21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
A基础知识详解——————————————
☆知识点 一元二次方程根与系数的关系
关系 | 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,那么x1+x2= - |
常用变形 | x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2; (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1; |
逆用 | 如果已知某一元二次方程的两根为x1,x2,则该一元二次方程可表示为x2-(x1+x2)x+x1x2=0或(x-x1)(x-x2)=0. |
特别提醒 | 根与系数关系存在的基础是方程有解,即△≥0. |
○随堂例题
例1 设a,b是方程x2+x-2018=0的两个不相等的实数根.
(1)a+b= -1
;ab= -2016
;
(2)求代数式a2+2a+b的值.
自主解答:(1)∵a,b是方程x2+x-2016=0的两个不相等的实数根,
∴a+b=-1;ab=-2016;
(2)∵a是方程x2+x-2018=0的实数根,
∴a2+a-2018=0,∴a2=-a+2018,
∴a2+2a+b=-a+2018+2a+b=a+b+2018,
∵a、b是方程x2+x-2018=0的两个实数根,
∴a+b=-1,
∴a2+2a+b=-1+2018=2017.
【一中名师点拨】(1)直接利用根与系数的关系求解;(2)要先变形,利用根与系数的关系已经方程的解来求解.
○随堂训练
1.已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两根,那么x1+ x2=
2.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m-1=0.
(1)当m何值时,方程有两个相等的实数根;
(2)当m=2时,设α、β是方程的两个实数根, 求α2+β2+αβ的值.
解:(1)依题意得:△=42-4(m-1)=0,
解得m=5;
(2)∵当m=2时,设α、β是方程的两个实数根,
∴α+β=-4,αβ=m-1=1,
∴α2+β2+αβ=(α+β)2-αβ=(-4)2-1=15,
即α2+β2+αβ=15.
例2 已知:关于x的方程x2+kx-2=0
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是-1,求另一个根及k值.
自主解答:(1)∵△=k2-4×1×(-2)=k2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根;
(2)将x=-1代入原方程,得1-k-2=0,
∴k=-1.设方程的另一个根为x1,
根据题意得-1•x1=-2,∴x1=2.
∴方程的另一个根为2,k值为-1.
【八中名师点拨】利用根与系数的关系可以简便的根据两根求出方程中未知数的值,也可以简便的根据一根求出方程的另一根.
○随堂训练
3.已知关于 x的一元二次方程x2-kx-6=0的一个根为x=3,则另一个根为( A )
A.x=-2 B.x=-3 C.x=2 D.x=3
4.(2017绵阳)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为( C )
A.-8 B.8 C.16 D.-16
5. 若方程x2+(m+1)x-2n=0的两根分别为2和-5,则m= 2 2
,n= 5 5
.
B重难点解读—————————
☆重难点 根据方程中两根的关系确定方程中字母的值
○随堂例题
例1 已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1、x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2,求实数k的值.
自主解答:(1)∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,
∴△=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,
解得k≤
(2)∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,∴x1+x2=1-2k,x1•x2=k2-1.
∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=16+x1•x2,
∴(1-2k)2-2×(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0,
解得k=-2或k=6(不符合题意,舍去).
∴实数k的值为-2.
【一中名师点拨】题目中提到两个实数根,即隐含着根的判别式大于等于0;当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值,关键是把这种关系式转化为含x1+x2及x1x2的形式.
○随堂训练
1.(2017烟台)若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为( D )
A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D.1
2.已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0,
(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1,x2是原方程的两根,且
解:(1)△=(m+2)2-4m=m2+4>0,∴无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)∵x1,x2是原方程的两根,
∴x1+x2=-(m+2),x1x2=m.
∵
解得m=2,经检验,m=2是分式方程的解,且符合题意,∴m的值为2.
课后达标
基础训练
1.(2017呼和浩特)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为( B )
A.2 B.0 C.1 D.2或0
2.(2017新疆)已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( A )
A.-3 B.-2 C.3 D.6
3.已知m,n是一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根,则代数式(m+1)(n+1)的值为( D )
A.-6 B.-2 C.0 D.2
4.已知实数x1,x2满足x1+x2=11,x1x2=30,则以x1,x2为根的一元二次方程是( A )
A.x2-11x+30=0 B.x2+11x+30=0
C.x2+11x-30=0 D.x2-11x-30=0
5.已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两根,那么x1+ x2=
6.已知关于x的方程x2+ax+b+1=0的解为x1=x2=2,则a+b的值为 -1 .
7.以
8.已知方程5x2+mx-10=0的一根是-5,求方程的另一根及m的值.
解:设方程的另一个根为k,
则-5k=-2,解得
9.已知关于x的一元二次方程kx2+x-2=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设方程两个实数根分别为x1,x2,且满足x12+x22+3x1•x2=3,求k的值.
解:(1)根据题意得k≠0且△=12-4k•(-2)>0,解得k>-
10.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若x1+x2=6-x1x2,求(x1-x2)2+3x1x2-5的值.
解:(1)△=(2m-3)2-4m2=4m2-12m+9-4m2=-12m+9,∵△≥0,∴-12m+9≥0,∴m≤
(2)由题意可得x1+x2=-(2m-3)=3-2m,x1x2=m2,又∵x1+x2=6-x1x2,∴3-2m=6-m2,∴m2-2m-3=0,∴m1=3,m2=-1,又∵m≤
能力提升
11.(2017仙桃)若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根,则2α2+3αβ+5β的值为( B )
A.-13 B.12 C.14 D.15
12.若非零实数a,b(a≠0)满足a2-a-2018=0,b2-b-2018=0,则
13.已知关于x的方程x2-(k+1)x+
14.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两根为x1和x2,且(x1-2)(x1-x2)=0,则k的值是 -2或-
15.(2017黄石)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0.
(1)求证:该方程有两个不等的实根;
(2)若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2=9,求m的值.
解:(1)∵在方程x2-4x-m2=0中,△=(-4)2-4×1×(-m2)=16+4m2>0,
∴该方程有两个不等的实根;
(2)∵该方程的两个实数根分别为x1、x2,
∴x1+x2=4①,x1•x2=-m2②.
∵x1+2x2=9③,∴联立①③解得x1=-1,x2=5,
∴x1•x2=-5=-m2,解得m=±
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