．求3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式.

4. (2020，全国1) 已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，a19a043fac3b49ee20ca577999b244af.png，afe1b9cc67807837f790abc16a465e75.png． 求02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式.

当然，还有许多的高考数列题目，通过变换以后，可以转化为模型：e2ac3b4f86261587e0557c487ba1c4fe.png，请看：

1.（2020，全国）已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足73b632218bebc593554541a9459cb708.png，证明：b3db968de70be4f3a07c4269c40d77f7.png．

提示：对ec9d1cb71037d38058fc7653327b9724.png的两边同时除以c2f307ab1e6ecb7e8ced4c1de16e38ff.png，就得f51e596c03d8d089bdc4259d440d5bc5.png

2.（2020，天津）设c28556537f6fa3e67b9c313fecb1c4bc.png是常数，且dc58a25d777f0036b154ec7d47ce53f7.png，证明：对任意605f9bb1c8147673722c9ff87962e6b3.png，279f5c8aacb59ddfea9ce1602f7753ce.png．

提示：对87108cd0009d3076ad01adeba61dded4.png的两边同时除以c2f307ab1e6ecb7e8ced4c1de16e38ff.png，就得 2334406ea8ce83b848e23f26ae6e2e96.png.

3.（2020，江苏）已知f578538d878ffb422464ac9e30339993.png，6a465d791722b79e0d6c0078b50d5091.png（0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为正常数），用0ba2480e55c9cd68da852f37573aecc6.png表示9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png．

提示：对6a465d791722b79e0d6c0078b50d5091.png的两边取对数，就得 dfb72f93c0903a6d6ec141bd61f58251.png

4. （2020，四川）设数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的前项为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，已知243730125bc1987e78436ada241b692f.png．（Ⅰ）证明：当19bf9442bea375a24abb4c22e9951a92.png时，217a042aba68544fbb96d499c60f9742.png是等比数列；（Ⅱ）求3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式．

提示：条件式可以转化为 0291aabbfd0c82afa2c43ef75c0ac309.png809b5c5d34d0d23888de9ae8372d09d5.png.再用同除技巧，就可以转化为如上的模板了.

● 试题求“新”，新在哪里？

一些新颖的题目的设计，显示了命题者的数学智慧，展示了数学试卷的种种“亮点”，为了实现命题的“能力立意”，创设了很好的问题情景.

例如：理科第9题文科第10题将直二面角里的线段长、角度大小，巧妙的设计为新颖的不等式比较大小题目，具有一定的创新性. 第11题，一抽象函数为载体，考查相关的计算，试题设计简洁明快，作为陕西的题目，是有一定特色的. 第12题以信息传递为背景，涉及了集合、新定义的运算，属于一道新颖的智能型的试题，第16题以国家大事奥运火炬传递为题材，设计的背景是新颖的，也是紧跟时代要求.

又如：第19题是一道立体几何题目，此类问题要有新的创意，是不那么容易的. 但陕

西的命题高手却可以做到，高三的师生意想不到, 2020年一直二面角的图形展示，而2020年却以“三棱台”的图形闪亮登场. 要知道，立体几何题目的设计，不是椎体，就是柱体啊，那来的这等“怪物”，教材上没有涉及的.

再看理科第22题，第I问设计平常，而第II问却设计独特、新颖，半路杀出了程咬金，怎么多出了个未知数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，有意思！第III问更上一层楼，感觉中，一定有什么玄妙，可能有高等数学的背景？和面积、积分有联系，读者不妨思考之.

● 理科压卷试题的研讨

2020年陕西高考理科数学压轴题为：

问题：已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的首项a131d86914c046fd3cae6ff9e0079616.png，fab2f99d7b89eb5d14ad2399a0e891ca.png

（I） 求02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

（II） 证明：对任意的79c2993546a5f1df3d9b02454f80105c.png

（III） 证明：95e35a057a7c5575a4eaf809ed16b567.png

笔者以为，该考题的设计是比较新颖、独特的，从参考答案提供的解答方法来看，第（I）题是用“倒数变换”，构造等比数列求解的；第（II）题是用“配凑”数学通项，利用（I）的结论做答的；而第（III）题是借助（II）的结论，对x取特殊值，这个值的选择，没有一定的数学悟性，是比较难想到的.

