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2019年福州市质检理科试卷与解答

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2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案
数学（理科）试卷（完卷时间：



一、选择题：本大题共项是符合题目要求的．
120分钟；满分150分）第Ⅰ卷
12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一












z1.
设复数满足i
A.
1i

z1i，则的共轭复数为
B.1iC.1iD.1i
1i


z

【简解】因为z




ix2x

1i，所以z






1+i，故选A．


2.已知集合AA.C.
13,B




xx2

x2
B.D.
0，则AUB=x
1x1
1


x1x2

x2x1，或x1
xx

xx

【简解】因为A1,Bx1x2，所以AUBxx1
，故选D．
3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，的情况，随机抽取



是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现



.为弘扬
中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一
参加场数
08%
110%
1000名学生的课余时间参加传统文化活动
50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：





2

326%
418%
5m%
64%
72%
参加人数占调查人数的百分比20%
以下四个结论中正确的是A.表中m的数值为10
B.估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于C.估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于D.若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一段间隔为25




2场的学生约为4场的学生约为


180人360人


1000名学生中抽取容量为50的样本，则分


【简解】A中的m值应为12;B中应为故选C．4.等比数列an的各项均为正实数，其前A.32
B.31
C.64
D.63
380人;C是正确的;D中的分段间隔应为




20，

n项和为Sn.若a34,a2a664，则S5





【简解】解法一：设首项为a1，公比为q，因为an







0，所以q

0，由条件得
a1q24

，
a1qa1q5



64
解得
a1q
12

，所以S5


31，故选B．
解法二：设首项为a1，公比为q，由a2a64a2所以a1
64，又a34，∴q2，又因为a1q2





4

1，所以S531，故选B．

试卷第1页，总22页



5.已知sin


π6
B.

12


，且θ



0,
π2

，则cos



π3


=






A.0





12



C.1


D.
32





























【简解】解法一：由




sin

π6
12


，且



π
0,得，2


π3


，代入cos
π3



得，
cos

π



















3=cos01，故选C．
π6



解法二：由sin



12



，且


0,得，cos
π2
π
3，



所以cos



π3
cos


π6

π6
cos


6
ππcossin

2
π

sin6
6
π
1，故选C．
66

6.
设抛物线
y2


4x
的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA

l，A为垂足．若
直线
A.
AF的斜率为
3，则△PAF的面积为43



23

B.C.8D.
83

【简解】解法一:设准线与
x轴交于点Q,因为直线AF的斜率为
3，FQ2，
AFQ60o，FA

所以△PAF的面积为



4，又因为PA

PF，所以△PAF是边长为4的等边三角形，
2

=43．故选B．





解法二：设准线与
34
4
xQPm,n
,因为直线,（轴交于点
3
4
FA


2
3
AF的斜率为

，
FQ2，
AFQ60o，所以AQ
又因为PA


23，所以n
23，又因为n2
4m，所以m3，
PF

4，所以△PAF的面积为






1

PAn


2
12
423=43．故选B．

7.如图，网格纸上的小正方形的边长为体的三视图，则该几何体的体积为
A.32
B.16
C.
1，粗实线画出的是某几何
323
D.
803

【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三

第7题

试卷第2页，总22页


棱锥的体积

12
431
3
1422=．故选D．23
80
8.已知函数f(x2sin

x

0,
图象的相邻两条对称轴之间的距离为
，将函数f(x的图象向左平移






个单位长度后，得到函数g(x的图象．若函数g(x为
3





偶函数，则函数f(x在区间





0,

上的值域是
2

A.

1
2
,1



B.


1,1


C.0,2



D.1,2

【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为
，所以T


，又因为


0，所以
2

，解得

=2．














0,



，将函数f(x的图象向左平移





个单位长度后，得到函数
3





g(x

2sin2x
23,k2


的图象．因为函数g(x为偶函数，






所以
2
，


k

Z，由




解得

=
6
，所以f(x2sin


3
因为0

2x．
6
x
2
，所以

12


sin2x

1，所以函数
6


f(x在区间

0,
2


上的值域是
1,2，故选D．

9.已知gx为偶函数，hx得不等式mgx
为奇函数，且满足gxhx

2x．若存在x


11，，使
hx

0有解，则实数m的最大值为

A.－1

B.
3

C.1

D.

3











55

【简解】由gx

x
x
hx2x，及gx

x
为偶函数，hx





为奇函数，得
gx


22,hx
2

－x
22．由mgxhx02

试卷第3页，总22页


得m

2x－2x4x1


1
2

，∵y1


24x1


为增函数，∴1

2x2x




4x1
2

2
4x

1


3，2
4x1max5

故选B．




10.如图，双曲线C:2





x
a
y21(ab
0,b0的左、右焦点分别为







F1,F2，过F2作线段F2P与C交于点Q，且Q为PF2的中点．若
等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为




















第10


A.

2215

B.

