概率论 第一章 随机事件与概率

第一章 随机事件及其概率

自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：

一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。这类现象称为确定性现象。

另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。这类现象称为随机现象。

随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。 随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

§1 随机事件

一、随机试验与样本空间

我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。

举例如下：

E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；

E2：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H、反面T出现的情况；

E3：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H出现的次数；

E4：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；

E5：记录某超市一天内进入的顾客人数；

E6：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。

随机试验具有以下三个特点：

（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；

（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；

（3）试验可以在相同的条件下重复进行。

随机试验E的所有可能结果的集合称为E的样本空间，记作。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，一般用表示，可记。

上面试验对应的样本空间：

；

；

；

；

；

。

注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。

二、随机事件

试验E样本空间的子集称为E的随机事件，简称事件，通常用大写字母A，B，C,…表示。设是一个事件，当且仅当试验中出现的样本点时，称事件在该次试验中发生。

由一个样本点组成的单点集称为基本事件。

样本空间称为E的必然事件，每次试验中它都发生。空集称为E的不可能事件，每次试验中它都不发生。

例如，E4中“出现偶数点”、“出现奇数点”都是随机事件，“出现点数不超过6”是必然事件，“出现点数超过7”是不可能事件。

【例】一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从中任意取出一球，试写出样本空间及下列事件是由哪些基本事件组成的。

（1）事件：“摸出的是白球”；

（2）事件：“摸出的是黑球”。

解 先对球编号，令1、2、3号球为白球，4、5号球为黑球，并设“取得第号球”其中()。则样本空间, 和

（1）事件；

（2）事件。

三、事件的关系与运算

事件间的关系和运算按照集合间的关系和运算来处理。

1．事件的包含与相等

在试验中，若事件发生必然导致事件B发生， 则称事件B包含事件A或称事件包

含于事件，记为或。此时，事件中的基本事件必属于事件，即是的一个子集。

例如，中，若记表示“出现奇数点”，表示“出现点数不超过5”，显然，即事件包含事件。

事件的包含关系有以下性质：

（1）；

（2）若，，则；

（3）。

若，且，则称事件A和事件B相等，记为。此时，与拥有完全相同的基本事件。

2．事件的并（和运算）

在试验中，事件与事件至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的并（或和事件），记为。 此时，就是由属于事件或属于事件的全部基本事件组成的集合。

例如，中，若记表示 “出现奇数点”，表示“出现点数不超过4”，则表示“出现点数不超过5”。

易知，若，则。

类似地，称“个事件中至少有一个发生”的事件为个事件，，…，的并，记为

。

3．事件的交（积运算）

在试验中，事件与事件同时发生的事件，称为事件A与事件B的交（或积事件），记为(或)。此时，就是由既属于事件又属于事件的全部基本事件组成的集合。

例如，中，若记表示 “出现奇数点”，表示“出现点数不超过2”， 则表示“出现点数为1”。

易知，若，则。

类似地，称“个事件同时发生”的事件为个事件，，…，的交，记作

或

4．事件的差（差运算）

在试验中，事件发生而事件不发生的事件称为事件A与事件B的差（或差事件），记为。此时，就是由属于事件A而不属于事件的全部基本事件组成的集合。

例如，中，若记表示 “出现奇数点”，表示“出现点数不超过4”，则表示“出现点数为5”。

5．互不相容事件

在试验中，若事件A与事件不能同时发生，则称事件A与事件是互不相容的 (或互斥的)，记为 (或)。此时，事件A与事件不相交，或它们的交是空集，即事件A与事件没有公共的基本事件。

例如，中，若记表示 “出现奇数点”，表示“出现小于5的偶数点”，则，即是互不相容事件，不可能同时“出现奇数点”和“出现偶数点”。

在一次试验中，任意两个基本事件都不能同时发生，所以基本事件是互不相容的。

对于n个事件，如果其中任取两个，均有，则称此个事件是两两互不相容的。

6．对立事件（逆事件）

在试验中，若事件A与事件必有一个发生且仅有一个发生，即事件A和事件满足条件：

且

则称事件A和事件是对立事件（或互逆事件），记为，。因此，事件A的逆事件就是由属于而不属于的全部基本事件组成的集合，即是A的补集。

例如，中，若记表示“出现奇数点”，则表示“出现偶数点”。

易知有以下性质：

（1）

（2）

（3）

注意：互逆事件与互不相容事件是两种不同的关系。在一次试验中，两个互不相容事件仅仅是不能同时发生，并不能排除它们同时都不发生；而两个互逆的事件不仅不能同时发生，而且同时不发生也是不可能的。所以有结论：互逆事件一定是互不相容的，但互不相容事件却不一定是互逆的。