● 关于第（I）小题的求解

一个提及的问题是，如果没有想到“取倒数”法，没有转化到如上的模型上去，还能够求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项吗？

其实，由首项出发，借助递推关系，求它的第2项，第3项，第4项，就得

a131d86914c046fd3cae6ff9e0079616.png；8e43ee76940e047e1aa105e5c6755571.png；e3792f6a826e5e4be1f4228c2cb0d30c.png；860bf8f025d6db30811ebbc7711a40ff.png.

据此，容易猜出 3c29cbe167536dcca791cc2fbd73d5d3.png. 接下来，可以用数学归纳法证明之.

这种从特殊到一般，“归纳、猜想、证明”的思想方法，是求解数列问题的基本方法，理应成为考生思考此类问题的通性通法，也应当是首选的方法.

● 探究第（II）小题的证明

我们知道，证明不等式最有效的通性通法，那就是作差比较法. 请看：

为了书写的简单，换元是一个好主意，令cfe2f5f45f8a73066fa863ee4b198014.png，则c12d595f7f3391cdbc83354e91bd1c98.png，于是

5c8b84f87940aa5df4b9bf927a2ab5d7.png

5d863228a400cc07c8581f447a3901fb.png

请读者思考，为什么我们没有早早地把通项代入呢？这样做的话，运算会简单吗？

通过观察，我们看出所要证明的不等式里有850779f7ccac3baa864773a5dbef909d.png，而由（I）的结论知道c6c41dcce161530f8f630c60948441f5.png之间有关系3c29cbe167536dcca791cc2fbd73d5d3.png，我们就可以消去一种字母呀. 这种“消元”，我们是经常利用的，属于通性同法. 你看到了吗？上面的证明就是消去了c2f307ab1e6ecb7e8ced4c1de16e38ff.png呀！基于这样的认识，我们利用数列的通项式3c29cbe167536dcca791cc2fbd73d5d3.png，反解得 e354f6abfcb41291025f8f5957f760bc.png，再结合2元均值不等式32f0247e66540065e2baef1feaa34532.png，就有如下的证明方法：

203a72430582cc6a8600449a38063768.png

0acaee982c712952a2d7a289e0edcfad.png

b2f36be43afd51242e2d6c1c931080e1.png

我们知道，灵活的配凑，巧凑乘积的因子、妙分和式的项，这是应用2元均值不等式的前提. 关注如何消失字母x，仅留下9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png，你可能就有了点感觉了.

● 研究第（III）小题的证法

数列不等式的证明是历年高考的热门话题，这类问题往往有着数学竞赛题目的味道，其难度是比较大的，适度的放大或缩小，其技巧性是很高的，能够有效地检查考生的分析问题与解决问题的技能.

不用参考答案里的证明方法，你能证明吗？这是数列不等式的证明问题，通性通法是数学归纳法，可以证明吗？完全可以，但运算量大，技巧性比较高，留给读者去完成.

猜透了命题人的原始意图，看穿了题目的本质属性，你就会发现，利用n元均值不等式去证明，就太简单了！

证明1：所要证明的不等式等价于

cf304c55c6667819c4956bc28e1ad73d.png.

由n元均值不等式，得

c1c1f68d70737b4b7a385ea7b00b0a53.png，

7cf158cbdbcfc83c9455a0689712051a.png，

两式相乘，便得

16a43658ef2aeb351a1f8e2d48a073d1.png. （*）

注意到 07cc45d48a1477c2e528e9af96613a86.png

dc774814a425630e09974f318c177094.png

于是，由（*），立即得出

cf304c55c6667819c4956bc28e1ad73d.png.

证明2：用柯西不等式，便得

8925c8c60b1304a828dbb4a6d184c81d.png

dbb45d2d84e07f3bc652820576c5dfff.png

即有 deb58bf4dc0a8da37868a5652ddf63a3.png. （**）

据此，并注意到694f3aa9fe50b8cf882bb3d89519e3db.png，便有

1fffbe92e349dadd361b04ad2aaeaeb6.png

22c745b1cc8437a7d05cb5d5d02adc95.png

即有 cf304c55c6667819c4956bc28e1ad73d.png. 得证 .

在如上的证明里，我们用到的n元平均值不等式和柯西不等式，对于原人教版高中教材而言，不属于课本内容，属于高中数学竞赛的要求. 对于新课标的高中教材，则属于选学的内容，一些省份属于高考的必考知识.

