第十一章 三角形
一、知识框架：
二、知识概念：
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.
7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.
12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，
13.公式与性质：
⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°
⑵三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于
·180°
⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.
⑸多边形对角线的条数：从边形的一个顶点出发可以引
条对角线，
第十二章 全等三角形
第一节：全等三角形
形状大小放在一起完全重合的图形，叫做全等形。换句话说，全等形就是能够完全重合的图形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个全等的三角形重合放在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。两个三角形全等用符号“≌”表示。如∆ABC≌∆A'B'C'。其中对应的边是AB与A'B'、AC与A'C'、BC与B'C'。如若前一个三角形的边的表示字母变换位置，那么后一个三角形的对应字母也要变换位置，如CB与C'B'为对应边。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
第2节：三角形全等的判定
上节中知道全等三角形的三条对应边，三个对应角均分别相等。那么是否可以从逆推得三角形全等呢？
由于三角形具有稳定性，那么画图得两个对应边分别相等的三角形，发现它们全等，对应角也相等。
再次，画图得两个对应角分别相等的三角形，发现，它们的对应边成比例，但是不一定相等，例如，两个等边三角形，角都相等，但是边长不一定相等。
所以有判定一：三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）。
画图得两个角度相等，边分别相等的两个角，依次分别连接角的边的端点，得两个全等的三角形（两边与夹角确定第三边）。
有判定二：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边或SAS）。
画图得两条长度相等的线段，分别以线段两端点为起点做射线，射线与线段的夹角对应相等，两条射线相交与一点，形成两个三角形。这两个三角形全等。
有判定三：两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边角或ASA）。
画图得两个角度和一边对应相等的两个角，分别从该边向另一边引一条射线，射线与另一边的夹角对应相等。形成的两个三角形全等。
有判定四：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（角角边或AAS）。
画图得两个直角三角形，它们的斜边和一条直角边对应相等，这两个三角形全等。
有判定五：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或HL）。
第3节：角的平分线的性质
作图：已知，求作
的平分线
做法：1、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；2、分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在
的内部交于点C；3、画射线OC。射线OC即为所求。
从射线OC上任选一点，分别作OA、OB的垂线段，沿着OC折叠，会发现OA、OB的垂线段完全重合。
故，有角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
同理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：
①确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；
②回顾三角形判定，搞清我们还需要什么；
③正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。
可以逆推，由需要证明的结论一步步推导出已知条件。
第十三章 轴对称
第1节轴对称
如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
把一个图形沿着以一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
第二节：画轴对称图形
画轴对称图形的步骤：1、选择已知图形的关键点；2、依次过它们做垂直于已知直线的垂线，截取直线两边的线段长度相等，则新点即是已知图形的关键点关于直线对称的点；3、依次连接各个点。所得图形即为已知图形的轴对称图形。
轴对称图形可以经过旋转得出。
用坐标轴表示轴对称：关于x轴对称（x，y）与（x，-y）；关于y轴对称（x，y）与（-x，y）。
第3节等腰三角形
有两个边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形的性质：1）等腰三角形的两个底角相等。简言之：等边对等角。
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简言之：等角对等边。
一种特殊的等腰三角形——等边三角形，三条边相等，三个角相等并且都为60º。
反推，三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半
第十四章 整式的乘法与因式分解
第一节：整式的乘法
1．同底数幂的乘法
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。
在应用法则运算时，要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；
②指数是1时，不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；
④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）；
⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。
2．幂的乘方
一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
另有：（m、n都是正整数）。
当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，
如将(-a)3化成-a3。
底数有时形式不同，但可以化成相同。
要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=an+bn（a、b均不为零）。
3.积的乘方法则
一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
4.整式的乘法
1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
2）单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
3）多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘
，
其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得
。
第二节：乘法公式
1.平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即。
其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
2.完全平方公式
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即。
口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央。
结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现这样的错误。
添括号法则：添括号是，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。即添正不变号，添负各项变号。
去括号法则同样。
第三节：整式的除法
1. 同底数幂的除法法则：一般地，有(a≠0，m、n都是正整数，且m>n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数，所以法则中a≠0。
②任何不等于0的数的0次幂等于1，即,如100=1，(-2.5)0=1，则00无意义。
