广西南宁市直属学校四大学区2020年中考第一次模拟联考数学试题（含答案）

2020年南宁市直属学校四大学区中考第一次模拟联考

数 学

（考试时间：120分钟 满分：120分）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）

1．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是

A． B． C． D．

2．在数轴上表示不等式组 －2 ≤ x＜4，正确的是

A． B． C． D．

3. 2019年10月1日在北京举行的国庆70周年阅兵活动中，15000名将士接受了党和人民的检阅，将数据15000用科学记数法表示为

A．150×102 B．15×103 C．1.5×104 D．0.15×105

4. 下列说法正确的是

A. 要调查现在人们在数字化时代的生活方式，宜采用全面调查方式；

B. 要调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命，宜采用抽样调查方式；

C. 一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是5；

D. 若甲组数据的方差word/media/image10_1.png= 0.128，乙组数据的方差word/media/image11_1.png= 0.036，则甲组数据更稳定.

5．下列计算正确的是

A．（x－y）2＝x2－y2 B．2x2+x2＝3x2 C．（－2x2）3＝8x6 D．x3÷x＝x3

6．如图，四边形ABCD是平行四边形，用直尺和圆规作∠BAD的

平分线AG交BC于点E，若AB＝5，BF＝6，则AE的长为

A．8 B．10

C．11 D．12

7. 从一个装有2个红球、3个白球的盒子里（球除颜色外其他

都相同），先摸出一个球，不再放回，再摸出一个球，恰好

摸到一个红球、一个白球的概率是

word/media/image13.gifA.word/media/image14_1.png B.word/media/image15_1.png C.word/media/image16_1.png D.word/media/image17_1.png

8. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的

瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边分

别是2和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内（非阴

影区域）的概率为

A．word/media/image18_1.png B．word/media/image19_1.png C．word/media/image20_1.png D．word/media/image21_1.png

9．某地区2月初感染新冠病毒确诊人数6千人，通过社会各界的努力，4月初确诊人数减少至1千人．设2月初至4月初该地区确诊人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为

A．6（1－2x）=1 B．6（1+2x）=1 C．6（1－x）2 =1 D．6（1+x）2 =1

10. 某同学想测量一栋教学楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，

已知BC的长为16米，它的坡度i＝1:word/media/image23_1.png，在离C点45米的D处，

测得教学楼顶端A的仰角为37°，则教学楼AB的高度约为

（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，

tan37°≈0.75，word/media/image24_1.png≈1.73）

A．25.9米 B．36.1米 C．39.8 米 D．44.1米

11. 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，反比例函数y＝word/media/image26_1.png（k≠0）

的图象过D点和边BC的中点E，连接DE，若△CDE的面积是1，

则k的值是

A．4 B．3 C．2word/media/image27_1.png D．2

12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，点P是AB边上的

一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的

最小值是3，则△ABC的面积为

A．18 B．27 C．36 D．54

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题卡对应题号后的

横线上）

13．如果二次根式word/media/image30_1.png有意义，则x　▲ 　．

14．分解因式：4x3－16x＝　▲ 　．

15．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．

若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为　 ▲ 　．

16．若s2＝word/media/image31_1.png[（3.2－word/media/image32_1.png）2+（5.7－word/media/image32_1.png）2+（4.3－word/media/image32_1.png）2+（6.8－word/media/image32_1.png）2 ] 是小华同学在求一组数据

的方差时写出的计算过程，则其中的word/media/image32_1.png＝ ▲ 　．

17．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，

且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为　▲ 　．

18. 二次函数y＝x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2020

在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3 ,…，B2020在二次函数y＝x2位于第一象限

的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3 ,…，△A2019B2020A2020都是直角

顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△A2019B2020A2020的斜边长为　▲ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤．）

19. （本题满分6分）计算：（－2）2－(－4)+ 6÷（－2）+（word/media/image35_1.png－1）2

20．（本题满分6分）先化简，再求值：word/media/image36_1.png，其中word/media/image37_1.png．

21．（本题满分8分）如图，△ABC三个顶点的坐标

分别为A（1，2），B（3，0），C（5，3）

（1）请画出△ABC向下平移5个单位长度后

得到的△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；

（3）若坐标轴上存在点M，使得△A2B2M是

以A2B2为底边的等腰三角形，请直接写

出满足条件的点M坐标．

22．（本题满分8分）为了了解学生对“预防新型冠状病毒”知识的掌握情况，学校组织了一次线

上知识培训，培训结束后进行测试，在全校2000名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成

绩，整理分析过程如下，请补充完整．

【收集数据】

15名男生生测试成绩统计如下：（满分100分）

78，90，99，93，92，95，94，100，90，85，86，95，75，88，90

15名女生测试成绩统计如下：（满分100分）

77，82，83，86，90，90，92，91，93，92，92，92，92，98，100

【整理、描述数据】

【分析数据】

（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：

在表中：x＝　▲ 　．y＝　▲ 　；

（2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中“预防新型冠状病毒”

