2017年河南省中招考试数学试卷

2017年中招考试数学试卷

一．选择题（共10小题）

1．下列各数中比1大的数是（　　）

A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3

2．2016年，我国国生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（　　）

A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015

3．某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（　　）

A． B． C． D．

4．解分式方程﹣2=，去分母得（　　）

A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3

5．八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（　　）

A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分

6．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　）

A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2

8．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（　　）

A． B． C． D．

9．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　）

A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）

10．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣

二．填空题（共5小题）

11．计算：23﹣=　 　．

12．不等式组的解集是　 　．

13．已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m与n的大小关系为　 　．

14．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为　 　．

三．解答题（共8小题）

16．先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x=+1，y=﹣1．

17．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．

调查结果统计表

请根据以上图表，解答下列问题：

（1）填空：这次被调查的同学共有　 　人，a+b=　 　，m=　 　；

（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；

（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120围的人数．

18．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．

（1）求证：BD=BF；

（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．

19．如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）

20．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．

（1）填空：一次函数的解析式为　 　，反比例函数的解析式为　 　；

（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值围．

21．学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．

（1）求这两种魔方的单价；

（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．

22．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．

23．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

2017年中招考试数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2017•）下列各数中比1大的数是（　　）

A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3

【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3，

故选：A．

2．（2017•）2016年，我国国生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（　　）

A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015

【解答】解：将74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×1013．

故选：B．

3．（2017•）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2，1，

D不符合，

故选D．

4．（2017•）解分式方程﹣2=，去分母得（　　）

A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3

【解答】解：分式方程整理得：﹣2=﹣，

去分母得：1﹣2（x﹣1）=﹣3，

故选A

5．（2017•）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（　　）

A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分

【解答】解：位于中间位置的两数分别是95分和95分，

故中位数为95分，

数据95出现了3次，最多，

故这组数据的众数是95分，

故选A．

6．（2017•）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选B．

7．（2017•）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　）

A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2

【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．

B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．

C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．

D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．

故选C．

8．（2017•）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，

∴两个数字都是正数的概率是：=．

故选：C．

9．（2017•）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　）

A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）

【解答】解：∵AD′=AD=2，

AO=AB=1，

∴OD′==，

∵C′D′=2，C′D′∥AB，

∴C（2，），

故选D．

10．（2017•）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣

【解答】解：连接OO′，BO′，

∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，

∴∠OAO′=60°，

∴△OAO′是等边三角形，

∴∠AOO′=60°，

∵∠AOB=120°，

∴∠O′OB=60°，

∴△OO′B是等边三角形，

∴∠AO′B=120°，

∵∠AO′B′=120°，

∴∠B′O′B=120°，

∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，

∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．

故选C．

二．填空题（共5小题）

11．（2017•）计算：23﹣=　6　．

【解答】解：23﹣=8﹣2=6，

故答案为：6．

12．（2017•）不等式组的解集是　﹣1＜x≤2　．

【解答】解：

解不等式①0得：x≤2，

解不等式②得：x＞﹣1，

∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，

故答案为﹣1＜x≤2．

13．（2017•）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m与n的大小关系为　m＜n　．

【解答】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0，

∴此函数的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，

∵0＜1＜2，

∴A、B两点均在第四象限，

∴m＜n．

故答案为m＜n．

14．（2017•）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　12　．

【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，

由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，

即BC=5，

由于M是曲线部分的最低点，

∴此时BP最小，

即BP⊥AC，BP=4，

∴由勾股定理可知：PC=3，

由于图象的曲线部分是轴对称图形，

∴PA=3，

∴AC=6，

∴△ABC的面积为：×4×6=12

故答案为：12

15．（2017•）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为　+或1　．

【解答】解：①如图1，

当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，

∴BM=BC=+；

②如图2，当∠MB′C=90°，

∵∠A=90°，AB=AC，

∴∠C=45°，

∴△CMB′是等腰直角三角形，

∴CM=MB′，

∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，

∴BM=B′M，

∴CM=BM，

∵BC=+1，

∴CM+BM=BM+BM=+1，

∴BM=1，

综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，

故答案为：+或1．

三．解答题（共8小题）

16．（2017•）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x=+1，y=﹣1．