需要说明的是，柯西不等式的变形（**），许多参考资料上称为“权方和不等式”，由此不等式，可以证明许许多多的数学竞赛里的不等式，这可以在有关的文献里找到.

我们也可以这样去思考：

原参考答案是利用第（2）题的结论来证明第（3）题里的不等式的. 笔者的想法是能不能给出直接的证明方法呢？这是可以做到的.

证明：用数学归纳法进行证之.

(1) 当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，有a131d86914c046fd3cae6ff9e0079616.png7916b68a18eb31a52eef9f1c119fe094.png, 此时不等式成立.

(2) 假设84397256ec1d228f288198d1e5ae5959.png时，56228fe1b482c3b8ffafb3a158686eb0.png成立. 那么，当b7eb27d0b2cabbf70084c60f4ce9fc8a.png时,

423cd3bf436ba30a63523d0534ecc507.png.

因为函数6e29356e60a380024c1c7eaf80c49fa1.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上为增函数, 所以

9480062ecbf3503ec9ef5194c3f04444.png

4d743f280f6b678e29963e97254857b0.png

2344caf37e3cfadbad67875cb7ee0335.png

ede352a9edc980054d689fd345c7e258.png

4d00c5a1dcb3a937c59caa52ecca7a42.png

a7291cc99b36b6a47fa16f6eca4ef32c.png

7c6adf90d3f1de4388b9a4258fe147d1.png,

所以 0e500e1c7cf23d49ed76b844d9b0a19d.png,

即 4997d0e94222729b254110d5745f2dc5.png，所以b7eb27d0b2cabbf70084c60f4ce9fc8a.png时也成立，

故70765e5d82a1b8795f458c48712b80c0.png.

其实，将第（1）题求得通项公式代入第（3）题里的不等式，变形，就得如下不等关系：

问题2-2：已知函数27059394e8aa369198c69d915dd6c4dd.png，对于任意的正整数n，求证：

d4dbdc17775b313b26ba71aaf2f15c38.png

证明：所证明的不等式等价于

bd5b672b55ceaeab68ae23a196f31ece.png. （1）

先证，当bd5fdd9e5e714e4c01a435e748ab971e.png时，有

a4008714446d9fbb0e2c4acab693f1e2.png， （2）

这等价于 98eae34c0b79bb6c99641f09f2ea8447.png. （3）

用数学归纳法可以证明，事实上，

当9d8980d95018cffda6b0d77684ba1523.png时，a4f1c32de3735b0da3f4fa936a66e599.png, 不等式（3）显然成立；

假设d1f6a0bc6c663bfae998e23410fc45cb.png时，有180c0bde95244e97ee89d94eb658137f.png. 那么，当c12526c23e7b01c0ee43378618bf9121.png时，

22b8a9e04ad0cec1a80e333dc179f3ff.png

79671b4f8eb95c7577763f265ec5a16b.png

即c12526c23e7b01c0ee43378618bf9121.png时，不等式（3）也成立.

综上可知，不等式（3）, 也即不等式（2）成立.

在不等式（2）中，取350920017979ab0b2f7795d43c80f910.png，得

8c7b0a8fd2a7761bffac4ff693803864.png，

ab767208d264861ff94681e3c483eba6.png，

......,

7e4142c1a171d9ed6135b3625aedf3c6.png,

叠加，得 4dd4e3baf552afe7225b22442afefa40.png

56fc40ae5891800be169e36e0180f5fc.png

321242824e3996209f2f6399205c72f5.png

故有 5566fa1e078d13a63f341433b141780c.png成立.

这个证明思维于裂项，但需要对项的起步多点调整的.感觉中，这也是一种比较有趣的证明方法.

