统计学故事

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统计学基本原理——赌场的故事
赌场为什么赚钱?没有任何trick,统计学原理。?
例子。我有100块钱,你有10块钱,我们扔硬币,头算你赢1块,字算我赢1块。规则:赌到输完才许结束。那么问,各自的胜负概率多少?我赢到你的10块钱的几率大于90%这个就是统计学基本原理。?
赌场。庄家资金大概是入场赌徒的资金的千倍或者万倍,如果扔硬币,赌徒的胜率会有多少?自己算一下吧,0.00..01%。因此,庄家允许玩一些花样,一方面提高赌徒的玩兴,一方面允许庄家在每笔小赌中胜率略小于50%:没关系,表面上你赢的多,最后都是我的,嘿嘿,这就是庄家。?
具体庄家胜率能小到多少?跟怎样的赌徒可以玩怎样的胜率?这些是无数赌场百年来经验积累,为什么不用统计学算一下呢??
当然,你可以argue?
1,我干吗赌完才走?我赢到满意了就走。这种小赌徒有,但是不输到精光不停才是真正的赌徒,赌场主要生意面向真正的赌徒。小赢就跑的人毕竟不多,对赌场没有大的损失,反而做了活广告,——“瞧,这家赌场多好玩,还能赚钱,大家以后都去阿~~~?
2,虽然庄家胜率极高极高,但是庄家只有一个,赌徒多阿~~~‘人海战术’打败庄家。统计上说,多次贝努利实验的结果也是很容易算的。赌徒数线性增长,赌场的胜率减弱却是级数型。注意:级数增长是很可怕的,但是级数减弱缓慢得让人挠头发火。人多到把赌场挤爆都不一定能扭转局面,庄家此时已经赚得笑不动了。?
因此,最严谨的科学——数学说:你赢不了赌场;你每次下注赢回的期望值都是正的,但是你每次去赌场回家时口袋里的期望值是零;赌钱就是happy一下,千万别沉迷。

激励我们一生的几个经典故事
???1、勤奋,机会,乐观是成功的三要素。(注意:传统观念认为勤奋和机会是成功的?要素,但是经过统计学和成功人士的分析得出,乐观是成功的第三要素)
???2、(一般情况下)不想三年以后的事,只想现在的事(现在有成就,以后才能更辉煌)
???3、把问题看宽广些,没有解决不了的事。(真理路广,人欲路窄;当然不要超越时代去想现在任何人都解决不了的事)
???4、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。
???5、只为成功找方法,不为失败找借口(蹩脚的工人总是说工具不好)
???6、生气是用别人的错误惩罚自己。——康德(这个哲学家让人眉开眼笑)
???7、失去金钱的人损失甚少,失去健康的人损失极多,失去勇气的人损失一切。
???8、只要下定决心克服恐惧,便几乎能克服任何恐惧。因为,请记住,除了在脑海中,恐惧无处藏身。——戴尔·卡耐基
???9、这世上的一切都借希望而完成。农夫不会播下一粒玉米,如果他不曾希望它长成种籽;单身汉不会娶妻,如果他不曾希望有小孩;商人或手艺人不会工作,如果他不曾希望因此而有收益。——马丁·路德
???10、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一,也是成功的利器之一。没有它,天才也会在矛盾无定的迷径中,徒劳无功。在“21---www.21days.cn”中制定我们的目标,让成功无处可逃。
???11、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人,常是愿意去做,并愿意去冒险的人。之船,从未能从岸边走远。——戴尔·卡耐基
???12、当一个青年人站起来面对这个大莽汉——这个世界——并勇敢地抓住他的胡须时,常会吃惊地发现,胡须脱落在他手上,原来它只是系上去吓唬胆怯的冒险者的。——罗夫·华多·爱默生?



