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高中数学之常用逻辑用语

发布时间：2020-05-05   来源：文档文库   
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常用逻辑用语（讲义）
知识点睛
一、 命题及其关系、充分条件与必要条件 1. 命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以___________的陈述句叫做命题． 其中________的语句叫做真命题，______的语句叫做假命题． 2. 命题及其关系
（1）四种命题
原命题：若p，则q （命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论） 逆命题：_________________； 否命题：_________________； 逆否命题：_______________． （2）四种命题间的关系
互否 原命题互为互 为逆否逆
否互逆互否互逆
（3）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性______． 3. 充分条件与必要条件
（1）相关概念
若pq，则p是q的_______条件，q是p的_______条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件

（2）集合与充要条件
p成立的对象构成的集合为A， q成立的对象构成的集合为B
1
pq且q/p p/q且qp
pq p/q且q/p


p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充分必要条件 p是q的既不充分也不必要条件
A是B的__________ B是A的__________
__________ A，B互不__________

二、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1. 命题中的“______(”“______(”“______(”叫做逻辑联结词． 2. 简单复合命题的真假关系
p 真 真 假 假
q 真 假 真 假
pq

pq

p


3. 全称量词与存在量词
（1）全称量词：所有、一切、任意、全部、每一个等． 符号：
存在量词：存在一个、至少一个、有些、某些等． 符号：
（2）全称命题与特称命题
p 结构 简记 否定
全称命题
特称命题
对M中任意一个x， 存在M中的元素x0，有p(x成立
使p(x0成立
xM， p(x x0M， p(x0
x0M， p(x0
xM， p(x
精讲精练
1．把下列命题改写为“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假． （1）两条异面直线没有公共点； （2）四边相等的四边形是正方形．

2




2．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（ ）
A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0 B．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0 C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0
D．若x2+y2=0，则x，y都不为0

π3．命题“若，则tan1”的逆否命题是（ ）
4ππA．若，则tan1 B．若，则tan1
44ππC．若tan1，则 D．若tan1，则
44

3



4．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题 B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 C．命题“若x=1，则x2+x-2=0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

5．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“AB”的（ ）
A．充分不必要条件


B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．设R，则“0”是“f(xcos(x+(xR为偶函数”
的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件





B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7．在p，pq，pq形式的命题中，pq为真，pq为假，p为真，那么p，q的真假为（ ） A．p真q真 C．p假q真









B．p真q假 D．p假q假
8．已知命题p：“x>2是x2>4的充要条件”，命题q：“若4
ab， c2c2

则ab”，则（ ） A．“p或q”为真 C．p真q假







B．“p且q”为真 D．p，q均为假

9．下列命题中是假命题是（ ）
A．xR ， 2x10 C．xR ， lg x1

3Q”的否定是（ ） 10．命题“x0ðRQ，x03Q A．x0ðRQ，x0



(x120 B．xN*
，D．xR ， tan x2


3Q B．x0ðRQ，x0C．xðRQ，x3Q D．xðRQ，x3Q



[f(x2f(x1](x2x1≥0， 11．已知命题p：x1，x2R，则p是（ ）
[f(x2f(x1](x2x1≤0 A．x1，x2R，[f(x2f(x1](x2x1≤0 B．x1，x2R，[f(x2f(x1](x2x10 C．x1，x2R
，[f(x2f(x1](x2x10D．x1，x2R
，


sin x12．已知命题p：xR
，5；
2
命题q：xR，都有x2+x+1>0．
5


给出下列结论：①命题pq是真命题；②命题pq是假命题；③命题pq是真命题；④命题pq是假命题， 其中正确的是（ ） A．②④

13．给出下列三个结论：
（1）若命题p为真命题，命题q为真命题，则命题pq为真命题； （2）命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”；

B．②③

C．③④

D．①②③
2x≤0”（3）命题“x0R，2x00”的否定为“xR ，， 则结论正确的个数为（ ） A．3



B．2


C．1


D．0
14．设命题p：(4x32≤1；命题q：x2(2a1xa(a1≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

6




回顾与思考
________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 【参考答案】 精讲精练
一、1．判断真假 （2）否命题 （3）相同 3．（1）充分



判断为真

判断为假
若q，则p
2．（1）若q，则p

若p，则q

逆否命题

必要不充分 A=B



既不充分也不必要
包含
逆命题 没有关系 必要



充分不必要 （2）真子集

充分必要（充要）

真子集





二、1．且 或 非
2．真 真 假 假 真 真

假 真 假 假 假 真




4．B 8．A 12．B

精讲精练
1．略 5．A 9．B



2．B 6．A
3．C 7．B


10．D


11．C

7

13．C


114．0≤a≤
2常用逻辑用语（随堂测试）
1. 下面四个命题：
①命题“若xy=1，则xy互为倒数”的逆命题； ②命题“相似三角形的周长相等”的否命题；
③命题“若a≤1，则关于x的方程x2-2ax+a2-a=0有实根”的逆否命题； ④命题“若A∪B=B，则AB”的逆否命题． 其中真命题的个数是（ ） A．1



