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2020年安徽中考数学试题及答案

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2020年安徽省中考数学试卷
一、选择题
1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．2
2．计算（﹣a）6÷a3的结果是（ ） A．﹣a3
B．﹣a2
C．a3
D．a2
3．下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B．

C． D．
4．安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（ ） A．5.47×108
B．0.547×108
C．547×105
D．5.47×107
5．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A．x2+1＝2x
B．x2+1＝0
C．x2﹣2x＝3
D．x2﹣2x＝0
6．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A．众数是11
B．平均数是12
C．方差是
D．中位数是13
7．已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ） A．（﹣1，2）
B．（1，﹣2）
C．（2，3）
D．（3，4）
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（ ）


A． B． C． D．4
9．已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（ ） A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB



D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）

A．

B．

C．


D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．计算：﹣1＝ ．
12．分解因式：ab2﹣a＝ ．
13．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为 ．

14．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究： （1）∠PAQ的大小为 °； （2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为 ．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．解不等式：＞1．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．
（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；
（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣， 第2个等式：×（1+）＝2﹣， 第3个等式：×（1+）＝2﹣， 第4个等式：×（1+）＝2﹣． 第5个等式：×（1+）＝2﹣． …
按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
18．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）


五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；

时间 2019年4月份 2020年4月份
销售总额（元）
a 1.1a
线上销售额（元）
x 1.43x
线下销售额（元）
a﹣x

（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
20．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E． （1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

六、（本题满分12分）
21．某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：


（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 °；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
七、（本题满分12分）
22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点． （1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由； （2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． 八、（本题满分14分）
23．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．





参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．2
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．
解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2． 故选：A．
2．计算（﹣a）6÷a3的结果是（ ） A．﹣a3
B．﹣a2
C．a3
D．a2
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 解：原式＝a6÷a3＝a3． 故选：C．
3．下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B．

C． D．
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 解：A、主视图是圆，故A不符合题意； B、主视图是三角形，故B符合题意； C、主视图是矩形，故C不符合题意； D、主视图是正方形，故D不符合题意； 故选：B．

4．安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（ ） A．5.47×108
B．0.547×108
C．547×105
D．5.47×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：54700000用科学记数法表示为：5.47×107． 故选：D．
5．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A．x2+1＝2x
B．x2+1＝0
C．x2﹣2x＝3
D．x2﹣2x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程． 解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根； B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根； D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根． 故选：A．
6．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A．众数是11
B．平均数是12
C．方差是
D．中位数是13
【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；
将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D符合题意；
＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意； S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为
，于是选项C不符合题意； 故选：D．
7．已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ） A．（﹣1，2）
B．（1，﹣2）
C．（2，3）
D．（3，4）
【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．
解：A、当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3＝3， 解得：k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意； B、当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3＝﹣2， 解得：k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B符合题意； C、当点A的坐标为（2，3）时，2k+3＝3， 解得：k＝0，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为（3，4）时，3k+3＝4， 解得：k＝＞0，
∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意． 故选：B．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（ ）

A． B． C． D．4
【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．

解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝， ∴AB＝∴∵∠DBC＝∠A． ∴cos∠DBC＝cos∠A＝∴故选：C．
9．已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（ ） A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC 【分析】根据垂径定理，平行四边形的性质判断即可． 解：A、如图，

，
，
，
，

若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题； B、若四边形OABC是平行四边形， 则AB＝OC，OA＝BC， ∵OA＝OB＝OC，
∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC， ∴∠ABO＝∠OBC＝60°， ∴∠ABC＝120°，是真命题； C、如图，


若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题； D、如图，

若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题； 故选：B．
10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）

A．

B．

C．


D．
【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案． 解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．

∵△ABC和△DEF均为等边三角形， ∴△GEJ为等边三角形． ∴GH＝EJ＝x， x2．
，且抛物线的开口向上．
∴y＝EJ•GH＝当x＝2时，y＝如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．

y＝FJ•GH＝故选：A．
（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．计算：﹣1＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案． 解：原式＝3﹣1＝2． 故答案为：2．
12．分解因式：ab2﹣a＝ a（b+1）（b﹣1） ．

【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可． 解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）， 故答案为：a（b+1）（b﹣1）
13．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例CD⊥x轴，CE⊥y轴．E．函数y＝的图象在第一象限内交于点C，垂足分别为点D，当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为 2 ．