有个从未管过自己孩子的统计学家,在一个星期六下午妻子要外出买东西时,勉强答应照看一下四个年幼好动的孩子。当妻子回家时,他交给妻子一张纸条,上面写着:“擦眼泪11次;系鞋带15次;给每个孩子吹玩具气球各5次;每个气球的平均寿命10秒钟;警告孩子不要横穿马路26次;孩子坚持要穿马路26次;我还要再过这样的星期六0次。
120岁寿命极限将会逐渐延长
迄今科学家认为人类最多只能活到120岁,但美国和瑞典人口统计学家最近对此生命极限说提出了挑战。
美国加州大学伯克利分校威尔莫斯及其同事在美国《科学》杂志上报告说,他们分析了1861年以来瑞典每年的全国死亡记录,得出的结论表明人类的寿命不是固定的,而是随着时间的变化而变化的。
瑞典19世纪60年代活得最长的男人和女人是101岁。20世纪60年代,最高死亡年龄上升到105岁。20世纪70年代,治疗心脏病、中风和其他疾病的更好医疗手段的出现,使得瑞典人的最高死亡年龄进一步提高,从每隔20年增加不足1岁变为每隔10年增长1岁多。
研究人员说,根据瑞典最高死亡年龄在一个多世纪里整体呈上升状态,估计其他国家的情况也应如此。他们指出,随着高龄老人存活机率的增加,人类预期的120岁寿命极限将会逐渐延长。(2000.10.24
统计学家的特点
纵观统计学史,许多作出开创性贡献的,都是知识广博多才多艺的通才。
政治算术学派奠基人威廉·配弟(1623l687是英国一个贫苦工匠的儿子。少年时代曾学过希腊语、拉丁语、数学和天文学。并利用在商船上做待工的机会,一边做事,一边学习法语和航海术,还曾在法国学习过解剖学。1649年获得牛律大学医学博士学位,曾任医学教授和音乐教授、医生、秘书、土地分配总监、土地测量总监、英国皇家协会副会长等职。由于他交游广、经历丰富、观察周密、掌握数据,所以能叙述荷兰、法国的情况,并和英国的国力相对比,论证英格兰的情况及各种问题,为英国争夺世界霸权出谋划策。也由于他的博学,才能以培根(15611626所创始的经验科学的方法(即依据观察、比较、实验、归纳等方法为根据,提出“对于人口、土地、资本、产业的真实情况的认识方法”用计量作比较,用数字作语言,阐明社会经济现象的规律,写出《政治算术》这本名著,为后人所推崇。马克思评价他是“政治经济学之父,在某种程度上也可以说是统计学的创始人”

