2019年北约自主招生报名入口
篇一：2019年自主招生模拟试卷(北约)数学及答案WORD
2019年自主招生模拟试卷（北约）
1． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则
S?PQRS?ABC
的最小值为 ．
解答：如图5-1所示，
A
P H
B图5-1 图5-2
（1）当?PQR的直角顶点在?ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，
?APR??CQR?180??BQR,所以sin?APR?sin?BQR.在?APR,?BQR中分别应
用正弦定理得
PRARQRBR
?,?.又?A??B?45,故PR?QR,故sinAsinAPRsinBsinBQR
AR?BR即R为AB的中点.
S?PQR1
BC,所以2S?ABC
1
(BC)2
PR1???,此22BCBC4
2
过R作RH?AC于H，则PR?RH?
时
S?PQRS?ABC
的最大值为
1
. 4
（2）当?PQR的直角顶点在?ABC的直角边上，如图5-2所示，设
BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ??(0???
在Rt?CPR中，PR?
?
2
),则?CPR?90??PRC??BRQ??.
CRx
?, sin?sin?
x3
,?RQB????QRB??B????, sin?4x
PQRB1?x
由正弦定理, ????
sinBsin?PQBsinsin(???)44
x111x2112
?)?()2. ，因此S?PQR?PR?(sin?cos??2sin?22sin?2cos??2sin?
在?BRQ中，BR?1?x,RQ?PR?S?PQRS?ABC
?(
111
，当且仅当??arctan2取)2??222
cos??2sin?(1?2)(cos??sin?)5
的最小值为.
等号，此时
S?PQRS?ABC
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