常见的事件的关系与运算的规则归纳如下：

1．有关包含

，， ，

2．有关并

， ， ，，

，

3．有关交

， ， ，，

，

4．分配律

， ，

，

5．德·摩根律

，

6．有关逆与差

，，，

，，

，

【例1】 一名射手连续向某个目标射击三次，令“第1次击中目标”，“第2次击中目标”，“第3次击中目标”，试用表示以下各事件：

（1）3次都击中目标；（2）3次均未击中目标；（3）第2次击中目标，而第1、3次都没击中；（4）第2次击中目标而第3次没击中；（5）恰好有1次击中目标；（6）至少有1次击中目标（其逆事件为3次均未击中目标）；（7）至多有1次击中目标。

解 （1）； （2）； （3）；

（4）； （5）；

（6） 或 ；

（7）。

【例2】 吴书p.6.例2。

某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，试用事件

{第号管道正常工作}

表示事件“城市能正常供水”和“城市断水”。

【例3】 已知随机事件A与B是互逆事件，求证：与也是互逆事件。

证明：由于A与B是互逆事件，有

，

于是

且有

所以与也是互逆事件。

【例4】 对随机事件A、B，求证：。

证明：

§2 事件的概率与等可能概型（古典概型）

一、频率与概率

定义1 若事件在次相同条件下的重复试验中发生了次，则称

为事件在这次试验中出现的频率，并称为事件在这次试验中出现的频数。

由定义易知，频率具有以下性质：

1．非负性

2．规范性

3．有限可加性 若个事件两两互不相容，则有

随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验或观察中，其发生却具有规律性。

例如，历史上，多人做过抛掷硬币的试验，其结果如下表所示

从表中可以看出，当抛掷次数足够多时，正面向上的频率在0.5附近摆动，这种现象称为随机事件的频率稳定性，这是概率这一概念的经验基础。

定义2 在相同条件下做大量重复随机试验，事件A出现的频率总在某一常数附近摆动，且试验次数越多，摆动幅度越小，则称常数为事件A的概率，记作。

该定义通常称为概率的统计定义。概率的统计定义虽无法确定概率的准确值，但可取当试验次数充分大时，事件出现的频率作为它的近似值，这一点在实践中有着重要意义。

概率表示随机事件发生的可能性大小，它是事件本身客观存在的一种固有属性。由频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出概率的公理化定义。

定义 设E是随机试验，是它的样本空间，对于E的每一个事件赋予一个实数，记为，如果集合函数满足下列条件，则称为事件的概率：

1．非负性 对每一个事件，有

2．规范性 对必然事件，有

3．可列可加性 设事件是两两互不相容的事件，则有

或

二、概率的性质

性质1

性质2 (有限可加性) 若事件两两互不相容，则有

性质3 若事件满足，则有

，

性质4 对任一事件，

性质5 （逆事件概率） 对任一事件，有

性质6 （加法公式）对任意两个事件，有

推广到对任意三个事件，则有

【例1】 随机调查某班的一次考试成绩，数学及格的学生占72%，语文及格的学生占69%，两门都及格的学生占50%，问至少一门及格的学生的概率？

解 设A表示“数学及格的学生”，B表示“语文及格的学生”，则“两门都及格的学生”可用表示，“至少有一门及格的学生”可用表示。

已知72%，69%，50%，于是由加法公式得

91%

【例2】 已知事件A和B满足，且，求。

解 因为，于是有

化简得

所以 。

【例3】（减法公式）对任意两个事件，有

证明：因为，且，所以有

【例4】设事件，当时，求。

解

三、等可能概型（古典概型）

先看两个例子。

【例1】 在抛掷硬币试验中，试验只有2个结果：“出现正面”和“出现反面”。由于硬币是均质的，这两个结果发生的可能性相同，即它们的概率都是1/2。

【例2】 在投掷骰子试验中，试验的结果有6个：“出现的点数为”()。由于骰子是均质的，每一个结果发生的可能性相同，即它们的概率都是1/6。

以上两个例子具有如下共同点：

（1）有限性 试验可能发生的结果是有限的，即样本空间中只含有限个基本事件；

（2）等可能性 试验中每个基本事件发生的可能性是相同的。

具有上述特点的随机试验称为等可能概型（古典概型）。

定义 在古典概型中，设样本空间的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为，则事件A的概率为

事件A包含的基本事件数样本空间中基本事件的总数。

该定义通常称为概率的古典定义。

【例3】 吴书p.11.例3。

将一枚硬币抛两次，

（1）设事件为“恰好有一次出现正面”，求；

（2）设事件为“至少有一次出现正面”，求。

【例4】 盛书p.10.例2，放回抽样；吴书p.12.例4，不放回抽样。

设口袋装有6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中取球2次，每次取一个。试分别就放回抽样和不放回抽样两种情况求