被称为现代统计学之父的凯特勒(17961874是比利时人,1819(23在甘得大学获得博士学位。1823年建议政府建立天文台,为了筹建工作,被派往法国学习。由此,与拉普拉斯、普阿松、傅立叶等人相识,并从拉普拉斯学习概率论。1827游学英国伦敦:18291830年先后到德国、法国、瑞士、意大利等国考察。据说,他曾偶然接触到人寿保险公司实际业务问题,促成他从事统计的研究。1823年天文台建成后,被任名为台长,并开始发表人口及犯罪方面的统计研究。l841年成立比利时中央统计委员会,由他任终身主席。特勒学识渊博,是统计学家、数学家、天文学家、物理学家。他把概率论引进统计学,在欧美统计学史上承先启后、继往开来,是数理统计学派创始人。
社会统计学派德国的厄思斯特·恩格尔(18211896,青年时代攻读采矿冶金学,毕业后,于18461847年赴欧洲各地游学,在布督塞尔与凯特勒相识,从此他奉凯特勒为师,矢志学习统计学,后任萨克逊王国、普土王国统计局长达31年之久。恩格尔根据他对英国:法国、德国、比利时等国工人阶级社会情况大量观察调查,发现了家庭收入越少,用于饮食费用的支出在家庭收入中所占比重就越大,随着家庭收入的增加,用于饮食费的支出所占比重就越小。即著名的恩格尔法则。
近代统计学家葛尔顿·皮尔逊,不仅是统计学家、数学家,而且是生物学家、农业家。罗纳德·费雪是数学家,学习过统计学,量子学,又是生物学家,主持过农事试验场统计研究工作。1938年出版《供生物、农业与医学用的统计表》1956年出版《统计方法与科学推断》,驰誉世界,成为推断学派创始人。
统计学家献计炸德军
二战后期,盟军为开辟第二战场作准备,想利用轰炸,尽可能多地摧毁德军的工业设施及军事目标,同时减少自已空中力量的损失。但由于美国本土与德国远隔重洋,空军只能部署在英国、北非等少数地域,而需要打击的德军目标几乎遍布整个欧洲,同时,德军又组织了强大的防空体系。美空军长途奔袭,或者劳而无功,或者损兵折戟。为此,盟军组织了包括统计学家在内的参谋智囊团,寻求对策。最后,智囊团针对上述两个目标,运用统计方法对敌我双方的力量及实战资料作出综合分析,提出了两个作战方案。
一是釜底抽薪,集中力量轰炸德国防卫薄弱但有巨大潜在作用的基础工业。统计学家运用投入产出原理,研究德国军事工业及民用工业之间的相互关系,认为在高度相关的情况下,个工业部门都在很大程度上依赖于其他部门,如果破坏其中关键的一链,就会产生多米诺骨牌效应,足以瘫痪其整个军事工业。因此盟军对滚珠、轴承等十几个防空力量较弱但很关键的工厂、仓库实施了猛烈的轰炸。这样一来幸存的兵工厂因缺少滚珠轴承而无法制造新的飞机坦克,东部战线开动的车辆又因缺少补给而变成一堆废铁。一度以机械化闪电战自诩的德军像被斩断了双脚,有时不得不靠征用骡马来完成部队的集结,常常贻误战机。
二是实施“钟摆轰炸”,减少己方飞机损失。智囊团中的统计学家根据被德军击伤击落飞机的统计资料发现,在实施轰炸前和轰炸时被击中的比例低于返航途中的损失。德军往往采取一种守株待兔的策略,在受到轰炸后,立刻调动战斗机在盟军的返航路线上控制有利位置,严阵以待。盟军轰炸机因此损失不少。统计学家因此提出了一个“钟摆轰炸计划”。盟军飞

机从英国机场起飞,完成轰炸后并不向西返回英国基地,而是继续向东飞至当时的盟友苏联境内,在苏军飞行基地休整一段时间,补充燃料弹药后再进行反向轰炸,尔后返回英国,就好像钟摆从一端摆向另一端,然后摆回来,周而复始,这样常造成德军防空系统判断失误,无法作出有利的回击。通过历时一年多的“钟摆轰炸”,盟军飞机穿梭于东西方各个机场,向德国投下了近10万吨炸药,给德军造成重大的损失。
恩格尔系数
恩格尔系数是根据19世纪德国统计学家恩格尔的定律得出的比例数,它指的是食品消费在家庭总消费支出中所占的比例。一个家庭,收入越少,家庭总支出中用于食物的支出比例就越大;随着家庭收入的增加,家庭总支出中用于食物的比例则会下降。推而广之,一个国家越贫穷,每个国民的支出中用于食物的支出所占比例就越大;随着国家的富强,这个比例就会呈下降趋势。联合国根据恩格尔系数制定了划分贫困与富裕的标准:恩格尔系数超过60为绝对贫困型;50%~60%为勉强度日或基本温饱型;40%~50%为小康型;30%~40%为富裕型;低于30%为最富裕型。目前恩格尔系数低于30%的只有美国和欧盟国家。其他中等发达国家和城市恩格尔系数均在30%~40%之间。
干预的最终效果
数学家的幽默
一名统计学家遇到一位数学家,统计学家调侃数学家说道:
“你们不是说若X=Y且Y=Z,则X=Z吗!那么想必你若是喜欢一个女孩,那么那个女孩喜欢的男生你也会喜欢罗!?”
数学家想了一下反问道:
“那么你把左手放到一锅一百度的开水中,右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧!因为它们平均不过是五十度而已!

