2016年高考北京理科数学试题及答案（word解析版）

2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合word/media/image1.gif，word/media/image2.gif，则word/media/image3.gif（ ）

（A）word/media/image4.gif （B）word/media/image5.gif （C）word/media/image6.gif （D）word/media/image7.gif

【答案】C

【解析】集合word/media/image8.gif，集合word/media/image9.gif，所以word/media/image10.gif，故选C．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．

（2）【2016年北京，理2，5分】若word/media/image12.gif，word/media/image13.gif满足word/media/image14.gif则word/media/image15.gif的最大值为（ ）word/media/image11_1.png

（A）0 （B）3 （C）4 （D）5

【答案】C

【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为word/media/image16.gif，最大值

为word/media/image17.gif，故选C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想

是解决此类问题的基本方法．

（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的word/media/image19.gif值为1，则输出的word/media/image20.gif值为（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【答案】B

【解析】开始word/media/image21.gif，word/media/image22.gif；第一次循环word/media/image23.gif，word/media/image24.gif；第二次循环word/media/image25.gif，word/media/image26.gif，第三次循环word/media/image21.gif，

条件判断为“是”跳出，此时word/media/image26.gif，故选B．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进

行解答．

（4）【2016年北京，理4，5分】设word/media/image27.gif，word/media/image28.gif是向量，则“word/media/image29.gif”是“word/media/image30.gif”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】若word/media/image31.gif成立，则以word/media/image32.gif，word/media/image33.gif为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，word/media/image34.gif，word/media/image35.gif表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以word/media/image36.gif不一定成立，从而不是充分条件；反之，word/media/image36.gif成立，则以word/media/image32.gif，word/media/image33.gif为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以word/media/image31.gif不一定成立，从而不是必要条件，故选D．

【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“word/media/image29.gif”与“word/media/image30.gif”表示的几何意义，是解答

的关键．

（5）【2016年北京，理5，5分】已知word/media/image37.gif，且word/media/image38.gif，则（ ）

（A）word/media/image39.gif （B）word/media/image40.gif （C）word/media/image41.gif （D）word/media/image42.gif

【答案】C

【解析】word/media/image43.gif．考查的是反比例函数word/media/image44.gif在word/media/image45.gif单调递减，所以word/media/image46.gif即word/media/image47.gif所以word/media/image43.gif错；word/media/image48.gif．考查的

是三角函数word/media/image49.gif在word/media/image45.gif单调性，不是单调的，所以不一定有word/media/image50.gif，word/media/image48.gif错；word/media/image51.gif．考查的是

指数函数word/media/image52.gif在word/media/image45.gif单调递减，所以有word/media/image53.gif即word/media/image54.gif所以word/media/image51.gif对；word/media/image55.gif考查的是

对数函数word/media/image56.gif的性质，word/media/image57.gif，当word/media/image58.gif时，word/media/image59.gif不一定有word/media/image60.gif，所以word/media/image55.gif错，故

选C．

【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

（6）【2016年北京，理6，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

（A）word/media/image62.gif （B）word/media/image63.gif （C）word/media/image64.gif （D）1

【答案】A

【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高word/media/image65.gif，底面积word/media/image66.gif，所以体积word/media/image67.gif，故选A．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

（7）【2016年北京，理7，5分】将函数word/media/image69.gif图象上的点word/media/image70.gif向左平移word/media/image71.gif个单位长度得到点word/media/image72.gif，若word/media/image72.gif位于函数word/media/image73.gif的图象上，则（ ）word/media/image68_1.png

（A）word/media/image74.gif，word/media/image75.gif的最小值为word/media/image76.gif （B）word/media/image77.gif，word/media/image75.gif的最小值为word/media/image76.gif

（C）word/media/image74.gif，word/media/image75.gif的最小值为word/media/image78.gif （D）word/media/image77.gif，word/media/image75.gif的最小值为word/media/image78.gif

【答案】A

【解析】点word/media/image79.gif在函数word/media/image80.gif上，所以word/media/image81.gif，然后word/media/image80.gif向左平移word/media/image82.gif个单位，即word/media/image83.gif，所以word/media/image84.gif，所以word/media/image82.gif的最小值为word/media/image85.gif，故选A．

