2020年福建省中考数学试卷
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.(4分)-的相反数是( )
A.5 B. C.- D.-5
2.(4分)如图所示的六角螺母,其俯视图是( )
A. B.
C. D.
3.(4分)如图,面积为1的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则△DEF的面积是( )
A.1 B. C. D.
4.(4分)下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5.(4分)如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( )
A.10 B.5 C.4 D.3
6.(4分)如图,数轴上两点M,N所对应的实数分别为m,n,则m-n的结果可能是( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
7.(4分)下列运算正确的是( )
A.3a2-a2=3 B.(a+b)2=a2+b2
C.(-3ab2)2=-6a2b4 D.a•a-1=1(a≠0)
8.(4分)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是( )
A.3(x-1)= B.=3
C.3x-1= D.=3
9.(4分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=CD,A为中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
10.(4分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是( )
A.若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2 B.若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2
C.若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2 D.若y1=y2,则x1=x2
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.
11.(4分)|-8|= .
12.(4分)若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课,则甲被选到的概率为 .
13.(4分)一个扇形的圆心角是90°,半径为4,则这个扇形的面积为 .(结果保留π)
14.(4分)2020年6月9日,我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录,最大下潜深度达10907米.假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准,记为0米,高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米,根据题意,“海斗一号”下潜至最大深度10907米处,该处的高度可记为
米.
15.(4分)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC=
度.
16.(4分)设A,B,C,D是反比例函数y=图象上的任意四点,现有以下结论:
①四边形ABCD可以是平行四边形;
②四边形ABCD可以是菱形;
③四边形ABCD不可能是矩形;
④四边形ABCD不可能是正方形.
其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(8分)解不等式组:
18.(8分)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.求证:∠BAE=∠DAF.
19.(8分)先化简,再求值:(1-)÷,其中x=+1.
20.(8分)某公司经营甲、乙两种特产,其中甲特产每吨成本价为10万元,销售价为10.5万元;乙特产每吨成本价为1万元,销售价为1.2万元.由于受有关条件限制,该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨,且甲特产的销售量都不超过20吨.
(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元,问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨?
(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.
21.(8分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO交⊙O于点C,AO的延长线交⊙O于点D,E是上不与B,D重合的点,sinA=.
(1)求∠BED的大小;
(2)若⊙O的半径为3,点F在AB的延长线上,且BF=3,求证:DF与⊙O相切.
22.(10分)为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署,某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作.经过多年的精心帮扶,截至2019年底,按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准,该地区只剩少量家庭尚未脱贫.现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户,统计其2019年的家庭人均年纯收入,得到如图1所示的条形图.
(1)如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户,试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元(不含2000元)的户数;
(2)估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值;
(3)2020年初,由于新冠疫情,农民收入受到严重影响,上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示.为确保当地农民在2020年全面脱贫,当地政府积极筹集资金,引进某科研机构的扶贫专项项目.据预测,随着该项目的实施,当地农民自2020年6月开始,以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元.
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元,试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫.
23.(10分)如图,C为线段AB外一点.
(1)求作四边形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的四边形ABCD中,AC,BD相交于点P,AB,CD的中点分别为M,N,求证:M,P,N三点在同一条直线上.
24.(12分)如图,△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到,且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上,AD,EC相交于点P.
(1)求∠BDE的度数;
(2)F是EC延长线上的点,且∠CDF=∠DAC.
①判断DF和PF的数量关系,并证明;
②求证:=.
25.(14分)已知直线l1:y=-2x+10交y轴于点A,交x轴于点B,二次函数的图象过A,B两点,交x轴于另一点C,BC=4,且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1>x2≥5时,总有y1>y2.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若直线l2:y=mx+n(n≠10),求证:当m=-2时,l2∥l1;
(3)E为线段BC上不与端点重合的点,直线l3:y=-2x+q过点C且交直线AE于点F,求△ABE与△CEF面积之和的最小值.
【试题答案】
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.B
【解答】解:-的相反数是,
2.B
【解答】解:从上面看,是一个正六边形,六边形的中间是一个圆.
3.D
【解答】解:∵D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴DE=AC,DF=BC,EF=AB,
∴=,
∴△DEF∽△ABC,
∴=()2=()2=,
∵等边三角形ABC的面积为1,
∴△DEF的面积是,
4.C
【解答】解:A.等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形;
B.平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形;
C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形;
D.扇形是轴对称图形,不是中心对称图形.
5.B
【解答】解:∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,
∴CD=5.