23

C.

2

2157

D.
3



7

2c2






【简解】连结QF1，由条件知QF1






PF2，且QF2


2
．由双曲线定义知

QF12a

c2
，





2


在Rt△FQF1




2中，2a
c

c2
2




2c

，解得C的离心率e





22157


，故选C．



2

11.如图，以棱长为1的正方体的顶点

A为球心，以2为半径做一个



球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为A.




3



B.



2


C.
32




D.
94








4



【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分如，与上底面截得的弧长是以







,例
第11题图

A1为圆心,1为半径的圆周长的







14
,所以




弧长之和为32





4
3．故选C.2












12.已知数列an满足a11，an1

n1an2
4nan
D.


2an2




，则a8n2







A.
89
64


B.



8

C.

8

8




2



932


2


916

2

972



【简解】因为an1





n1an2，所以12a24nan2a
n
n
n1

2an24nan
n1a

n
n2
2
，


所以

n
2

12an24nann2an1an2

n
an
4

n




2，


an
试卷第4页，总22页


所以
n
2

12

n1
a

nan2

2

，令bn



n

2，则b


b，两边取对数得lgbn1
n1n






2
2lgbn，


又lgb1lg





1

an
lg3，所以数列lgbn是首项为lg3，公比为








2的等比数列.



a1

所以

lgbn


lg3

n12
lg3

2n1

，所以bn


2n13
，即
n

2

2n1
，从而an3




n
n1
，将



an



32


2


n8代入，选A.
法二、因为an



1


n1an2


，所以
1
所以
n

2an24nann2


2
a
4

2an24nann2，




n1
12an24nann2
an1an2



nan

n


n
1an2






2，






an
nan3
8
所以

n


2


12

an1
3



nan

2

，令bn



2，则bn1bn2，因为b13，所以b2



7
32，所

以b3

2

2
3，所以b4




4
3


4
2

，，所以b8


32964。所以b8




















82，所以a8
a8


8
964

，故选A。






2

第Ⅱ卷


本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量



rr
a,b，满足ab
3b，则a与b的夹角为__________．






rr
【简解】因为a,b是单位向量,ab
2

3b，
，1






（

2


），




ab=



3









，a与


的夹角为




2cosa,b

cosa,b


60





b



3



14.已知点A0,2



，动点Px,y

的坐标满足条件



xy
0x
，则PA的最小值是




．

-2
x的距离d=

【简解】PA的最小值转化成点A到直线y









2
2，



2

5
15.


1ax1
x的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a的值
为__________．
试卷第5页，总22页


2
5

【简解】设1
1得令x

ax1x
=a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7,
0=a0a1a2a3a4a5a6a7①,
2


令x
1得1a25=a0a1a2a3
2
a4a5a6a7②,


②-①得：1a

25=
2a1+a3a5a7，又因为a1+a3a5a7=64，
1a225=128，解得a=3或a=1（舍）．


2x

16.已知函数f(x
aln2xee有且只有一个零点，则实数
12


a的取值范围是__________．
12
ee



【简解】解法一：由当x


时，显然


x
12

不是该函数的零点；当x

2x
2x
时，由


f(xaln2xe


e
2x
0，分离参数得a


2x
ee







，令p(x，




ln2xln2x

函数f(xaln2x


e有且只有一个零点，等价于直线y



e
a与函数p(x
e
2xe
有且只


ln2x

有一个零点。利用导数，可判断并得出

p(t的图象如图所示，
因为直线ya与函数p(t的图象的交点个数为



1，

由图可知，实数a的取值范围是

,0e.
2x

2xe

解法二：由




2xe
f(xaln2xe

得



f(xalneae.


令t
2xe
t0，

试卷第6页，总22页








aln

a


则

gt

t
e
t
.当t
1e


时，

g
1
1ee0



，所以




t
1e

不是函数

g(t





的零点；








e


t








当t

1时，令g(talntaet0，分离参数得ae


2x





e
lnt

，


1




所以
f(x

alnxee

aR的零点个数问题，等价于直线y

a与函数
p(t



ett0且tlnt1


1的图象的交点个数的问题．利用导数，可判断并得出
e









p(t的


图象如图所示，
因为直线ya与函数
p(t


ett0且t1的图象的交点个数为
lnt1e
1，

由图可知，实数a的取值范围是

,0e.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（12分）
△ABC

的内角A，B，
C
的对边分别为
abc

，，

．若角A，B，
C
成等差数列，且
b
3．


2



（1）求△ABC的外接圆直径；（2）求ac的取值范围．
【解析】（1）由角A、B、C成等差数列，
所以2B
A+C，··········································1分
又因为A+B+C=，
试卷第7页，总22页