【点评】本题考查的知识点是函数word/media/image86.gif的图象和性质，难度中档．

（8）【2016年北京，理8，5分】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）

（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

【答案】B

【解析】取两个球往盒子中放有word/media/image87.gif种情况：

①红+红，则乙盒中红球数加word/media/image88.gif个；

②黑+黑，则丙盒中黑球数加word/media/image88.gif个；

③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加word/media/image88.gif个；

④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加word/media/image88.gif个．

因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．

③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故选B．

【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题．

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

（9）【2016年北京，理9，5分】设a∈R，若复数word/media/image89.gif在复平面内对应的点位于实轴上，则word/media/image90.gif ．

【答案】word/media/image91.gif

【解析】word/media/image92.gif，∵其对应点在实轴上，∴word/media/image93.gif，word/media/image94.gif．

【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题．

（10）【2016年北京，理10，5分】在word/media/image95.gif的展开式中，word/media/image96.gif的系数为 ．（用数字作答）

【答案】60

【解析】由二项式定理得含word/media/image97.gif的项为word/media/image98.gif．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

（11）【2016年北京，理11，5分】在极坐标系中，直线word/media/image99.gif与圆word/media/image100.gif交于word/media/image101.gif，word/media/image102.gif两点，则word/media/image103.gif______．

【答案】2

【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算word/media/image104.gif，word/media/image105.gif，直线的直角坐标方程为word/media/image106.gif，

∵word/media/image107.gif，word/media/image108.gif∴word/media/image109.gif，圆的直角坐标方程为word/media/image110.gif，

圆心word/media/image111.gif在直线上，因此word/media/image112.gif为圆的直径，word/media/image113.gif．

【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题．

（12）【2016年北京，理12，5分】已知word/media/image114.gif为等差数列，word/media/image115.gif为其前word/media/image116.gif项和．若word/media/image117.gif，word/media/image118.gif，则word/media/image119.gif ．

【答案】6

【解析】∵word/media/image120.gif∴word/media/image121.gif，∵word/media/image122.gif，word/media/image123.gif∴word/media/image124.gif，∴word/media/image125.gif．

【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

（13）【2016年北京，理13】双曲线word/media/image127.gif的渐近线为正方形word/media/image128.gif的边word/media/image129.gif，word/media/image126_1.png

word/media/image130.gif所在的直线，点word/media/image102.gif为该双曲线的焦点．若正方形word/media/image128.gif的边长为2，则word/media/image90.gif_______．

【答案】2

【解析】不妨令word/media/image48.gif为双曲线的右焦点，word/media/image43.gif在第一象限，则双曲线图象如图，∵word/media/image131.gif为正方形，

word/media/image132.gif∴word/media/image133.gif，word/media/image134.gif，∵直线word/media/image135.gif是渐近线，方程为word/media/image136.gif，

∴word/media/image137.gif，又∵word/media/image138.gif∴word/media/image139.gif．

【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．

（14）【2016年北京，理14，5分】设函数word/media/image141.gif．①若word/media/image142.gif，则word/media/image143.gif的最大值为　　　　　　；②若word/media/image143.gif无最大值，则实数word/media/image19.gif的取值范围是　　　　　　．word/media/image140_1.png

【答案】2；word/media/image144.gif．

【解析】由word/media/image145.gif，得word/media/image146.gif，如下图，是word/media/image147.gif的两个函数在没有限制条件时的图

象．⑴word/media/image148.gif；⑵ 当word/media/image149.gif时，word/media/image147.gif有最大值word/media/image150.gif；

当word/media/image144.gif时，word/media/image151.gif在word/media/image152.gif时无最大值，且word/media/image153.gif．所以，word/media/image144.gif．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．

三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）【2016年北京，理15，13分】在word/media/image154.gif中，word/media/image155.gif．

（1）求word/media/image157.gif的大小；

（2）求word/media/image158.gif的最大值．

解：（1）∵word/media/image159.gif，∴word/media/image160.gif，∴word/media/image161.gif，∴word/media/image162.gif．

（2）∵word/media/image163.gif，∴word/media/image164.gif，∴word/media/image165.gif word/media/image166.gif

word/media/image167.gifword/media/image168.gif，∵word/media/image169.gif，∴word/media/image170.gif，∴word/media/image171.gif，

∴word/media/image172.gif最大值为1，所以word/media/image158.gif最大值为1．

【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．

（16）【2016年北京，理16，13分】word/media/image101.gif，word/media/image102.gif，word/media/image173.gif三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：

（1）试估计word/media/image173.gif班的学生人数；

（2）从word/media/image101.gif班和word/media/image173.gif班抽出的学生中，各随机选取一个人，word/media/image101.gif班选出的人记为甲，word/media/image173.gif班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（3）再从word/media/image101.gif，word/media/image102.gif，word/media/image173.gif三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为word/media/image174.gif，表格中数据的平均数记为word/media/image175.gif，试判断word/media/image175.gif和word/media/image174.gif的大小．（结论不要求证明）

