湘潭市2018年初中学业水平考试数学卷（附答案）

湘潭市2018年初中毕业学业水平考试•数学

总分数 120分 时长:不限

一、选择题 （共8题 ,总计24分）

1.（3分）﹣2的相反数是（　　）

A. 2

B. -2

C.

D. ±2

2.（3分）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A.

B.

C.

D.

3.（3分）每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（　　）

A. 15

B. 150

C. 200

D. 2000

4.（3分）如图，点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为（　　）

A. （1，2）

B. （﹣1，﹣2）

C. （1，﹣2）

D. （2，﹣1）

5.（3分）如图，已知点E、F、G。H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　　）

A. 正方形

B. 矩形

C. 菱形

D. 平行四边形

6.（3分）下列计算正确的是（　　）

A. x2+x3=x5

B. x2•x3=x5

C. （﹣x2）3=x8

D. x6÷x2=x3

7.（3分）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（　　）

A.

B.

C.

D.

8.（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A. m≥1

B. m≤1

C. m＞1

D. m＜1

二、填空题 （共8题 ,总计24分）

9.（3分）因式分解：a2﹣2ab+b2=____1____。

10.（3分）我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试，其中物实验操作考试有4个考题备选，分别记为A，B，C，D，学生从中机抽取一个考题进行测试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题B的概率是____1____。

11.（3分）分式方程=1的解为____1____。

12.（3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=____1____。

13.（3分）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB=____1____。

14.（3分）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为____1____（任意添加一个符合题意的条件即可）

15.（3分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 ____1____。

16.（3分）阅读材料：若ab=N，则b=logaN，称b为以a为底N的对数，例如23=8，则log28=log223=3。根据材料填空：log39=____1____。

三、解答题 （共10题 ,总计72分）

17.（6分）计算：|﹣5|+（﹣1）2﹣（）﹣1﹣。

18.（6分）先化简，再求值：（1+）÷。其中x=3。

19.（6分）随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少每里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）。

20.（6分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等。

(1)(3分)学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；

(2)(3分)若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

21.（6分）今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议。某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况道行了统计，绘制了如图所示的两个不完整的统计图。

(1)(2分)求该校的班级总数；

(2)(2分)将条形统计图补充完整；

(3)(2分)求该校各班在这一活动中植树的平均数。

22.（6分）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于于点O。

(1)(3分)求证：△DAF≌△ABE；

(2)(3分)求∠AOD的度数。

23.（8分）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市。某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍。

(1)(4分)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

(2)(4分)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

24.（8分）如图，点M在函数y=（x＞0）的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=（x＞0）的图象于点B、C。

(1)(4分)若点M的坐标为（1，3）。

①求B、C两点的坐标；

②求直线BC的解析式；

(2)(4分)求△BMC的面积。

25.（10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM。

(1)(5分)若半圆的半径为10。

①当∠AOM=60°时，求DM的长；

②当AM=12时，求DM的长。

(2)(5分)探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

26.（10分）如图，点P为抛物线y=x2上一动点。

(1)(5分)若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

(2)(5分)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M。

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由。

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1.5），求QP+PF的最小值。

湘潭市2018年初中毕业学业水平考试•数学

参考答案与试题解析

一、选择题 （共8题 ,总计24分）

1.（3分）﹣2的相反数是（　　）

A. 2

B. -2

C.

D. ±2

【解析】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2。故选：A。

【答案】A

2.（3分）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A.

B.

C.

D.

【解析】解：该几何体的主视图是三角形，

故选：C。

【答案】C

3.（3分）每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（　　）

A. 15

B. 150

C. 200

D. 2000

【解析】解：估计全校体重超标学生的人数为2000×=150人，故选：B。

【答案】B

4.（3分）如图，点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为（　　）

A. （1，2）

B. （﹣1，﹣2）

C. （1，﹣2）

D. （2，﹣1）

【解析】解：点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为：（1，2）。故选：A。

【答案】A

5.（3分）如图，已知点E、F、G。H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　　）

A. 正方形

B. 矩形

C. 菱形

D. 平行四边形

【解析】解：连接AC、BD。AC交FG于L。

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵DH=HA，DG=GC，

∴GH∥AC，HG=AC，

同法可得：EF=AC，EF∥AC，

∴GH=EF，GH∥EF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

同法可证：GF∥BD，

∴∠OLF=∠AOB=90°，

∵AC∥GH，

∴∠HGL=∠OLF=90°，

∴四边形EFGH是矩形。

故选：B。

【答案】B

6.（3分）下列计算正确的是（　　）

A. x2+x3=x5

B. x2•x3=x5

C. （﹣x2）3=x8

D. x6÷x2=x3

【解析】解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误；B、x2•x3=x5，正确；C、（﹣x2）3=﹣x6，故此选项错误；D、x6÷x2=x4，故此选项错误；故选：B。

【答案】B

7.（3分）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（　　）

A.