2020年高考数学试题的命制趋势

应当说，2020年是陕西高考特殊的一年，它是过渡教材的最后一个年份，所以，我依然人为，“稳定”的格局是大前提，要继承我省前3年命题中的一些成功经验，坚持“基本知识、基本技能、基本活动经验和基本思想方法”不动摇。

我的一些思考，也许不是那么成熟，仅供大家参考。

全国高考大纲是命题的文件，是命题的内容和能力要求，是定义域；

课本素材命题的基本依据，是考题编拟的蓝本，是“题根”，是“母题”。其关键是要看如何变化、怎样去编拟、去形成新的考试题；

往年的真题是命题的参照系，是“求稳”的标准。当然，其前提，求变，求新是命题人的追求！中央卷（也就是全国卷）是起到领导作用的，其它的地方卷是起参考作用的，而我们省（2020，2020，2020）三年的真题是起到比较大的参考作用的。

我们一直思考这样的一个问题，2020年没有考的知识点有哪些？2020年会考吗？怎样去考查？这是也许是比较灵验的！

比如：08年解析几何解答题是抛物线的问题，09年还是抛物线吗？不会吧？可能是椭圆？也许，怎样具体的考查，我们还可以继续去深入思考的。

又如：课本上数列求和的错位相减法，这是其它省考题的一个“亮点”，陕西09会考吗?也许值得我们思考。

命题的一些生长点：

课本题目：

问题：（教材不等式一章上有这样一道习题） 设76e793a06eb8aa277fbfd572d527a51e.png，求函数4af9b2d92a0fc6fd08569ede8edbadd3.png的最大值，并求相应的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png值.

变化1：设76e793a06eb8aa277fbfd572d527a51e.png，求函数1408fee787e7aa33ea6ec8e0efbd0e46.png的最大值，并求相应的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png值.

变化2：设76e793a06eb8aa277fbfd572d527a51e.png，求函数d5a4fa335e0f5b97425727889424827e.png的最大值，并求相应的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png值.

当然，我这是浅层次的变化，可以当作选择填空题的基本原型。

看来，你在高考复习的时候，适当地回归课本，把教材的问题做一点点、一点点的变化，如“换元”、改编“数值”、做点变形，让数学课本“活”起来，“新”起来，这样的教学也许就有了味道了，教学的效果也许就会好多了。

（2020，15）如图，平面内有三个向量1a4d269cfb0017439ea5e6b3303f7357.png，其中7ababa8311941d5b80d5c310cb27949f.png与0c2dfad2eb0a96918c3056b5a6bdaa82.png的夹角为41b95f3a1598d5894288b9e38f524e39.png，7ababa8311941d5b80d5c310cb27949f.png与8d3f15c4f0afc0118d72467338ece42f.png的夹角为1dd1ccf85e8ef5926ff6c160f41c4772.png，且9599fb2f9d8dca89e717786617a9fb93.png，c02e941bdefd9f7beef0dbfc0723e093.png．若15670245e754c3605c024cc2a3db29f8.png，则0b70fef760c3ae083b655845f05edb02.png的值为　　　　　．

资料题目：

问题：求证：68ebbcfb905700a80a68364664c1a291.png d6db36b2bafd08e3a54a80167d7dc627.png.

思考1：构造函数fc6d43df8ed415368400dc4c94e5f1a8.png求导，得

00b6b02b0d6b57bea28ba0d273d1ab04.png

所以，函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png上是单调递增函数.

当3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png时，8a4457119c3bcd2ddf52deffe1add769.png，

从而 68ebbcfb905700a80a68364664c1a291.png d6db36b2bafd08e3a54a80167d7dc627.png.

思考2：采用换元技巧，令547be4a45598382a16c96d1ffe5aa537.png则所要证明的不等式等价于

5f1d7b8f751100b19cb31bde221d8459.png ecff57e284fcb469a47c3d8da94f698a.png.

这个不等式又等价于

d299a00d3df861276ca752087e8def0b.png ecff57e284fcb469a47c3d8da94f698a.png.

接下来，构造函数ceb5f591cf15e1dba9198665c7aae94d.pngecff57e284fcb469a47c3d8da94f698a.png，求导，得

8012251598a28988c5e5f1c3d0e8f2c8.pngecff57e284fcb469a47c3d8da94f698a.png，

所以，函数d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png在区间2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png上是单调递增函数.

当af73024a54a91c6424ec5935b70d6300.png时，4330bdb2f91932bdb09179a515e84df4.png，

从而 d299a00d3df861276ca752087e8def0b.png ecff57e284fcb469a47c3d8da94f698a.png.

这种证明方法的好处是：通过换元，将无理转化为有理，将分式转化为整式，这样，再构造函数，对其求导数，运算的过程就简单多了.