解：（1）word/media/image176.gif，word/media/image177.gif班学生40人．

（2）在word/media/image101.gif班中取到每个人的概率相同均为word/media/image178.gif，设word/media/image43.gif班中取到第word/media/image179.gif个人事件为word/media/image180.gif，

word/media/image173.gif班中取到第word/media/image181.gif个人事件为word/media/image182.gif，word/media/image43.gif班中取到word/media/image183.gif的概率为word/media/image184.gif，

所求事件为word/media/image55.gif，则word/media/image185.gifword/media/image186.gifword/media/image187.gif．

（3）word/media/image188.gif，三组平均数分别为word/media/image189.gif总均值word/media/image190.gif，

但word/media/image191.gif中多加的三个数据word/media/image189.gif平均值为word/media/image192.gif，比word/media/image193.gif小，故拉低了平均值．

【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档．

（17）【2016年北京，理17，14分】如图，在四棱锥word/media/image195.gif中，平面word/media/image196.gif平面word/media/image197.gif，word/media/image198.gif，

word/media/image199.gif，word/media/image200.gif，word/media/image201.gif，word/media/image202.gif，word/media/image203.gif．

（1）求证：word/media/image204.gif平面word/media/image205.gif；

（2）求直线word/media/image206.gif与平面word/media/image207.gif所成角的正弦值；

（3）在棱word/media/image208.gif上是否存在点word/media/image209.gif，使得word/media/image210.gif平面word/media/image207.gif？若存在，求word/media/image211.gif的值，若不存在，

说明理由．

解：（1）∵面word/media/image212.gifword/media/image213.gif面word/media/image214.gif，面word/media/image212.gifword/media/image215.gif面word/media/image216.gif，∵word/media/image217.gif word/media/image215.gifword/media/image218.gif，word/media/image219.gif面word/media/image220.gif，∴word/media/image221.gif面word/media/image212.gif，

∵word/media/image223.gif面word/media/image212.gif。∴word/media/image224.gif，又word/media/image225.gif，∴word/media/image226.gif word/media/image215.gif面word/media/image227.gif．word/media/image222_1.png

（2）取word/media/image218.gif中点为word/media/image228.gif，连结word/media/image229.gif，word/media/image230.gif，∵word/media/image231.gif，∴word/media/image232.gif，∵word/media/image233.gif，

∴word/media/image234.gif，以word/media/image228.gif为原点，如图建系易知word/media/image235.gif，word/media/image236.gif，word/media/image237.gif，word/media/image238.gif，

则word/media/image239.gif，word/media/image240.gif，word/media/image241.gif，word/media/image242.gif，设word/media/image243.gif为面word/media/image244.gif的

法向量，令word/media/image245.gif，word/media/image246.gif，则word/media/image247.gif与面word/media/image248.gif夹角word/media/image249.gif有

word/media/image250.gif．

（3）假设存在word/media/image251.gif点使得word/media/image252.gif面word/media/image248.gif，设word/media/image253.gif，word/media/image254.gif，由（2）知word/media/image255.gif，word/media/image256.gif，word/media/image257.gif，

word/media/image258.gif，word/media/image259.gif，有word/media/image260.gif，∴word/media/image261.gif，∵word/media/image252.gif面word/media/image248.gif，

word/media/image262.gif为word/media/image248.gif的法向量，∴word/media/image263.gif，即word/media/image264.gif，∴word/media/image265.gif，

∴综上，存在word/media/image251.gif点，即当word/media/image266.gif时，word/media/image251.gif点即为所求．

【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．

（18）【2016年北京，理18，13分】设函数word/media/image267.gif，曲线word/media/image268.gif在点word/media/image269.gif处的切线方程为

word/media/image270.gif．

（1）求word/media/image19.gif，word/media/image271.gif的值；

（2）求word/media/image143.gif的单调区间．

解：（1）word/media/image272.gif，∴word/media/image273.gif，∵曲线word/media/image274.gif在点word/media/image275.gif处的切线方

程为word/media/image276.gif，∴word/media/image277.gif，word/media/image278.gif，即word/media/image279.gifword/media/image280.gif

word/media/image281.gifword/media/image282.gif 由word/media/image280.gifword/media/image282.gif解得：word/media/image283.gif，word/media/image284.gif．