如今统计学家对平均值感兴趣。张三收入10元,王老五收入5元。统计学家会说,人7.5.王老五四处张望,不知自己多收的2.5元在哪?
王老五左脚踩在火炉上,右脚踏在冰块上,统计学家就冷暖平均值而言,认为王老五挺舒服,按理说应该是很舒服的。

格里高.孟德尔(G.J.Mendel1822722日出生在奥地利一个贫苦的农民家庭。正是他,一个从小热爱劳动、热爱大自然的孟德尔,成了我们永远纪念的现代遗传学的鼻祖。他是一个伟大的生物学家。他经过长达8年之久的豌豆杂交试验,真正开始阐明生物遗传规律,从而揭开了现代遗传学的篇章。豌豆杂交试验
在豌豆的品种中,种子有圆的,有皱粒的;有开白花的,也有开红花的等等。孟德尔把种子的圆与皱,花色的红与白等同类又有差异的性状叫做相对性状。他的试验就是用具有相对性状的两个品种进行杂交。
他把皱粒种子的豌豆的花粉传授在圆粒种子植株的花柱上,结果收获的种子全部是圆粒的。反过来,将圆粒植株的花粉授给皱粒植株,结果相同,结出的种子也全部是圆粒的。这项实验共收获253粒种子。第二年,他把这些种子种下,令其白花授粉(遗传学上叫做自交),获得了7324粒第二代种子。不过,其中5474粒是圆的,1850粒是皱的,得到“圆:皱=2.96:1”的结果。这与第一代情形大不相同。孟得尔又做了六个类似实验,结果相对性状的比总是围绕31波动。孟德尔继续完成了2对、3对,以至N对基因同时传递时,子代各类型比例关系的研究,结果显示各比例均大体符合(31)的N次方展开规律。
于是孟德尔认为,每种生物的遗传性状决定于细胞中的某种遗传因子(即孟德尔因子);性状的遗传是由于遗传因子在亲子之间的传递;在真核生物中,遗传因子成对存在(有多少性状就有多少对基因)其中一个来自父方,一个来自母方。这就是遗传学中著名的基因分离与自由组合法则,是现代遗传学的基础。孟德尔被誉为现代遗传学的奠基人。
186528日和38日,孟德尔在他所在的捷克布尔诺地区自然史协会的学术集会上,报告了自己利用豌豆所做的杂交试验,以及以此为基础得出的遗传规律。次年,他又把这一研究成果以《植物杂交试验》为题发表在该协会的会刊上,大约有120家图书馆接到了这本印有孟得尔论文的刊物。遗憾的是,如此重大的发现,竟未引起当时科学界的任何反响。作为现代遗传学开端的孟德尔的《植物杂交试验》论文,竟在书架上沉睡了34个年头无人问津,以至于1900年才被科学界公认为现代遗传学历史的起始点。这时孟德尔已逝世16年。

科学家发现,人与人之间的99.99%的遗传密码序列都相同,但又存在万分之一的差别,使每个人都具备区别于他人的碱基序列,这就是DNA的多态性。每个人多态性位点的差别就成为个人识别的标志。根据遗传学的传递规律,子女的身份标记必定来自双亲,据此可用于亲子鉴定。本机构采用美国ABI-310ABI-5700型遗传分析仪,五色荧光试剂盒,检测16STR位点的基因型,按照国际常用标准鉴定亲生血缘关系或个人身份,结果准确,亲权关系排除率可达99.99%以上。

布丰的投针试验
公元1777年的一天,法国科学家D·布丰(D·buffon1707~1788的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始,但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”
客人们不知布丰先生要干什么,只好客随主意,一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了,把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后,布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针2212次,其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704比值为3.142。”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!”
众宾哗然,一时议论纷纷,个个感到莫名其妙;“圆周率π?这可是与圆半点也不沾边的呀!”
布丰先生似乎猜透了大家的心思,得意洋洋地解释道:“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,还能

得到π的更精确的近似值。不过,要想弄清其间的道理,只好请大家去看敝人的新作了。”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
π在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题,是布丰先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是:如果纸上两平行线间相距为d,小针长为l,投针的次数为n,所投的针当中与平行线相交的次数是m,那么当n相当大时有:
在上面故事中,针长l等于平行线距离d的一半,所以代入上面公式简化
我想,喜欢思考的读者,一定想知道布丰先生投针试验的原理,下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n
现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交。
由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说,当长为πd的铁丝扔下n次时,与平行线相交的交点总数应