6.C
【解答】解:∵M,N所对应的实数分别为m,n,
∴-2<n<-1<0<m<1,
∴m-n的结果可能是2.
7.D
【解答】解:A、原式=2a2,故本选项不符合题意;
B、原式=a2+2ab+b2,故本选项不符合题意;
C、原式=9a2b4,故本选项不符合题意;
D、原式=a=1,故本选项符合题意;
8.A
【解答】解:依题意,得:3(x-1)=.
9.A
【解答】解:∵A为中点,
∴═,
∵AB=CD,
∴=,
∴==,
∵圆周角∠BDC=60°,
∴∠BDC对的的度数是2×60°=120°,
∴的度数是(360°-120°)=80°,
∴对的圆周角∠ADB的度数是。
10.C
【解答】解:∵抛物线y=ax2-2ax=a(x-1)2-a,
∴该抛物线的对称轴是直线x=1,
当a>0时,若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2,故选项B错误;
当a<0时,若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2,故选项A错误;
若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2,故选项C正确;
若y1=y2,则|x1-1|=|x2-1|,故选项D错误;
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.
11.8
【解答】解:∵-8<0,
∴|-8|=-(-8)=8.
12.
【解答】解:∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果,其中甲被选中只有1种结果,
∴甲被选到的概率为。
13. 4π
【解答】解:S扇形==4π。
14. -10907
【解答】解:∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米,高于海平面的高度记为正数,
∴低于海平面的高度记为负数,
∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处,
∴该处的高度可记为-10907米.
15. 30
【解答】解:正六边形的每个内角的度数为:=120°,
所以∠ABC=120°-90°=30°。
16.①④
【解答】解:如图,过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A,C,B,D,得到四边形ABCD.
由对称性可知,OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
当OA=OC=OB=OD时,四边形ABCD是矩形.
∵反比例函数的图象在一,三象限,
∴直线AC与直线BD不可能垂直,
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形,
故选项①④正确。
三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解:解不等式①,得:x≤2,
解不等式②,得:x>-3,
则不等式组的解集为-3<x≤2.
18.【分析】根据菱形的性质可得∠B=∠D,AB=AD,再证明△ABE≌△ADF,即可得∠BAE=∠DAF.
【解答】证明:四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=AD,
在△ABE和△ADF中,
,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴∠BAE=∠DAF.
19.【分析】先把括号内通分,再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算,然后把分母因式分解后进行约分得到原式=,再把x的值代入计算即可.
【解答】解:原式=•
=,
当时,原式==.
20.【分析】(1)根据题意,可以列出相应的一元一次方程,从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨;
(2)根据题意,可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式,再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质,可以得到利润的最大值.
【解答】解:(1)设销售甲种特产x吨,则销售乙种特产(100-x)吨,
10x+(100-x)×1=235,
解得,x=15,
∴100-x=85,
答:这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨,85吨;
(2)设利润为w万元,销售甲种特产a吨,
w=(10.5-10)a+(1.2-1)×(100-a)=0.3a+20,
∵0≤a≤20,
∴当a=20时,w取得最大值,此时w=26,
答:该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元.
21.【分析】(1)连接OB,由切线求出∠ABO的度数,再由三角函数求出∠A,由三角形的外角性质求得∠BOD,最后由圆周解与圆心角的关系求得结果;
(2)连接OF,OB,证明△BOF≌△DOF,得∠ODF=∠OBF=90°,便可得结论.
【解答】解:(1)连接OB,如图1,
∵AB与⊙O相切于点B,
∴∠ABO=90°,
∵sinA=,
∴∠A=30°,
∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°,
∴∠BED=∠BOD=60°;
(2)连接OF,OB,如图2,
∵AB是切线,
∴∠OBF=90°,
∵BF=3,OB=3,
∴,
∴∠BOF=60°,
∵∠BOD=120°,
∴∠BOF=∠DOF=60°,
在△BOF和△DOF中,
,
∴△BOF≌△DOF(SAS),
∴∠OBF=∠ODF=90°,
∴DF与⊙O相切.
22.【分析】(1)用2000乘以样本中家庭人均纯收入低于2000元(不含2000元)的频率即可;
(2)利用加权平均数进行计算即可;
(3)求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可.
【解答】解:(1)根据题意,可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中,家庭人均年纯收入低于2000元(不含2000元)的户数为:
1000×=120;
(2)根据题意,可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为:
×(1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5)
=2.4(千元);
(3)根据题意,得,
2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下:
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于:
500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470
>960+1130+1300+1470>4000.