知识测试合格的学生有多少人？

（3）通过数据分析得到的结论，你认为男生和女生中谁的成绩比较好？请说明理由．

23.（本题满分8分）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．

（1）求证：△ADO≌△CBO．

（2）求证：四边形ABCD是菱形．

24．（本题满分10分）某商场准备采购一批特色商品，经调查，用5000元采购A型商品的件数是用2000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．

（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？

（2）若该商场购进A，B型商品共200件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件. 已知A型商品的售价为80元/件，B型商品的售价为60元/件，且A，B型商品均全部售出. 设购进A型商品m件，求该商场销售完这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，商场决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元（0＜a＜20），若该商场售完A、B型所有商品并捐献资金后获得的最大收益是4800元，求出a值．

25.（本题满分10分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足

∠DCA＝∠B，连接AD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD⊥CD，AB＝8，AD＝6，求AC的长；

（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交

于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量

关系并证明．

26．（本题满分10分）如图，抛物线word/media/image42_1.png经过A（－2，0），C（4，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，

速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作

PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，

向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长

NM交AC于点E．

① 当t为何值时，点N落在抛物线上；

② 在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得

四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此

时刻的t值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13． word/media/image43_1.png ； 14．word/media/image44_1.png ； 15．18 ；

16． 5 ； 17．word/media/image45_1.png ； 18．4040 ．

三、解答题（本大题共66分）

19．（本题满分6分）

（－2）2－(－4)+ 6÷（－2）+（word/media/image35_1.png－1）2

word/media/image46_1.png 4分

word/media/image47_1.png 6分

20．（本题满分6分）

解：原式＝word/media/image48_1.png， 2分

＝word/media/image49_1.png， 3分

＝word/media/image50_1.png， 4分

把word/media/image52_1.png代入上式，得：原式＝word/media/image53_1.png 6分

21．（本题满分8分）

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．.......3分

（2）如图，△A2B2C2即为所求．.......6分

（3）满足条件的M的坐标为：

（－1，0），（0，－1） .......8分

22．（本题满分8分）

解：（1）x＝92， y＝92； 2分

（2）2000×word/media/image54_1.png＝1800（人） ......................................................................... 4分

即估计全校学生中“预防新型冠状病毒”知识合格的学生有1800人； .......... 5分

（3） 女生的成绩比较好. ............................................. 6分

∵虽然男、女生成绩的平均数相同，但女生成绩的众数、中位数都高于男生，

男生成绩的方差大于女生成绩的方差 ............................................................ 8分

∴女生掌握知识的整体水平比男生好．(只要叙述合理都可以得分）

23．（本题满分8分）

解：（1）证明：∵点O是AC的中点，

∴AO＝CO， ........................ 1分

∵AM∥BN，

∴∠DAC＝∠ACB， ........................ 2分

在△AOD和△COB中，word/media/image55_1.png， ........................ 3分

∴△ADO≌△CBO（ASA) .......................... 4分

（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，

∴AD＝CB， .......................... 5分

又∵AM∥BN，

∴四边形ABCD是平行四边形， ........................ 6分

∵AM∥BN，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABN，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB， ........................ 7分