大致为2n
现在再来讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比,因而有:mkl
式中K是比例系数。
为了求出K来,只需注意到,对于
这便是著名的布丰公式。亲爱的读者,你不妨一试。
lπd的特殊情形,有m2n
戳穿“摸彩”骗局
“天有不测风云,人有旦夕祸福”。这话有对的一面,也有不对的一面,对的是,说出了事物发生的偶然性。不对的是,夸大了偶然的成份,忽视了偶然中的必然规律和量的关系,给人笼罩上一种不可知论的阴影。
举例说,在世界上火车与汽车相撞的事件,时有发生。然而,却几乎没有人,由于担心火车与汽车相撞,不去乘火车、汽车而宁愿步行。这是为什么呢?原因是:在现实中,这种相撞的可能性实在是太小了。在世界上千千万万次的车祸中,能找到的也只是极少数几例。又如,人遭遇车祸,这种可能性通常要比火车与汽车相撞的可能性大不知多少倍。然而,在人们亿万次的外出中,遭遇车祸毕竟还是占少数。这潜意识包含了一条极重要的原理——小概率原理,即一个概率很小的事件,一般不会在一次试验中发生。
下面给你介绍一个有趣的游戏。如果你新到一个班级,那么你完全可以大言不惭地对你班上49名新伙伴,作一次惊人的宣布:“新班级里一定有人生日是相同的!”我想大家一定会惊讶不已!可能连你本人也会感到难以置信吧!因为首先,你对他们的生日一无所知,其次,一年有365天,而你班上只有50人,难道生日会重合吗?但是,我必须告诉你,这是极可能获得成功的。
这个游戏成功的道理是什么呢?原来,班上的第一位同学要与你生日不同。那么他的生日只能在一年365天中的另外364天,即如此

等等,得到全班50名同学生日都不同的概率为:用计算器或对数表细心计算,可得上式结果为:P(全不相同)=0.0295
由于50人中有人生日相同和全不相同这两件事,二者必居其一,所
P(有相同)+P(全不相同)=1
因而P(有相同)=1-P(全不相同)=1-0.02950.9705即你的成功把握有97%,而失败的可能性不足3%,根据小概率原理,你完全可以断定这是不会在一次游戏中发生的。
目前,在一些小市镇可以看到一种“摸彩”的招徕广告。这实际是一种赌博,赌主利用他人无知和侥幸心理,有恃无恐地把高额的奖金设置在极小概率的事件上。赌客纵然一试再试,仍不免一次次败兴而归,结果大把的钞票,哗哗流进了赌主的腰包。我们应当戳穿这种骗局。有人见过一个“摆地摊”的赌主,他拿了八个白、八个黑的围棋子,放在一个签袋里。规定说:凡愿摸彩者,每人交一角钱作“手续费”然后一次从袋中摸出五个棋子,赌主按地面上铺着的一张“摸子中彩表”给“彩”。
这个“摸彩”赌博,规则十分简单,赌金也不大,所以招徕了不少过往行人,一时围得水泄不通。许多青年不惜花一角钱去碰“运气”,结果自然扫兴者居多。
下面我们深入计算一下摸到“彩”的可能性。
(读者如果一时弄不清计算的方法,可以只看结果),现在按摸100

0统计;赌主“手续费”收入共100元,他可能需要付出的连纪念品在内的“彩金”是:
[P(五个白)×2+P(四个白)×0.2+P(三个白)×0.05]×1000
=[0.0128×2+0.1282×0.2+0.3589×0.05]×100069.19(元)
赌主可望净赚30元。我想看了以上的分析,读者们一定不会再怀着好奇和侥幸的心理,用自己的钱,去填塞“摸彩”赌主那永填不满的腰包吧!