【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）

=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy

=9xy

当x=+1，y=﹣1时，

原式=9（+1）（﹣1）

=9×（2﹣1）

=9×1

=9

17．（2017•）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．

调查结果统计表

请根据以上图表，解答下列问题：

（1）填空：这次被调查的同学共有　50　人，a+b=　28　，m=　8　；

（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；

（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120围的人数．

【解答】解：（1）调查的总人数是16÷32%=50（人），

则b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20，

A组所占的百分比是=8%，则m=8．

a+b=8+20=28．

故答案是：50，28，8；

（2）扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×=144°；

（3）每月零花钱的数额x在60≤x＜120围的人数是1000×=560（人）．

18．（2017•）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．

（1）求证：BD=BF；

（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA=90°，

∴BD⊥AC，∠BDC=90°，

∵BF切⊙O于B，

∴AB⊥BF，

∵CF∥AB，

∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∴∠ACB=∠FCB，

∵BD⊥AC，BF⊥CF，

∴BD=BF；

（2）解：∵AB=10，AB=AC，

∴AC=10，

∵CD=4，

∴AD=10﹣4=6，

在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD==8，

在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC==4．

19．（2017•）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）

【解答】解：如图作CE⊥AB于E．

在Rt△ACE中，∵∠A=45°，

∴AE=EC，设AE=EC=x，则BE=x﹣5，

在Rt△BCE中，

∵tan53°=，

∴=，

解得x=20，

∴AE=EC=20，

∴AC=20=28.2，

BC==25，

∴A船到C的时间≈=0.94小时，B船到C的时间==1小时，

∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援．

20．（2017•）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．

（1）填空：一次函数的解析式为　y=﹣x+4　，反比例函数的解析式为　y=　；

（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值围．

【解答】解：（1）将B（3，1）代入y=，

∴k=3，

将A（m，3）代入y=，

∴m=1，

∴A（1，3），

将A（1，3）代入代入y=﹣x+b，

∴b=4，

∴y=﹣x+4

（2）设P（x，y），

由（1）可知：1≤x≤3，

∴PD=y=﹣x+4，OD=x，

∴S=x（﹣x+4），

∴由二次函数的图象可知：

S的取值围为：≤S≤2

故答案为：（1）y=﹣x+4；y=．

21．（2017•）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．

（1）求这两种魔方的单价；

（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．

【解答】（按买3个A种魔方和买4个B种魔方钱数相同解答）

解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，

根据题意得：，

解得：．

答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个．

（2）设购进A种魔方m个（0≤m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，

根据题意得：w活动一=20m×0.8+15（100﹣m）×0.4=10m+600；

w活动二=20m+15（100﹣m﹣m）=﹣10m+1500．

当w活动一＜w活动二时，有10m+600＜﹣10m+1500，

解得：m＜45；

当w活动一=w活动二时，有10m+600=﹣10m+1500，

解得：m=45；

当w活动一＞w活动二时，有10m+600＞﹣10m+1500，

解得：45＜m≤50．

综上所述：当m＜45时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=45时，选择两种活动费用相同；当m＞45时，选择活动二购买魔方更实惠．

（按购买3个A种魔方和4个B种魔方需要130元解答）

解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，

根据题意得：，

解得：．

答：A种魔方的单价为26元/个，B种魔方的单价为13元/个．

（2）设购进A种魔方m个（0≤m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，

根据题意得：w活动一=26m×0.8+13（100﹣m）×0.4=15.6m+520；

w活动二=26m+13（100﹣m﹣m）=1300．

当w活动一＜w活动二时，有15.6m+520＜1300，

解得：m＜50；

当w活动一=w活动二时，有15.6m+520=1300，

解得：m=50；

当w活动一＞w活动二时，有15.6m+520＞1300，

不等式无解．

综上所述：当m＜50时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=50时，选择两种活动费用相同．

22．（2017•）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM=PN　，位置关系是　PM⊥PN　；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．

【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，PN=BD，

∵点P，M是CD，DE的中点，

∴PM∥CE，PM=CE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE，

∴PM=PN，

∵PN∥BD，

∴∠DPN=∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCA，

∵∠BAC=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，

∴PM⊥PN，

故答案为：PM=PN，PM⊥PN，

（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCE，

同（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC=∠DBC，

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC

=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC

=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ABC=90°，

∴∠MPN=90°，

∴△PMN是等腰直角三角形，

（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，

∴MN最大时，△PMN的面积最大，

∴DE∥BC且DE在顶点A上面，

∴MN最大=AM+AN，

连接AM，AN，

在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，

∴AM=2，

在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，

∴MN最大=2+5=7，

∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．

23．（2017•）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

【解答】解：

（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，

∴0=﹣2+c，解得c=2，

∴B（0，2），

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，

∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，

∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），

∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，

当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，

∴BN=OM=m，

∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2.5，

∴M（2.5，0）；

当∠NBP=90°时，则有=，

∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），

∴BP==m，AP==（3﹣m），

∴=，解得m=0（舍去）或m=，

∴M（，0）；

综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；

②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），

∵M，P，N三点为“共谐点”，

∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，

当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；

当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；

当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；

综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．

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