（2）由（1）可知：word/media/image285.gif，word/media/image286.gif，

令word/media/image287.gif，∴word/media/image288.gif

∴word/media/image296.gif的最小值是word/media/image298.gif，∴word/media/image299.gif的最小值为word/media/image300.gif，

即word/media/image301.gif对word/media/image302.gif恒成立，∴word/media/image303.gif在word/media/image304.gif上单调递增，无减区间．

【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．

（19）【2016年北京，理19，14分】已知椭圆word/media/image173.gif：word/media/image305.gif的离心率为word/media/image306.gif，word/media/image307.gif，word/media/image308.gif，word/media/image309.gif，word/media/image310.gif的面积为1．

（1）求椭圆word/media/image173.gif的方程；

（2）设word/media/image311.gif是椭圆word/media/image173.gif上一点，直线word/media/image208.gif与word/media/image312.gif轴交于点word/media/image209.gif，直线word/media/image206.gif与word/media/image313.gif轴交于点word/media/image314.gif．求证：word/media/image315.gif为定

值．

解：（1）由已知，word/media/image316.gif，又word/media/image317.gif，解得word/media/image318.gif∴椭圆的方程为word/media/image319.gif．

（2）解法一：设椭圆上一点word/media/image320.gif，则word/media/image321.gif．直线word/media/image322.gif：word/media/image323.gif，令word/media/image324.gif，得word/media/image325.gif．

∴word/media/image326.gif，直线word/media/image247.gif：word/media/image327.gif，令word/media/image328.gif，得word/media/image329.gif．∴word/media/image330.gif

word/media/image331.gif

将word/media/image321.gif代入上式得word/media/image332.gif，故word/media/image333.gif为定值．

解法二：设椭圆上一点word/media/image334.gif，直线word/media/image208.gif:word/media/image335.gif，令word/media/image324.gif，得word/media/image336.gif．

∴word/media/image337.gif，word/media/image247.gif:word/media/image338.gif，令word/media/image328.gif，word/media/image339.gif．word/media/image340.gif

word/media/image341.gif

故word/media/image333.gif为定值．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．

（20）【2016年北京，理20，13分】设数列word/media/image101.gif：word/media/image342.gif．如果对小于word/media/image343.gif的每个正整数word/media/image20.gif都有word/media/image344.gif，则称word/media/image116.gif是数列word/media/image101.gif的一个“word/media/image345.gif时刻”，记word/media/image346.gif是数列word/media/image101.gif的所有“word/media/image345.gif时刻”组成的集合．

（1）对数列word/media/image347.gif，写出word/media/image346.gif的所有元素；

（2）证明：若数列word/media/image101.gif中存在word/media/image348.gif使得word/media/image349.gif，则word/media/image350.gif；

（3）证明：若数列word/media/image101.gif满足word/media/image351.gif，则word/media/image346.gif的元素个数不小于word/media/image352.gif．

解：（1）根据题干可得，word/media/image353.gif，word/media/image354.gif，word/media/image355.gif，word/media/image356.gif，word/media/image357.gif，word/media/image358.gif满足条件，2满足条件，word/media/image359.gif不满足条件，3不满足条件，word/media/image360.gif不满足条件，4不满足条件，word/media/image361.gif，word/media/image362.gif，word/media/image363.gif，word/media/image364.gif，均小于word/media/image365.gif，因此5满足条件，因此word/media/image366.gif．

（2）因为存在word/media/image367.gif，设数列word/media/image43.gif中第一个大于word/media/image368.gif的项为word/media/image369.gif，则word/media/image370.gif，其中word/media/image371.gif，

所以word/media/image372.gif，word/media/image373.gif．

（3）设word/media/image43.gif数列的所有“word/media/image374.gif时刻”为word/media/image375.gif，对于第一个“word/media/image374.gif时刻” word/media/image376.gif，有word/media/image377.gif，word/media/image378.gif，

则word/media/image379.gif．对于第二个“word/media/image374.gif时刻” word/media/image380.gif，有word/media/image381.gif（word/media/image382.gif）．

则word/media/image383.gif．类似的word/media/image384.gif，…，word/media/image385.gif．

于是，word/media/image386.gif．对于word/media/image387.gif，若word/media/image388.gif，则word/media/image389.gif；

若word/media/image390.gif，则word/media/image391.gif，否则由⑵，知word/media/image392.gif中存在“word/media/image374.gif时刻”，与只有word/media/image393.gif个“word/media/image374.gif时刻”矛盾．

从而，word/media/image394.gif，证毕．

【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“word/media/image345.gif时刻”定义的把握，难度较大．

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