B.

C.

D.

【解析】解：∵一次函数y=x+b中k=﹣1＜0，b＞0，

∴一次函数的图象经过一、二、四象限，

故选：C。

【答案】C

8.（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A. m≥1

B. m≤1

C. m＞1

D. m＜1

【解析】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，

解得：m＜1。

故选：D。

【答案】D

二、填空题 （共8题 ,总计24分）

9.（3分）因式分解：a2﹣2ab+b2=____1____。

【解析】解：原式=（a﹣b）2，故答案为：（a﹣b）2。

【答案】（a﹣b）2

10.（3分）我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试，其中物实验操作考试有4个考题备选，分别记为A，B，C，D，学生从中机抽取一个考题进行测试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题B的概率是____1____。

【解析】解：∵物实验操作考试有4个考题备选，且每一个考题抽到的机会均等，

∴学生小林抽到考题B的概率是：。

故答案是：。

【答案】

11.（3分）分式方程=1的解为____1____。

【解析】解：两边都乘以x+4，得：3x=x+4，

解得：x=2，

检验：x=2时，x+4=6≠0，

所以分式方程的解为x=2，

故答案为：x=2。

【答案】x=2

12.（3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=____1____。

【解析】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC。

又点D是边BC的中点，

∴∠BAD=∠BAC=30°。

故答案是：30°。

【答案】30°

13.（3分）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB=____1____。

【解析】解：∵AB是⊙O的切线，

∴∠OBA=90°，

∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，

故答案为：60°。

【答案】60°

14.（3分）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为____1____（任意添加一个符合题意的条件即可）

【解析】解：若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD；

若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；

若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；

若∠C=∠CDE，则BC∥AD；

故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE。（答案不唯一）

【答案】∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE。（答案不唯一）

15.（3分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 ____1____。

【解析】解：设AC=x，

∵AC+AB=10，

∴AB=10﹣x。

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2。

故答案为：x2+32=（10﹣x）2。

【答案】故答案为：x2+32=（10﹣x）2

16.（3分）阅读材料：若ab=N，则b=logaN，称b为以a为底N的对数，例如23=8，则log28=log223=3。根据材料填空：log39=____1____。

【解析】解：∵32=9，

∴log39=log332=2。

故答案为2。

【答案】2

三、解答题 （共10题 ,总计72分）

17.（6分）计算：|﹣5|+（﹣1）2﹣（）﹣1﹣。

【解析】解：原式=5+1﹣3﹣2=1。

【答案】1

18.（6分）先化简，再求值：（1+）÷。其中x=3。

【解析】解：（1+）÷

=×

=x+2。

当x=3时，原式=3+2=5。

【答案】5

19.（6分）随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少每里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）。

【解析】通过勾股定理得到线段PC的长度，然后解直角△BPC求得线段PB的长度即可。

【答案】解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC。

∵AP=400海里，

∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，

故PC=200海里。

又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，

∴PB==2PC=400≈565.6（海里）。

答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6每里。

20.（6分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等。

(1)(3分)学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；

(2)(3分)若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

【解析】

(1)画树状图展示所有12种等可能的结果数；

(2)画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解。

【答案】

(1)画树状图为：

共有12种等可能的结果数；

(2)画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，

所以他们两人恰好选修同一门课程的概率==。

21.（6分）今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议。某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况道行了统计，绘制了如图所示的两个不完整的统计图。

(1)(2分)求该校的班级总数；

(2)(2分)将条形统计图补充完整；

(3)(2分)求该校各班在这一活动中植树的平均数。

【解析】

(1)根据统计图中植树12颗的班级数以及所占百分比25%列出算式，即可求出答案；

(2)根据条形统计图求出植树11颗的班级数是4，画出即可；

(3)根据题意列出算式，即可求出答案。

【答案】

(1)该校的班级总数=3÷25%=12

(2)植树11颗的班级数：12﹣1﹣2﹣3﹣4=2，如图所示：

(3)（1×8+2×9+2×11+3×12+4×15）÷12=12（颗）

22.（6分）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于于点O。

(1)(3分)求证：△DAF≌△ABE；

(2)(3分)求∠AOD的度数。

【解析】

(1)利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；

(2)利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论。

【答案】

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，

在△DAF和△ABE中，，

∴△DAF≌△ABE（SAS）

(2)由（1）知，△DAF≌△ABE，

∴∠ADF=∠BAE，

∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，

∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°。

23.（8分）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市。某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍。