思考3：一个思考的问题是，如没有想到构造函数，那怎么去解答呢？其实，接着思考2中的不等式，只要

d299a00d3df861276ca752087e8def0b.png ecff57e284fcb469a47c3d8da94f698a.png.

证明不等式的基本方法，那就是做差比较法，具体的操作程序是：做差、变形、判正负.

事实上，bcbbedc433b64f34a47a00949ccbb768.png7fe4942a7a3f95ea20ac575aeb9ffe31.pngecff57e284fcb469a47c3d8da94f698a.png.得证.

思考4：不用换元，不用构造函数，也可以直接给出简单的证法. 只要想到三元均值不等式，就可以了. 事实上

因为153df9630c3138bf1daeb256b698c104.png

所以 36c98821433d6d34a7b5b9e2e72f6637.png

即有 68ebbcfb905700a80a68364664c1a291.png d6db36b2bafd08e3a54a80167d7dc627.png.

我们教师的心里，一定要清楚，我们是在追求一题多解吗？我们的复习教学想做什么？为学生提供学习的有效素材，提供解题的“念头”、“想法”，做适度的“点拨”，让学生“开窍”，让学生自动自发地去学习！

高考真题：

让我们一起来看看函数解答题近三年陕西理科如何考？

（2020，22）已知函数f(x)=x3－x2+1f56d5c8255000eab2d7cc2b7293ef6a.png + 70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png , 且存在x0∈(0,bcf6b4e95b2f8c428a3901c3e032376f.png ) ,使f(x0)=x0.

（I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0, xn+1=f(xn); y1=bcf6b4e95b2f8c428a3901c3e032376f.png, yn+1=f(yn),

其中　n=1,2,……

（II）证明：xnn+10n+1n;

（III）证明：858df4e0711cf0febc048dcb8d182001.png < df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png .

（2020，20）设函数0c23c7e73f5447471a36612ccb780b8f.png，其中0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为实数．

（I）若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的定义域为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围；

（II）当50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的定义域为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png时，求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的单调减区间．

（2020，21）已知函数7f8ae55e84c2641aef6b74666f5da396.png（96df96dd95bbf61a8224853c7a06c48c.png且6766933fa051fe48b5c218cf1b16afd1.png，77fd1d370f5fc2d13ca3321dc3c43dc9.png）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是da9aafbb3b316bdd03d29a9d35234e19.png．

（Ⅰ）求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的另一个极值点；

（Ⅱ）求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的极大值69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png和极小值6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，并求e9b5ad1bf268e3fea9269e6ff87c3881.png时8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的取值范围．

竞赛题目：

希望杯数学竞赛题目，全国数学联赛一试题目，改编一下就可能成为下年的高考新颖题目了，这样的例子是很多的。

高数题目：

与“凸函数”、“不动点”、“中值定理”、“新定义运算”等相关。

例如：3年陕西高考理科选择第12题：

（2020）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为

A. 4,6,1,7 B. 7,6,1,4 C. 6,4,1,7 D. 1,6,4,7

（2020）设集合42b07b9fc22406c6c58d9fe585d6bb42.png，在5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png上定义运算3eb02fff4997ea78e9c47152ebbc24c3.png为：6f962f5b72086481f578bb41a10b8df1.png，其中8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为b7346d5afda9c24f9d1c530fc51d0c72.png被4除的余数，c20ea3cba268ccd2bcf12916a6aeab74.png，则满足关系式a0d57181d05ba50a3a091663f490948a.png的a4ec095ec61e990be48fb98f974fc66e.png的个数为

A．4 　 　B．3 　　 C．2 　 　D．1

（2020）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为d9d337fd8a0493e44e6fa94408c76156.pnga274832815976de6f3010adaffead5fc.png（a080d734b72523ee8d53ae3cb6b41195.png），传输信息为791956cdd06ab4c7ad0f1a74935ddd28.png，其中1251bca3bc05c644976cd502ee477c2d.png，3eb02fff4997ea78e9c47152ebbc24c3.png运算规则为：816208f38c8419bdb9711a5faf41376a.png，7fe047a112cdae7d79727b0a420b3dae.png，4f7478e7c11f528c9ca0de0129b894a5.png，fc39d93f9656f163435c6c2ea81f2192.png，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是

A．11010 B．01100 C．10111 D．00011

又如：2020年理科22题与中值定理相关联。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/862ef683a800b52acfc789eb172ded630a1c9877.html