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数)，等于这个数的p的次幂的倒数，即( a≠0，p是正整数), 而0-1，0-3都是无意义的；当a>0时，a-p的值一定是正的；当a<0时，a-p的值可能是正也可能是负的，如
，
；
④运算要注意运算顺序。
2.整式的除法
1）单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
2）多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
特点：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
第四节：因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法是互逆关系。
因式分解与整式乘法的区别和联系：
（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；
（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。
分解因式的一般方法：
1. 提公共因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
如：。
概念内涵：
（1）因式分解的最后结果应当是“积”；
（2）公因式可能是单项式,也可能是多项式；
（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：
易错点点评：
（1）注意项的符号与幂指数是否搞错；
（2）公因式是否提“干净”；
（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉。
2. 运用公式法
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。
主要公式：
（1）平方差公式：
（2）完全平方公式：
易错点点评：
因式分解要分解到底。如就没有分解到底。
运用公式法：
（1）平方差公式：
①应是二项式或视作二项式的多项式；
②二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方；
③二项是异号。
（2）完全平方公式：
①应是三项式；
②其中两项同号,且各为一整式的平方；
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍。
因式分解的思路与解题步骤：
（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；
（2）再看能否使用公式法；
（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的。
（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；
（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。
第五节：补充
1.分组分解法:
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
如：
概念内涵：
分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提，并且可继续分解，分组后是否可利用公式法继续分解因式。
注意：分组时要注意符号的变化。
2.十字相乘法:
对于二次三项式，将a和c分别分解成两个因数的乘积，
,
，且满足
，往往写成
的形式，将二次三项式进行分解。
如：
二次三项式的分解：
规律内涵：
把分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p。
易错点点评：
（1）十字相乘法在对系数分解时易出错；
（2）分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。
第十五章 分式
知识点一：分式的定义
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
知识点二：与分式有关的条件
分式有意义：分母不为0（
）
分式无意义：分母为0（
）
分式值为0：分子为0且分母不为0（
）
分式值为正或大于0：分子分母同号（
或
）
分式值为负或小于0：分子分母异号（
或
）
分式值为1：分子分母值相等（A=B）
分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
经典例题
1、代数式是（ ）
A.单项式 B.多项式 C.分式 D.整式
2、在，
，
，
，
中，分式的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3、当是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（ ）
A. B.
C.
D.
4、当时，分式①
，②
，③
，④
中，有意义的是（ ）
A.①③④ B.③④ C.②④ D.④
5、使分式的值为0，则
等于（ ）
A. B.
C.
D.
6、若分式的值为0，则
的值是（ ）
A.1或－1 B.1 C.－1 D.－2
7、当 时，分式
的值为正数.
8、当 时，分式
的值为负数.
9、当 时，分式
的值为1.
知识点三：分式的基本性质
1.分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，
，其中A、B、C是整式，C
0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B
0。
经典例题
1、把分式的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A.不变 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.扩大4倍
2、下列各式正确的是（ ）
A. B.
C.
，（
） D.
3、下列各式的变式不正确的是（ ）
A. B.
C.
D.
知识点四：分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
经典例题
1、 约分：①；②
2、化简的结果是（ ）
A、 B、
C、
D、
知识点五：分式的通分
第4节分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
第5节分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
经典例题
1、分式，
，
的最简公分母是（ ）
A. B.
C.
D.
2、通分：；
知识点六:分式的四则运算与分式的乘方
1 分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为:
2 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
3 分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
4 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
经典例题
1、下列运算正确的是（ ）
A. B.
C.
D.
2、计算：① ②
知识点七:整数指数幂
1 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则对负整数指数幂一样适用。即
★ ★
★
★
（
）
★ ★
（
）
★（
）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）
其中m，n均为整数。
科学记数法
若一个数x是0（
，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=
（
，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=
1、计算：①；②
.
2、化简的结果是（ ）
A. B.
C.
D.
3、化简的结果是（ ）
A. B.
C.
D.
4.计算： ①； ②
； ③
.
知识点八：解分式方程的步骤
去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
解整式方程，得到整式方程的解。
检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
知识点九:列分式方程
基本步骤
1 审—仔细审题，找出等量关系。
2 设—合理设未知数。
3 列—根据等量关系列出方程（组）。
4 解—解出方程（组）。注意检验
5 答—答题。
经典例题
1、已知方程①；②
；③
；④
， 其中是分式方程的有（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
2、分式方程，去分母时两边同乘以 ，可化整式方程
3、若关于的方程
有增根，则
的值为
4、如果分式方程无解，则
的值为
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