B．2


C．3


D．4
2. 已知命题p：x≤1，命题q：A．充分不必要条件
11，则p是q的（ ） x B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


3. 已知命题p，q，若pq为真命题，则必有（ ） A．p真q真 C．p真q假









B．p假q假 D．p假q真
2xx2，以下说法错误的是（ ） 4. 设命题p(x：p(x”是假命题 A．“xR，B．p(5是真命题
p(x0”是假命题 C．“x0R，p(x0”是真命题 D．“x0R，


8



【参考答案】
1．A


2．A

3．B

4．C
常用逻辑用语(作业
例1： 对于函数yf(x，x∈R，“y = | f (x |的图象关于y轴对称”是“yf(x是奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【思路分析】
必要性：若yf(x是奇函数，则f(xf(x， ∴|f(x||f(x||f(x|， ∴y|f(x|的图象关于y轴对称， 故必要性成立；
充分性：如yf(xx2，y|f(x|的图象关于y轴对称，但不是奇函数， 故选B．

例2： 下列命题中，真命题是（ ）
A．x0R，ex0≤0 B．xR，2xx2 C．“a+b=0”的充要条件是“a1”
b



B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件


D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件 【思路分析】
∵xR，e0，故A错；
xyx0R，∵画出函数y2x与yx2的图象，如图，由图象可知，22x0≤x0，故B错；
∵当a=b=0时，a+b=0，但b=0不能作分母，故C错； ∵当a>1，b>1时，由不等式可乘性知ab>1， 但不能由“ab>1”推出“a>1，b>1”，例a4 ， b故D正确． 故选D．

9
1，
2Ox


例3： 已知命题p1：直线x+y+1=0与圆x2y2p2：函数y2x2x在R上为减函数，
则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1p2， q4：p1(p2中，属真命题的是（ ） A．q1，q3 【思路分析】
先判断命题p1，p2的真假性，再根据含有逻辑联接词的命题的真假判断准则分别判断q1，q2，q3，q4 ． 命题p1：圆x2y221的圆心为(0，0，半径为r，
221相切，
2B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4
圆心(0，0到直线x+y+1=0的距离d即dr，故p1是真命题；
12， 22命题p2：函数y2x2x为增函数减去减函数，故函数y2x2x在R上为增函数，p2是假命题．
∴p1p2为真，p1p2为假，(p1p2为假，p1(p2为真， ∴属真命题的是q1，q4，
故选C．


15．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2b2c2≥3”的否命题是（ ）
10


A．若a+b+c≠3，则a2b2c23 B．若a+b+c=3，则a2b2c23 C．若a+b+c≠3，则a2b2c2≥3 D．若a2b2c2≥3，则a+b+c=3


16．命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1或x≤1 B．若1x1，则x21 C．若x1或x1，则x21 D．若x≥1或x≤1，则x2≥1


17．“π”是“曲线ysin(2x+过坐标原点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件



D．既不充分也不必要条件


18．已知两个平面α，β，直线a，则“α∥β”是“直线a∥β”的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件



D．既不充分也不必要条件


19．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件



D．既不充分也不必要条件


11
） ）






20．给定两个命题p，q，若p是q的必要不充分条件，则p是q是的（ ）
A．充分而不必要条件 C．充要条件





B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件


21．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件，其中真命题的个数是（ ） A．1


B．2


C．3


D．4


22．如果命题pq是假命题，p是真命题，那么（ ）
A．命题p是真命题 B．命题q是真命题
C．命题q可以是真命题也可以是假命题

D．命题q是假命题

23．已知命题p，q，则“pq为真”是“pq为真”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充要条件

24．命题p：函数f(x=ax2(a0且a1的图象恒过点(0，-2；命题q：函数





B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
f(xlg|x|(x0有两个零点，则下列说法正确的是（ ） A．pq是真命题


B．pq是真命题
12

C．p是假命题 D．q是真命题


25．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：
xA，2xB，则p是（ ） A．xA，2xB B．xA，2xB C．x0A，2x0B

D．x0A，2x0B

26．若命题p：x0[3，3] ，x20+2x0+1≤0，则p是（ A．x[3，3] ，x2+2x+10 B．x(，3U(3，+，x2+2x+10 C．x0(，3U(3，+，x20+2x0+1≤0 D．x0[3，3] ，x20+2x0+10


27．下列命题中的假命题是（ ）
A．xR，x30
B．“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件 C．xR，2x0
D．“x<2”是“|x|<2”的充分不必要条件

28．设命题p：xR，x2+xa；
命题q：x20R，x0+2ax02a0，
13
）

如果命题p真且命题q假，求a的取值范围．

【参考答案】
1．A 2．D

3．A 4．A 5．B
6．A

7．B

8．C

9．A

10．A 11．D

12．A

13．D
14．2a1 4
【过程示范：】∵命题p为真命题，
∴方程x2+xa0无解，即14a0，得a14∵命题q为假命题，
∴方程x2+2ax2a0无解，
即4a24(2a0，得2a1 ②；
14

①；





1结合①②，得a的取值范围为2a．
4


15

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a6eb097d65ec102de2bd960590c69ec3d5bbdbae.html

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