【分析】分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．
解：一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，令y＝0，则x＝﹣k，
故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），
则△OAB的面积＝OA•OB＝k2，而矩形ODCE的面积为k， 则k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2， 故答案为2．
14．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究： （1）∠PAQ的大小为 30 °； （2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为
．


【分析】（1）由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝ 180°，∠AQP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，即可求解；（2）由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝2QR，AB＝PB，即可求解．
解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP， ∵∠QRA+∠QRP＝180°， ∴∠D+∠C＝180°， ∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°， ∵∠DQR+∠CQR＝180°， ∴∠DQA+∠CQP＝90°， ∴∠AQP＝90°， ∴∠B＝∠AQP＝90°， ∴∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°， 故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR， ∵四边形APCD是平行四边形， ∴AD＝PC， ∴AR＝PR， 又∵∠AQP＝90°，

∴QR＝AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°， ∴AP＝2PB，AB＝∴PB＝QR， ∴＝，
．
PB，
故答案为：三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解不等式：＞1．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：去分母，得：2x﹣1＞2， 移项，得：2x＞2+1， 合并，得：2x＞3， 系数化为1，得：x＞．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．
（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；
（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．

【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1，B2即可． （2）作出点A1的对应点A2即可． 解：（1）如图线段A1B1即为所求． （2）如图，线段B1A2即为所求．


四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣， 第2个等式：×（1+）＝2﹣， 第3个等式：×（1+）＝2﹣， 第4个等式：×（1+）＝2﹣． 第5个等式：×（1+）＝2﹣． …
按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：
×（1+）＝2﹣ ；
×（1+）＝2﹣ （用含n的等式表示），（2）写出你猜想的第n个等式： 并证明．
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 解：（1）第6个等式：（2）猜想的第n个等式：证明：∵左边＝∴等式成立．
×＝×（1+）＝2﹣；
×（1+）＝2﹣．
＝2﹣＝右边，

故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．
18．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）

【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可． 解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝∴tan42.0°＝∴AD≈0.9BD，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝∴tan36.9°＝≈0.75，
，
≈0.9，
，
∴CD≈0.75BD， ∵AC＝AD﹣CD， ∴15＝0.15BD， ∴BD＝100米，
∴CD＝0.75BD＝75（米）， 答：山高CD为75米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；

时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）

2019年4月份 2020年4月份
a 1.1a
x 1.43x
a﹣x 1.04（a﹣x）

（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a，x的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；
（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入出结论．
解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%， ∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元． 故答案为：1.04（a﹣x）．
（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x）， 解得：x＝，
中即可求∴＝＝＝0.2．
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．
20．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E． （1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△CBA与Rt△DAB中，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF， ∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线， ∴∠ABE＝90°， ∴∠E+∠BAE＝90°， 由（1）知∠D＝90°， ∴∠DAF+∠AFD＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠AFD＝∠E，
∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴AC平分∠DAB． 六、（本题满分12分）
21．某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
，

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 60 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 108 °；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的
概率．
【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数；再由四种套餐人数之和等于被调查的人数求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得答案．
解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人）， 则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人）， ∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°×故答案为：60、108；
（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×（3）画树状图为：
＝336（人）； ＝108°，

共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6， ∴甲被选到的概率为七、（本题满分12分）
22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点． （1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由； （2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；
＝．

（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b； （3）设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（，+q），根据题意得出+q＝+1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q＝（p﹣1）2+，从而得出q的最大值． 解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下： ∵直线y＝x+m经过点A（1，2）， ∴2＝1+m，解得m＝1， ∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3， ∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
﹣﹣1＝﹣（2）∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（，∵顶点仍在直线y＝x+1上， ∴∴q＝+q＝+1， ﹣﹣1，
+q）， ，
∵抛物线y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为q， ∴q＝﹣﹣1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为． 八、（本题满分14分）
23．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．

（1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．

【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论得出；
（2）证明△AEF∽△DCF，得出，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；
（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ∴∠EAF＝∠DAB＝90°， 又∵AE＝AD，AF＝AB， ∴△AEF≌△ADB（SAS）， ∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°， 即∠EGB＝90°， 故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF， ∴△AEF∽△DCF， ∴，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，

解得∴AE＝或．
（舍去），
（3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，

在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG， ∴△AEP≌△ADG（SAS）， ∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°， ∴△PAG为等腰直角三角形， ∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝

AG．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a6c4d8bf8c9951e79b89680203d8ce2f016665d0.html

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