（1）取到的2个球都是白球的概率；

（2）取到的2个球颜色相同的概率；

（3）取到的2个球中至少有一个是白球的概率。

【例5】 盛书p.12.例4

设有件产品，其中有件次品，今从中任取件，问其中恰有件次品的概率是多少？（超几何分布）

【例5`】 一个袋里有5个白球，4个黑球，从袋中任取3个球，（1）求3个球都是黑球的概率；（2）求至少有1个黑球的概率；（3）求至少有2个黑球的概率。

解 从全部9个球中任取3个球，共有种取法。

(1) 设A表示“取出3个球都是黑球”。从4个黑球中任取3个黑球有种取法。

所以 。

（2）设B表示“取出3个球至少有1个黑球”，则表示“取出3个球都是白球”。由于

所以 。

(3) 设C表示“取出3个球至少有2个黑球”，D表示“取出3个球恰有2个黑球”，E表示“取出3个球恰有3个黑球”，则，且D、E互不相容。于是

。

【例6】 吴书p.13.例5（盛书p.11.例3）。

将个球放入个盒子中去，设盒子容量不限，试求

（1）每个盒子至少有一个球的概率；

（2）个盒子中各有一个球的概率。

【例7】 吴书p.14.例6（盛书p.12.例5）。

袋中有个白球，个红球，个人依次在袋中任取一个球，（1）作放回抽样；（2）作不放回抽样，求第人取到白球（记为事件）的概率。（抽签原理）

【例8】 盛书p.13.例6。

在1~2000的整数中随机地取一个数，求取到的整数即不能被6整除，又不能被8整除的概率。

【例9】 盛书p.13.例7。

将15名新生随机地平均分配到3个班级中去，这15名新生中有3名优秀生。求

（1）每个班级各分配到1名优秀生的概率；

（2）3名优秀生分配在同一班级的概率。

【例10】吴书p.15.例7。

（女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是否可信？（实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发生）

【例10`】 从数字中任取两个不同的数字，计算它们组成的两位数大于30的概率。

解 设事件A表示“取到的两位数大于30”，先从中任取一个数作为十位数，有种取法，再从余下的四个数中任取一个数作为个位数，有种取法，故事件A包含的基本事件数为

。

而从中任取一个数作为十位数，有种取法，再从余下的四个数中任取一个数作为个位数有种取法，故样本空间包含的基本事件总数为

。

所以 。

§3 条件概率

一、条件概率

在事件发生的条件下，事件发生的概率称为条件概率，记作。

【例1】 吴书p.19.例1。

一个家庭有2个小孩，已知其中至少一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少（假定生男生女是等可能的）？

一般情况下，原因是计算概率时，样本空间由变成了。

定义 设是两个事件，且，则称

为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率。

类似地，有当时，有

可以验证条件概率满足概率定义中的三个条件，所以条件概率也是概率，具有概率的一切性质。

【例2】 吴书p.20.例2。

袋中有10个球，其中3个黑球、7个白球，依次从袋中不放回取2球，

（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；

（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。

【例3】 已知灯泡使用到1000小时的概率为0.75，使用到1500小时的概率为0.25。一只灯泡已经使用了1000小时，求这只灯泡使用到1500小时的概率。

解 设A表示事件“灯泡使用到1000小时”，B表示事件“灯泡使用到1500小时”。

显然，，所以。所求的概率为，由条件概率的定义

。

【例4】设是事件，，求。

解

其中

所以 。

二、乘法公式

由条件概率的公式，立即可得

定理（乘法公式）对任意事件、，有

()

()

如果先发生，则使用第一式；如果先发生，则使用第二式

可以推广到有限多个事件的情形：个事件的乘法公式为

特别地，当时，有

()

【例5】 吴书p.22.例4。

袋中有个白球，个红球，现从中依次不放回地取出2个球，求两次都取到白球的概率。

【例6】 袋中共有100个球，已知有10个黑球，90个红球，现从中依次取出2个球，求（1）不放回取出时，第2次才取到红球的概率；（2）取出第一个球放回后，再取出第二个球，第2次才取到红球的概率。

