太原市2019年高三年级模拟试题（一）
数学试卷（文史类）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合，
，则
（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
word/media/image8_1.png分析】
先求集合A,再求交集即可
【详解】,则
故选：A
【点睛】本题考查集合的运算，绝对值不等式的解法，考查计算能力，是基础题
2.已知为虚数单位，则复数
（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由复数的除法运算化简求解即可
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，是基础题
3.下列命题中的真命题是（ ）
A. 若，则向量
与
的夹角为钝角
B. 若，则
C. 若命题“是真命题”，则命题“
是真命题”
D. 命题“，
”的否定是“
，
”
【答案】D
【解析】
【分析】
对于选项A：当时，向量
与
的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意
成立时，
这个特殊情况， 对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“
是真命题”
中至少有一个为真命题，不能确定
是真命题；
对于选项D：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。
【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项A是假命题；
选项B: 或者
，所以选项B是假命题；
选项C: 命题“是真命题”
中至少有一个为真命题，只有当
都是真命题时，
才是真命题，所以选项C是假命题；
选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，
”的否定是“
，
”是真命题，故本题选D.
【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.
4.已知，则
（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由诱导公式及二倍角公式化简，由
结合
得
，即可求解
【详解】=
又
,解
又，
,故
故
所以
故选：A
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题
5.已知函数在点
处的切线经过原点，则实数
（ ）
A. 1 B. 0 C. D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求导，再求切线斜率，利用点斜式写出方程，即可求解
【详解】切线方程为
,故0=0-1+a,解a=1
故选：A
【点睛】本题考查切线方程，导数的几何意义，考查计算能力，是基础题
6.已知等比数列满足
，
则
（ ）
A. 7 B. -5 C. 5 D. -7
【答案】D
【解析】
【分析】
由等比数列求得q,再计算即可
【详解】由题，
，解得
或
，故
或
当，
时
+
当，
时
+
，故
故选：D
【点睛】本题考查等比数列的基本运算及性质，考查计算能力，是基础题
7.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A. 12 B. 15 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5，求出底面积，用棱锥的体积公式求出体积。
【详解】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5.
底面四边形可以分割成二个三角形，面积，
体积，故本题选D。
【点睛】本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积。
8.在平面区域，内任取一点
，则点
的坐标
满足不等式
的概率为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出可行域，由满足不等式
得到点P满足的区域，再求面积求概率即可
【详解】由题不等式组表示的区域如图阴影所示：
则满足不等式的P的轨迹为阴影部分除去扇形C-AB的部分，
.故扇形面积为
联立
得D(
),故三角形OCD面积为
则点的坐标
满足不等式
的概率为
故选：A
【点睛】本题考查几何概型及线性规划，扇形的面积，准确计算是关键，是基础题
9.已知数列的前
项和
满足
，则
（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由n得
，构造等比数列得
,进而求得
通项，即可求解
【详解】当n得
,故
为首项为
，公比为
的等比数列，又
，故
所以
故
故选：B
【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，等比数列通项公式，考查计算推理能力，是基础题
10.已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，直线
过点
与双曲线
在第二象限相交于点
，若
，则双曲线
的离心率是（ ）
A. B.
C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，求
的值，结合定义求得a则离心率可求
【详解】因为直线过点
，故
,则c=5,因为
，故
=
=
又
=2a故a=
故选：B
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的计算，定义的运用，考查计算能力，是基础题
11.已知定义在上的函数
满足
，且
，则
的解集是（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数=
，求导确定其单调性，
等价为
，利用单调性解不等式即可
【详解】令=
在
上单调递减，且
故
等价为
即
,故
,解x<
故解集为
故选：A
【点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题
12.将函数的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，若方程
的根
，
满足
，则
的值是（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求确定满足
的
，
的表达式，即可求
，则
可求
【详解】由题,则
，不妨设
，则
则
，
又，则
，解
；
同理当亦成立
故选：C
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.抛物线的准线方程为_______.
【答案】
【解析】
由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，
∴其准线方程是y=，
。
故答案为：。
14.已知单位向量与
的夹角为
，则
__________.
【答案】
【解析】
解：因为单位向量,
的夹角为
，
故，故
15.已知函数若方程
有两个不相等的实根
，
，则
的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出的图像，求出
，
，表示为m的函数即可求解
【详解】的图像如图所示：设
<
,则
,
方程
有两个不相等的实根,故m>1,
则
当
单增，
单减，故
，即
的最大值为
故答案为
【点睛】本题考查函数与方程的零点，导数与函数的最值，考查分析转化能力，考查运算能力，是中档题
16.如图，正方体的棱长为4，点
在棱
上，且
，
是面
内的正方形，且
，
是面
内的动点，且
到平面
的距离等于线段
的长，则线段
长度的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
过作
,连接
,则
,当
最小时，
最小，利用空间直角坐标系，求出
的表达式，求出最小值，最后求出
长度的最小值。
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：
过作
,连接
,则
,当
最小时，
最小。
因为到平面
的距离等于线段
的长，
所以
时，
有最小值6，所以
的最小值为22，
.
【点睛】本题考查了空间直角坐标系的应用问题。
三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.如图，已知的内角
，
，
的对边分别是
，
，
，且
，点
是
的中点，
，交
于点
，且
，
.
（1）求；
（2）求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出。
（2）根据已知条件可以确定，并求出它们
word/media/image236_1.png表达式，在
中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出
，
的大小，最后求出面积。
【详解】解（1），由
得
，
由余弦定理得，
，
:
（2）连接，如下图：
是
的中点，
，
，
，
在中，由正弦定理得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式。
18.如图，在四棱锥中，底面
是平行四边形，
，
分别是
，
的中点，
是等边三角形，面
面
，
，
.
