2017全国三卷理科

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A= ，B=，则AB中元素的个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=

A． B． C． D．2

3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4.( +)(2-)5的展开式中33的系数为

A.-80 B.-40 C.40 D.80

5.已知双曲线C (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为

A. B. C. D.

6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是

A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称

C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减

7．执行右面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5

B．4

C．3

D．2

8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A. B. C. D.

9.等差数列的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为

A.-24 B.-3 C.3 D.8

10.已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A. B. C. D.

11.已知函数有唯一零点，则a=

A. B. C. D.1

12. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为

A.3 B. 2 C. D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若，满足约束条件，则的最小值为__________.

14. 设等比数列 an 满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.

15.设函数则满足的x的取值范围是_________。

16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所称角的最小值为45°；

④直线AB与a所称角的最小值为60°；

其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2,b=2.

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积.

18.（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABD；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

20.（12分）

已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.

21.（12分）

已知函数x﹣1﹣alnx.

（1） 若，求a的值；

（2） 设m为整数，且对于任意正整数n， ﹤m，求m最小值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)- =0，M为l3与C的交点，求M的极径.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8adaa0f9b42acfc789eb172ded630b1c58ee9b47.html