福建省2016年“大梦杯”初中数学竞赛试题（含答案）

2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．在平面直角坐标系中，已知点，点在轴正半轴上且。将沿直线折叠得，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

【答案】 B

【解答】如图，设轴于点。

依题意，，。

所以，，，。

因此，点的坐标为。

2．若实数，满足，，且，则（ ）

A．18 B．12 C．9 D．6

【答案】 A

【解答】依题意，，为方程的两个不同实根。

因此，由韦达定理得，，。

。

或解：。

3．若关于的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数的值的总和为（ ）

A． B． C． D．

【答案】 D

【解答】方程化为 ……………… ①

若方程①有两个相等实根，则，。

时，方程①的根，符合要求。

若是方程①的根，则，，此时，方程①的另一个根为，符合要求。

若是方程①的根，则，，此时，方程①的另一个根为，符合要求。

所以，符合条件的有，，，其总和为。

4．如图，在中，，，，为的内心，连接并延长交于点。记的面积为，的面积为，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】 C

【解答】依题意，。

由为的内心知，。

所以，由等比定理知，。

5．已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】 C

【解答】由，得，。

∵ ，当且仅当，即，，或，时等号成立。

∴ 的最小值为，的最小值为，即。

∵ ，当且仅当，即，或，时等号成立。

∴ 的最大值为，的最大值为，即。

∴ 。

或解：由，得，。

设，若，则；时，，将代入，

得，即， ……………… ①

由，解得。

将代入方程①，解得，；代入方程①，解得，。

∴ 的最大值为，最小值为。

因此，，，。

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．在平面直角坐标系内有两点，，若一次函数的图像与线段有公共点，则的取值范围为 。

【答案】

【解答】易得直线对应的一次函数的解析式为。

由，得 ……………… ①

依题意，方程①有的解。

∴ ，且，解得。故的取值范围为。

或通过作图求解。

7．如图，在中，为边上一点，为线段上一点，延长交于点。若，，则 。

【答案】

【解答】如图，过点作交的延长线于点，则。

又由，知。

∴ 。

∴ 。

∴ 。

8．设，，，…，是个互不相同的正整数，且，则的最大值是 。

【答案】 63

【解答】依题意，，，，…，。

∴ 。

于是，，。

又当，，，…，，时，

。

∴ 所求的最大值为63。

9．如图，是的直径，是的切线，交于点，若，则 。

【答案】

【解答】由为的直径知，。设，则，。

由条件易得，

∴ ，，即。

结合，得。

（或由射影定理得，即）

∴ ，解得或（舍去）。

∴ ，。

10．若正整数，，满足方程组，则的最大值为 。

【答案】 84

【解答】由，得

。

结合，，为正整数得，，于是。

∴ ，，。

∴ 当，，或，，时，有最大值84。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）

11．若关于的方程有两个不相等的整数根，求的值。

【解答】设，是方程两个不相等的整数根，则，。

∴ ，均为整数。因此，为整数。 …………………… 5分

∴ 为完全平方数。

设（为整数，且）。

则。于是，。 …………………… 10分

由于，奇偶性相同，且。

∴ 或。

解得或。 …………………………… 15分

经检验，符合要求。

∴ 或。 ………………………… 20分

另解：设，（）是方程两个不相等的整数根。

则。

两式相减，得。

由，得，。 …………………… 5分

将代入①，得。

∴ 。 …………………… 10分

由于，为整数，且，因此，或。

∴ 或。 …………………………… 15分

当时，；时，。

∴ 或。 ………………………… 20分

12．如图，为的垂心，圆为的外接圆。点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点，为线段的垂直平分线与圆的交点。

求证：（1）垂直平分线段；

（2）。

【解答】（1）解法一：

如图，连结，，。

由为的垂心知，。

由、、、四点共圆，得。

∴ 。 …………… 5分

又，，

∴ ，。

∴ 垂直平分线段。…………………… 10分

解法二：

作点关于直线的对称点。连结，，。则，点在以为圆心、长为半径的圆上。 …………………… 5分

又，为的垂心，

∴ ，、、、四点共圆。因此，点也在圆上。

∴ 、两点重合。

因此，、关于直线对称，即垂直平分线段。…………… 10分

（2） 连结，。依题意有。结合为线段的垂直平分线与圆的交点，知为圆的直径。

∴ 。

又由（1），以及为的垂心知，，。因此，、、三点共线。

∴ 。 …………………… 15分

∴ 。

∴ 。

∴ 。 …………………… 20分

或：通过，证明。或通过证明四边形等腰梯形，证明。

13．对于整数，用表示所有小于的素数的乘积。求满足条件的所有正整数。

【解答】解法一：若，则整除，但不能整除。

因此，不符合要求。故，。 ……………………………… 10分

若，则，由，得。………… 15分

若，则，由，得正整数不存在。

若，则，由，得正整数不存在。

若，则，由，得正整数不存在。

∴ 满足条件的正整数只有1个，。 ………………… 20分

解法二：由，得。

由于是偶数，但不是4的倍数，因此，是奇数。 ……………… 5分

若，则含有奇数的素数因子，即为奇素数，且整除。

由知，整除。由此整除1024，矛盾。

故，，即，且为奇数。 …………………… 10分

∵ 时，，

∴ 。

又，。

∴ 。即，5，7，9，11。 ………………… 15分

将，5，7，9，11分别代入验证，

时，，，不符合要求。

时，，，不符合要求。

时，，，不符合要求。

时，，，不符合要求。

时，，，符合要求。

∴ 满足条件的正整数只有1个，。 ………………… 20分

14．在一个（行，列，）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：

（1）每一列所填的数都是1，2，3，…，的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，这个数出现且仅出现1次）

（2）每一行个的数和都是34。

当上述的填数方式存在时，求的所有可能取值。

【解答】依题意，每列个数的和为，共列。又每行个数的和为34。

所以，，。 …………………… 5分

又。所以，，，，。

当时，每一行1个数的和互不相同，与（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。舍去。

记为第行，第列所填写的数。

当时，令，。

即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，33；第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，…，1时，符合要求。 ……………………… 10分

当时，令，，，。

即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，16；第2列自上而下各行所填的数依次为16，15，14，…，1；第3列同第1列；第4列同第2列时，符合要求。

……………………… 15分

当时， 填写方式如下：

符合要求。

所以，符合题意的填数方式存在时，的所有可能取值有3种，分别为：，，。 ……………………………… 20分

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