（1）证明：面
；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）设的中点为
，连接
，
，证明
是平行四边形即可证明；（2）利用（1）
面
，转化
求解即可
【详解】
（1）证明：设的中点为
，连接
，
，
是
的中点，
，
，
是平行四边形，
，
，
是
的中点，
，
，
是平行四边形，
，
不含于面
面
面
；
（2）过点作
，
为垂足，连接
，
面
面
，
面
，
是等边三角形，
，
，
由（1）得面
，
【点睛】本题考查线面平行的判定及棱锥体积，熟记判定定理，准确计算是关键，注意等体积的转化，是基础题
19.近年来随着互联网的高速发展，旧货交易市场也得以快速发展.某网络旧货交易平台对2018年某种机械设备的线上交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，和如图所示的散点图.现把直方图中各组的频率视为概率，用（单位：年）表示该设备的使用时间，
（单位：万元）表示其相应的平均交易价格.
（1）已知2018年在此网络旧货交易平台成交word/media/image236_1.png该种机械设备为100台，现从这100台设备中，按分层抽样抽取使用时间
的4台设备，再从这4台设备中随机抽取2台，求这2台设备的使用时间都在
的概率.
（2）由散点图分析后，可用作为此网络旧货交易平台上该种机械设备的平均交易价格
关于其使用时间
的回归方程.
表中，
（i）根据上述相关数据，求关于
的回归方程；
（ii）根据上述回归方程，求当使用时间时，该种机械设备的平均交易价格的预报值（精确到0.01）.
附：对于一组数据，
，…，
，其回归直线
word/media/image236_1.png斜率和截距的最小二乘估计分别为
参考数据：，
，
.
【答案】（1）；（2）
（ii）
【解析】
【分析】
（1）由分层抽样确定的设备有3台，分别记为
，
，
；使用时
的设备有1台，记为
，由古典概型列举求解即可（2）（i）由题意得
，由公式求解
即可求解（ii）将x=15代入方程求解即可
【详解】（1）由图1中频率分布直方图可知，从2018年成交的该种机械设备中使用时间的台数为
，使用时间
的台数为
，
按分层抽样所抽取4台中，使用时间
的设备有3台，分别记为
，
，
；使用时
的设备有1台，记为
，
从这4台设备中随机抽取2台的结果为
，
，
，
，
，
，共有6种等可能出现的结果，其中这2台设备的使用时间
都在
结果为
，
，
，共有3种，：所求事件的概率为
；
（2）（i）由题意得，
，
关于
的线性回归方程为
关于
的回归方程为
，
（ii）由（i）当使用时间时，该种机械设备的平均交易价格的预报值为
万元.，
【点睛】本题考查回归直线方程及应用，古典概型，分层抽样，准确计算是关键，是基础题
20.已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
，其离心率为
，点
是椭圆
上任一点，且
面积的最大值为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率不为0的直线与椭圆相交于
，
两个不同点，且
是平行四边形，证明：四边形
的面积为定值.
【答案】（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1）由题列a,b,c的方程组求解即可（2）设直线的方程为
，
，
，
，与椭圆联立，由
是平行四边形得
，向量坐标化得
，
，代入椭圆化简整理得
，再利用弦长公式及点到线距离代入
求解即可
【详解】（1）由题意得
椭圆
的方程为
；
（2）设直线的方程为
，
，
，
由，得
，
，
是平行四边形，
，
，
，
，
，
此时，
，
，
，
点到直线
的距离为
，
.
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，点在曲线上应用，突破点在于求出P坐标，考查计算能力，是中档题
21.已知函数，
.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当，时，若对于任意
，都存在
，使得
，证明：
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）讨论
和
的正负确定其单调性即可；（2）由
，整理得
，进而得
，令
，
，
求导证明
，再构造函数
，证明其单调增，即可证明结论
【详解】（1）由题意得，
，
①当时，
在
上恒成立，
在
上单调递增；
②当时，令
则
；令
则
，
在
上单调递增，在
单调递减；
（2）证明：当时，
，
，
令，
，
，则
，
，
，
，
设，
，则
，
在
上单调递增，
.
【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，函数单调性，分类讨论思想，整体代入及换元的方法，考查计算推理能力，是中档题
22.在平面直角坐标系中，曲线
的参数方程为
，以原点0为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）若曲线方程中的参数是
，且
与
有且只有一个公共点，求
的普通方程；
（2）已知点，若曲线
方程中的参数是
，
，且
与
相交于
，
两个不同点，求
的最大值.
【答案】(1) 或
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得到等式，求出的值；
（2）把曲线的参数方程代入曲线
的直角坐标方程，得到一个一元二次方程，设与点
，
相对应的参数分别是
，
，利用一元二次方程根与系数关系，
求出的表达式，求出最大值。
【详解】解：（1），
曲线
的直角坐标方程为
，
是曲线
的参数，
的普通方程为
，
与
有且只有一个公共点，
或
，
的普通方程为
或
（2）是曲线
的参数，
是过点
的一条直线，
设与点，
相对应的参数分别是
，
，把
，代入
得
，
，
当时，
，
取最大值
.
【点睛】本题考查了参数方程化为变通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，利用参数的意义求最值问题。
23.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在实数，使得
成立的
的最大值为
，且实数
，
满足
，证明：
.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的几何意义，求出解集；
（2）求出函数的最小值，求出
，利用立方差公式，结合重要不等式
，最后证出。
【详解】（1）解：，
，
由绝对值得几何意义可得和
上述不等式中的等号成立，
不等式
的解集为
；
（2）由绝对值得几何意义易得的最小值为3，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了绝对值word/media/image236_1.png几何意义、利用立方差公式，结合重要不等式证明不等式问题。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/99c9cd8da9114431b90d6c85ec3a87c241288a0c.html
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