∴AD＝AB，

∴平行四边形ABCD是菱形. ........................ 8分

24．（本题满分10分）

解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．

由题意：word/media/image57_1.png， ..................... 1分

解得: x＝40， ..................... 2分

检验: 把x＝40代入 word/media/image58_1.png ⸫ x＝40是分式方程的解，..................... 3分

x+10=50（元）

答：一件B型商品的进价为40元，则一件A型商品的进价为50元；

（2）因为商场购进A型商品m件，所以购进B型商品（200－m）件．

由题意：y＝（80－50）m+（60－40）（200﹣m）＝10m+4000， ..................... 5分

∵ 80≤m≤200﹣m， ∴ 80≤m≤100； ..................... 6分

（3）设利润为w元．则

w＝（80－50－a）m+（60－40）（200－m）＝（10－a）m + 4000，......7分

或word/media/image59_1.png

① 当10－a＞0时，即0＜a＜10时，w随m的增大而增大，

所以m＝100时，最大利润为：（10－a）×100 + 4000 = 5000－100a

∴5000－100a＝4800 解得 a＝2 ..................... 8分

② 当10－a＝0时，最大利润为4000元，不合题意. ..................... 9分

③ 当10－a＜0时，即10＜a＜20时，w随m的增大而减小，

所以m＝80时，最大利润为（10－a）×80 + 4000 =（4800﹣80a）元．

4800﹣80a＝4800，

解得a＝0 (不合题意，舍去）． ..................... 10分

答：若该商场售完A、B型所有商品并捐献资金后获得的最大收益是4800元，

则a值为2．

25．（本题满分10分）

（1）证明：连接OC，如图1所示：

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，

∵OC＝OB， ∴∠B＝∠OCB，

∵∠DCA＝∠B， ∴∠DCA＝∠OCB， ..................... 1分

∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA

＝∠OCB+∠OCA

＝∠ACB＝90°， ..................... 2分

∴CD⊥OC，

∵ OC是半径

∴CD是⊙O的切线； ..................... 3分

（2）解：∵AD⊥CD

∴∠ADC＝∠ACB＝90°

又∵∠DCA＝∠B

∴△ACD∽△ABC ..................... 4分

∴word/media/image61_1.png， ..................... 5分

即word/media/image63_1.png ∴AC＝word/media/image64_1.png 即AC的长为word/media/image65_1.png ..................... 6分

（3）解：AC＝BC+word/media/image66_1.pngEC；

理由如下：

在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，如图2所示：

∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，

∵∠DAB＝45°，∴△AEB为等腰直角三角形，

∴∠EAB＝∠EBA＝∠ECA＝45°，AE＝BE， ............... 7分

在△AEF和△BEC中，word/media/image67_1.png，

∴△AEF≌△BEC（SAS）， ..................... 8分

∴EF＝CE，

∴∠ECF＝∠EFC＝45°，

∴△EFC为等腰直角三角形．

∴CF＝word/media/image68_1.pngEC， ..................... 9分

∴AC＝AF+CF＝BC+word/media/image69_1.pngEC． ..................... 10分

26．（本题满分10分）

解：（1）∵word/media/image42_1.png经过A（－2，0），C（4，0）两点，

∴word/media/image70_1.png， ..................... 1分

解得word/media/image71_1.png， 所以，抛物线的解析式为y＝word/media/image72_1.png ..................... 2分

（2）∵y＝word/media/image72_1.png=word/media/image73_1.png，

∴点B的坐标为（1，9）， ..................... 3分

∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，

∴BD＝9，CD＝4－1＝3，

∵PM⊥BD， ∴PM∥CD，

∴△BPM∽△BDC，

∴word/media/image74_1.png 即word/media/image75_1.png

解得PM＝word/media/image76_1.pngt， ..................... 4分

所以，OE＝1+word/media/image77_1.pngt，

∵四边形PMNQ为正方形，ME = PD = 9－t

∴NE＝word/media/image78_1.png＝word/media/image79_1.png ..................... 5分

①点N的坐标为（1+word/media/image80_1.pngt，word/media/image81_1.png），

若点N在抛物线上，则 word/media/image82_1.png ..................... 6分

整理得，t（t－6）＝0， 解得t1＝0（舍去），t2＝6，

所以，当t＝6秒时，点N落在抛物线上； ..................... 7分

②存在．

理由如下：∵PM＝word/media/image83_1.pngt，四边形PMNQ为正方形，

∴QD＝NE＝word/media/image79_1.png，

设直线BC的解析式为y＝kx+m，

将B（1，9），C（4，0）两点坐标分别代入，得

word/media/image84_1.png，解得word/media/image85_1.png

所以直线BC的解析式为y＝－3x +12， ..................... 8分

则yR = yN ⸫－3x+12＝word/media/image79_1.png， 解得x＝word/media/image86_1.pngt+1，

所以， QR＝word/media/image87_1.pngt+1－1＝word/media/image88_1.pngt， ..................... 9分

又EC＝CD－DE＝word/media/image89_1.pngt，

根据平行四边形的对边平行且相等可得QR＝EC，

即 word/media/image90_1.pngt＝word/media/image91_1.pngt，解得t＝word/media/image92_1.png ..................... 10分

此时点P在BD上，

所以，当t＝word/media/image93_1.png时，四边形ECRQ为平行四边形．

方法二：

（2）① 由word/media/image94_1.png可得顶点B的坐标为（1，9） ..................... 3分

∵BP = t ∴PD =9－ t ∴P的坐标可表示为（1，9－ t）

∵B(1,9),C(4,0) ∴直线BC的解析式为：word/media/image95_1.png

∵word/media/image96_1.png ∴word/media/image97_1.png

∵点M在直线BC上

令word/media/image98_1.png，得word/media/image99_1.png

∴word/media/image100_1.png

∴word/media/image101_1.png ..................... 4分

∵四边形PMNQ是正方形

∴word/media/image102_1.png

∵word/media/image103_1.png

∴word/media/image104_1.png ..................... 5分

∵点N落在抛物线上

∴word/media/image105_1.png ..................... 6分

解得word/media/image106_1.png，word/media/image107_1.png

∴当t=6秒时，点N落在抛物线上 ..................... 7分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/acccf96e6e85ec3a87c24028915f804d2a168730.html