解 设表示事件“第i次取到红球”（），则表示事件“第i次取到黑球”。

（1）所求的概率为，由乘法公式

。

（2）此时所求的概率仍记为，由乘法公式

。

【例7】 吴书p.22.例5。

已知某厂的一批产品共100件，其中有5件废品。某采购员对产品进行不放回抽样检查，如果被抽查的5件产品中至少有一件是废品，则拒绝购买这批产品。求采购员拒绝购买这批产品的概率。

三、全概率公式

定理1（全概率公式）设试验的样本空间为，为的事件，是的一个划分（即两两互不相容，且），而 ，则

定理2（贝叶斯公式）设试验的样本空间为，为的事件，是的一个划分，且 ，则

，

【例1】 吴书p.23.例6（盛书p.18.例5）。

某厂的两个车间生产同型号产品。据以往记录，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12。两个车间生产的成品混放在一个仓库里且无区分标志，假定第一、二车间生产的成品比例为。

（1）在仓库中随机取1件成品，求它是次品的概率；

（2）在仓库中随机取1件成品，若已知取到的是次品，求该次品分别由第一、二车间生产的概率。

如果存在与有关的的一个划分，且每个都先于发生，将由所有可能“原因” 的概率求“结果” 的概率的问题称为全概率问题，可用全概率公式解决；将由“结果” 的概率推断各种可能“原因” 的概率的问题称为逆概率问题，可用贝叶斯公式解决，已知的称为先验概率，求出的称为后验概率。

【例2】 吴书p.25.例7。

假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存款利率的变化。经分析，该时期内利率不会上调，利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验，利率下调时某支股票上涨的概率为80%，利率不变时，这支股票上涨的概率为40%，求这支股票上涨的概率。

【例3】 吴书p.25.例8（盛书p.20.例8）。

根据记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被检查者患有癌症“，则有。现对自然人群进行普查，设被检查者患有癌症的概率为0.005，即，试求。

【例4】 吴书p.26.例9。

玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，和0.1。某顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时随机查看4个，若无次品则买下这箱玻璃杯，否则退回。试求

（1）顾客买下这箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的这箱玻璃杯中，确实没有次品的概率。

§4 独立性

定义 若事件的发生不影响事件的概率，即

则称事件对是独立的，否则称为不独立的。

根据乘法公式，，如果事件对是独立的，则，代入乘法公式得，即事件对也是独立的。所以，事件、之间的独立性是对称的，即是相互独立的。

定理1 事件A与事件B相互独立的充要条件是

推广到有限个事件的情形：如果n个事件相互独立，则

。

理论上定理1可用于事件独立性的判断。但在具体应用中，往往先根据事件的实际意义判断、的独立性，然后利用定理1求出。

定理2 如果事件A与B相互独立，则事件与、与、与也相互独立。

定理3 如果事件A与B相互独立，则

推广到有限个事件的情形：如果n个事件相互独立，则

。

【例1】 从甲、乙两个箱子中随机抽取奖券，中奖率分别为0.6和0.5，现在两个箱子中各随机抽取一张，求两张都中奖的概率。

解 设A表示 “甲箱中抽出一张中奖”，B表示“乙箱中抽出一张中奖”，则

，。显然A与B是相互独立的，

因而 。

【例2】 吴书p.29.例2。

甲乙二人独立地对目标各射击1次，甲射中目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，求目标被射中的概率。

【例3】 一条线路中有3个电阻，每个电阻断电的概率都是，分别计算

（1） 3个电阻并联时，整条线路断电的概率；

（2） 3个电阻串联时，整条线路断电的概率。

解 设表示“第i个电阻断电”，A表示“并联时整条线路断电”, B表示“串联时整条线路断电”。

（1）并联时，只有3个电阻全断电线路才会断电,即。因而有

。

（2）串联时, 只要有一个电阻断电整条线路就会断电,即。因而有

。

【例4】 吴书p.31.例4。

有电路如图，其中1，2，3，4为继电器接点，设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为，求至为通路的概率。

【例5】 吴书p.31.例3。

（保险赔付）设有个人向保险公司购买人身意外保险（保险期为1年），假定投保人在1年内发生意外的概率为0.01。

（1）求保险公司赔付的概率；

（2）当为多大时，使得以上赔付的概率超过。

注意：事件相互独立与事件互不相容是不同范畴中的两个概念，一般来说它们是没有关系的。但当相互独立，且时，必相容。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a8c9c6757dd5360cba1aa8114431b90d6c85893c.html