从《歧路亡羊》谈起
《歧路亡羊》是《列子》中一篇寓意深刻的故事。文如下:杨子之邻人亡羊,既率其党,又请杨子之竖追之。杨子曰:“嘻!亡一羊,何追者之众?”邻人曰:“多歧路。”既返,问:“获羊乎?”曰:“亡之矣”曰:“奚亡之?”曰;“歧路之中又有歧焉,吾不知所之,所以反也。”
下面我们就来研究一下杨子的邻人,找到丢失的羊的可能性有多大。假定所有的分叉口都各有两条新的歧路。这样,每次分歧的总歧路数分别为21222324,„,到第n次分歧时,共有2n条歧路。因为丢失的羊走到每条歧路去的可能性都是相等的,所以当羊走过n三叉路口后,一个人在某条歧路上
例如,当n5时,即使杨子的邻人动员了6个人去找羊,找到羊的可能性也只有
还不及五分之一。可见,邻人空手而返,是很自然的事了!现在我们再设想道路是这样特殊:从第二次分歧起,邻近的歧路相连通成一个新的“丫”字叉口,像下图所示那样。显然,当丢失的羊在这种特殊的歧路网上,走到第一个三叉口时,它既可能从东边,也可能从西边走入不同的两条南北走向的街。这样情形我们记为:11接着往下有三条南北走向的街:只有一直向左转时,羊才会进入东边的那条;羊进入中间的一条街有两种可能,第一次向左而第二次向右,或第一次向右而第二次向左;只有两次都向右时,羊才能进入西边的

那条街,概括三种情形,我们记为(121)。同样分析可以得知,再接下去的四条南北走向街的情形可记为:(1331)记号中的每一个数字,都代表到达相应街的不同的路线数。如此下去,我们可以得到一个奇妙的数字表。
这个三角形表的每行两端都是1,而且除1以外的每个数都等于它肩上两个数字的和。这是因为。它实际上表明了丢失的羊到达该数字地点的路线数,所以应等于两肩路线数的累加。
类似的数字表早在公元1261年就出现在我国数学家杨辉的著作中,所以我们称它为:“杨辉三角”。在欧洲,这种表的出现要迟上四百年,发现者就是前些节故事中提到过的法国数学家巴斯卡。因此国外常把这种表叫做“巴斯卡三角形”。
杨辉三角第n排的数字和,实际上就是《歧路亡羊》中第n次分叉后的总的歧路数,所以应当等于2n。例如,表最后一排的数字和:1+61520156126
为方便起见,我们把杨辉三角中第n排的除开头“1”以外的第k数字记为Ckn。这样做的优点是,今后如若需要了解到达上述位置会有多少可能的路线时,无需思考,立即知道是Ckn条。
下面要讲的是概率论中颇为重要的课题——独立重复试验。我们很快就会看到:将要得到的结果,与杨辉三角之间的联系是很密切的。以掷币为例。如果我们把掷币中出的正面和反面的可能,比喻成杨辉三角中向左和向右的路线,那么,杨辉三角中的第一排(11),就相当于掷第一枚币时出现的(正,反)可能;而第二排的121

就相当于重复掷两枚币时出现的(两正,一正一反,两反)可能;而第三排中的(1331),就相当于重复掷三枚币时出现(三正,二正一反,二反一正,三反)的可能,如此等等。这样,杨辉三角中n排各数,与掷n枚币出现的各种可能性的数目有以下对等关系。于是,我们得出,重复n次掷币,出现k次正面或反面的概率为:例如,掷6次币,出现三次正面的概率
式中的C3620,是从杨辉三角表中相应位置查到的。
上面我们讲的掷币,每次出现正、反机会都是均等的。假如某事件出现的的概率是P,那么在n次试验中,该事件恰好出现k次的概率又如何呢?这只要注意到一个事实,即在杨辉三角中,任何到达“Ckn”的路线,都必须是恰好向右走k次,向左走n-k次,这里,假如我们把向右走相当于事件发生,向左走相当于事件不发生,那么,任何一条到达“Ckn”位置线路的概率均为Pk1-Pn-k,其中(1-P)是事件不发生的概率。由本节开头的分析知道,到达“Ckn”的线路数即为Ckn,所以我们即得n次试验中,事件出现k次的概率公式:Pnk)=Ckn·Pk(1-Pn-k


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