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫.
23.【分析】(1)利用尺规作图作CD∥AB,且CD=2AB,即可作出四边形ABCD;
(2)在(1)的四边形ABCD中,根据相似三角形的判定与性质即可证明M,P,N三点在同一条直线上.
【解答】解:(1)如图,四边形ABCD即为所求;
(2)如图,
∵CD∥AB,
∴∠ABP=∠CDP,∠BAP=∠DCP,
∴△ABP∽△CDP,
∴=,
∵AB,CD的中点分别为M,N,
∴AB=2AM,CD=2CN,
∴=,
连接MP,NP,
∵∠BAP=∠DCP,
∴△APM∽△CPN,
∴∠APM=∠CPN,
∵点P在AC上,
∴∠APM+∠CPM=180°,
∴∠CPN+∠CPM=180°,
∴M,P,N三点在同一条直线上.
24.【分析】(1)由旋转的性质得出AB=AD,∠BAD=90°,△ABC≌△ADE,得出∠ADE=∠B=45°,可求出∠BDE的度数;
(2)①由旋转的性质得出AC=AE,∠CAE=90°,证得∠FPD=∠FDP,由等腰三角形的判定得出结论;
②过点P作PH∥ED交DF于点H,得出∠HPF=∠DEP,,证明△HPF≌△CDF(ASA),由全等三角形的性质得出HF=CF,则可得出结论.
【解答】解:(1)∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到,
∴AB=AD,∠BAD=90°,△ABC≌△ADE,
在Rt△ABD中,∠B=∠ADB=45°,
∴∠ADE=∠B=45°,
∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°.
(2)①DF=PF.
证明:由旋转的性质可知,AC=AE,∠CAE=90°,
在Rt△ACE中,∠ACE=∠AEC=45°,
∵∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°,
∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD,
即∠FPD=∠FDP,
∴DF=PF.
②证明:过点P作PH∥ED交DF于点H,
∴∠HPF=∠DEP,,
∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP,
∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC,
∴∠DEP=∠DAC,
又∵∠CDF=∠DAC,
∴∠DEP=∠CDF,
∴∠HPF=∠CDF,
又∵FD=FP,∠F=∠F,
∴△HPF≌△CDF(ASA),
∴HF=CF,
∴DH=PC,
又∵,
∴.
25.【分析】(1)先求出点A,点B,点C坐标,利用待定系数法可求解析式;
(2)利用反证法可得结论;
(3)通过证明△CEF∽△BEA,可得=()2,BE=t(0<t<4),则CE=4-t,可求S△ABE=×t×10=5t,S△CEF=,利用二次函数的性质可求解.
【解答】解:(1)∵直线l1:y=-2x+10交y轴于点A,交x轴于点B,
∴点A(0,10),点B(5,0),
∵BC=4,
∴点C(9,0)或点C(1,0),
∵点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1>x2≥5时,总有y1>y2.
∴当x≥5时,y随x的增大而增大,
当抛物线过点C(9,0)时,则当5<x<7时,y随x的增大而减少,不合题意舍去,
当抛物线过点C(1,0)时,则当x>3时,y随x的增大而增大,符合题意,
∴设抛物线解析式为:y=a(x-1)(x-5),过点A(0,10),
∴10=5a,
∴a=2,
∴抛物线解析式为:y=2(x-1)(x-5)=2x2-12x+10;
(2)当m=-2时,直线l2:y=-2x+n(n≠10),
∴直线l2:y=-2x+n(n≠10)与直线l1:y=-2x+10不重合,
假设l1与l2不平行,则l1与l2必相交,设交点为P(xP,yP),
∴
解得:n=10,
∵n=10与已知n≠10矛盾,
∴l1与l2不相交,
∴l2∥l1;
(3)如图,
、
∵直线l3:y=-2x+q过点C,
∴0=-2×1+q,
∴q=2,
∴直线l3,解析式为L:y=-2x+2,
∴l3∥l1,
∴CF∥AB,
∴∠ECF=∠ABE,∠CFE=∠BAE,
∴△CEF∽△BEA,
∴=()2,
设BE=t(0<t<4),则CE=4-t,
∴S△ABE=×t×10=5t,
∴S△CEF=()2×S△ABE=()2×5t=,
∴S△ABE+S△CEF=5t+=10t+-40=10(-)2+40-40,
∴当t=2时,S△ABE+S△CEF的最小值为40-40.
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/9011e3569c3143323968011ca300a6c30d22f150.html
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