(1)(4分)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

(2)(4分)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

【解析】

(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；

(2)根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论。

【答案】

(1)设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，

根据题意得，2x+3×3x=550，

∴x=50，

经检验，符合题意，

∴3x=150元，

即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；

(2)设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，

根据题意得，意，，

∴≤y≤52，

∵y为正整数，

∴y为42，43，44，45，46，47，48，49，50，51，52，共11中方案；

即：温馨提示牌42个，垃圾箱58个，温馨提示牌43个，垃圾箱57个，温馨提示牌44个，垃圾箱56个，

温馨提示牌45个，垃圾箱55个，温馨提示牌46个，垃圾箱54个，温馨提示牌47个，垃圾箱53个，

温馨提示牌48个，垃圾箱52个，温馨提示牌49个，垃圾箱51个，温馨提示牌50个，垃圾箱50个，

温馨提示牌51个，垃圾箱49个，温馨提示牌52个，垃圾箱48个，

根据题意，费用为30y+150（100﹣y）=﹣120y+15000，

当y=52时，所需资金最少，最少是8760元。

24.（8分）如图，点M在函数y=（x＞0）的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=（x＞0）的图象于点B、C。

(1)(4分)若点M的坐标为（1，3）。

①求B、C两点的坐标；

②求直线BC的解析式；

(2)(4分)求△BMC的面积。

【解析】

(1)把点M横纵坐标分别代入y=解析式得到点B、C坐标，应用待定系数法求BC解析式；

(2)设出点M坐标（a，b），利用反比例函数性质，ab=3，用a、b表示BM、MC，求△BMC的面积。

【答案】

(1)①∵点M的坐标为（1，3）

且B、C函数y=（x＞0）的图象上

∴点C横坐标为1，纵坐标为1

点B纵坐标为3，横坐标为

∴点C坐标为（1，1），点B坐标为（，3）

②设直线BC解析式为y=kx+b

把B、C点坐标代入得

解得

∴直线BC解析式为：y=﹣3x+4

(2)设点M坐标为（a，b）

∵点M在函数y=（x＞0）的图象上

∴ab=3

由（1）点C坐标为（a，），B点坐标为（，b）

∴BM=a﹣，MC=b﹣

∴S△BMC=

25.（10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM。

(1)(5分)若半圆的半径为10。

①当∠AOM=60°时，求DM的长；

②当AM=12时，求DM的长。

(2)(5分)探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

【解析】

(1)①当∠AOM=60°时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；

②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，OF=10﹣x，利用勾股定理即可求出x的值。易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度。

(2)根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案。

【答案】

(1)解：（1）①当∠AOM=60°时，

∵OM=OA，

∴△AMO是等边三角形，

∴∠A=∠MOA=60°，

∴∠MOD=30°，∠D=30°，

∴DM=OM=10

②过点M作MF⊥OA于点F，

设AF=x，

∴OF=10﹣x，

∵AM=12，OA=OM=10，

由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2

∴x=，

∴AF=，

∵MF∥OD，

∴△AMF∽△ADO，

∴，

∴，

∴AD=

∴MD=AD﹣AM=

(2)当点M位于之间时，

连接BC，

∵C是的重点，

∴∠B=45°，

∵四边形AMCB是圆内接四边形，

此时∠CMD=∠B=45°，

当点M位于之间时，

连接BC，

由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°

综上所述，∠CMD=45°

26.（10分）如图，点P为抛物线y=x2上一动点。

(1)(5分)若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

(2)(5分)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M。

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由。

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1.5），求QP+PF的最小值。

【解析】

(1)找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式。

(2)①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；

②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题。

【答案】

(1)∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）

∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象。

(2)①存在一定点F，使得PM=PF恒成立。

如图一，过点P作PB⊥y轴于点B

设点P坐标为（a，a2）

∴PM=PF=a2+1

∵PB=a

∴Rt△PBF中

BF=

∴OF=1

∴点F坐标为（0，1）

②由①，PM=PF

QP+PF的最小值为QP+QM的最小值

当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标5。

∴QP+PF的最小值为5。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9af529095b0102020740be1e650e52ea5518ce30.html