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有趣的数列

发布时间：2018-09-23 来源：文档文库

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有趣的数列
——斐波那契数列

十三世纪意大利数学家斐波那契在名为《算法之书》的数学著作中，记载了一个特别有趣的问题：
兔子出生两个月后就能每月生一次小兔子，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），那么，假如养了初生的一对小兔，所有小兔都存活，一年后共有多少对兔子。
现在我们来讨论这个问题。设1月份有一对刚生的小兔子，2月份仍为一对，而到3月份它们生了一对，总数为2对。4月份则为3对。到了5月份时，3月份生的兔子也能生小兔了，所以5月份就有5对兔子。如此推断下去，可得下面的表：
1 2 3 4 5 6 月份
1 1 2 3 5 8 兔子数（对）
月份 7 8 9 10 11 12 13 21 34 55 89 144 兔子数（对）
如果我们用Fn表示第n个月小兔的对数，则得到一个数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…。后来，人们发现，{Fn}有如下定义：F1=1，F2=1，Fn=Fn-2+Fn-1（n=3，4，5，…）。由于这个数列是由斐波那契首先提出来的，所以，后人就称这个数列为斐波那契数列。
再后来有人求出了斐波那契数列的通项为
115115。 Fn=5522nn一个正整数数列的通项公式竞要用无理数来表达，这是一个令人惊讶的结果。
人们发现斐波那契数列与我们熟知的杨辉三角形有关，与著名的黄金分割也有关系。
我们知道，二项式展开式的系数构成杨辉（贾宪）三角形。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ……
利用杨辉三角形可以很快写出a+b的任意次幂的展开式。

如果我们将杨辉三角形各行的位置错一下，排成一个直角三角形，然后把斜线上的数字相加，其和写在右上方，这样就能得到一列数，所得的这列数，恰好是斐波那契数列。