所以B
，
···············································2分
3


3
sinB


根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R=


b
















sin
21.·············4分
π


3
23

，所以0


(2解法一：由（





1）知，B

，所以ACA
2
，······5分
3

3

由（1）知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，
a

bsinB

csinCsinC



sinA
∴a


1，·····································6分

csinA


sinA
sin
2

A·····················8分
3




3
3
sinA

1
cosA






22


3sinA



6
．·····································9分

∵0


A
23
，∴


A
6
6
56











∴
1

sinA



1，····································11分
2
从而

6

32
3sin


A
6
3，












所以a


c的取值范围是




3,3．······························12分2
解法二：由（1）知，B





，根据余弦定理得，




3

b2




a2c2
2
2accosB·····································6分
ac



2
3ac
·········································7分
ac


3

ac
2
2
1

2





ac，(当且仅当ac时，取等号········9分

4

试卷第8页，总22页


因为b

3，2
2


∴a
c3，即ac3，······························10分
又三角形两边之和大于第三边，所以



32
ac3，················11分
所以a


c的取值范围是

32
,3

．·····························12分

18.（12分）如图，四棱锥
PABCD，AB//CD，BCD90，
AB2BC2CD4，△PAB为等边三角形，平面
PAB

平面ABCD，Q为PB中点．
(1求证：AQ平面PBC；

(2求二面角BPCD的余弦值．(1证明：因为AB//CD，
所以AB


BCD90，
第


18题

BC，平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，又平面PAB
所以BC⊥平面PAB，·······································1分
AQBCAQ2
又

平面PAB，所以⊥，······························分
因为Q为PB中点，且△PAB为等边三角形，所以又PBI所以AQ
PB⊥AQ，···········3分
BCB，

平面PBC.
····································4分
(2解法一：取AB中点为O，连接PO，因为△PAB为等边三角形，所以所以PO⊥OD，由AB可知OD//BC，所以OD
PO⊥AB，

z
由平面PAB⊥平面ABCD，因为PO平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，····5分
2BC2CD


4，ABC


90，
AB．
以AB中点O为坐标原点，分别以
OD,OB,OP所在直线为
Oxyz.


x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
所以A0,2,0,D2,0,0
6
····················分
y
,

C2,2,0
则AD

,P0,0,23,B0,2,02,2,0,DP
，

O

x

2,0,23,CD0,2,0，
试卷第9页，总22页


因为Q为PB中点，所以Q0,1,3，

由(1知，平面PBC的一个法向量为
uuurAQ
0,3,3.···················7分
设平面PCD的法向量为n




x,y,z，由nCD


0,得
nDP0
2y0

，取z

1，则n



3,0,1，························9分
2x23z0
由cosAQ,n

uuurr
uuurr
AQn
uuurr


33
.······················11分
14

AQn
32

31


因为二面角BPCD为钝角，

1
所以，二面角BPCD的余弦值为.·····························12分
4
解法二：取AB中点为O，连接PO，因为△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB，
由平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，···················5分
所以PO⊥OD，由AB可知OD//BC，所以OD

2BC2CD4，



ABC90，
AB．

以AB中点O为坐标原点，分别以OA,OD,OP所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间
直角坐标系Oxyz.··············································6分

所以A2,0,0,D0,2,0,C
,B
2,0,0，

2,2,0,


z
P0,0,23
所以AD

2,2,0,DP0,2,23,

CD

2,0,0，
O
uuur
由(1知，可以AQ为平面PBC的法向量，


y

因为Q为PB的中点，所以Q

x

1,0,3，
3,0,3，···················7分

uuur
由(1知，平面PBC的一个法向量为AQ
设平面PCD的法向量为n
x,y,z，

试卷第10页，总22页


由nCD
nDP
取z


0,得0
2x0



，

2y23z0

1，则n


所以cos



uuurrAQ,n

0,3,1，·······································9分
uuurr
uuurr
AQn


3
·····················11分
1

因为二面角B
323AQn
PCD为钝角，
31

4


1
所以，二面角BPCD的余弦值为.·····························12分
4
解法三：过点B作PC的垂线BH，交PC于点H，连结DH.
平面ABCD，所以由解法一或二知PO⊥平面ABCD，CD

POCD.由条件知ODCD，
又POODO，所以CD⊥平面POD，又PD平面POD，所以CD⊥PD，
又CDCB，所以Rt△PDC≌Rt△PBC，所以DH⊥PC，



H


O


由二面角的定义知，二面角
BPCD的平面角为BHD.
第18题
·························································7分
在Rt△PDC中，PB4,BC2，PC


25，
4225



由PBBC

BHPC，所以BH




PBBCPC


455

.·················8分


同理可得DH

455
，··········································9分
又BD22.在△BHD中，

cos∠BHD


BH2DH2BD2



2BHDH

2

································10分

2




2









45


45





5


5
2


2









2
45

45


1.4









55




所以，二面角


BPCD的余弦值为




14

.·····························12分
19.（12分）
最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，分一线城市的房租租金同比涨幅都在

2018年7月，大部

10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收
试卷第11页，总22页


入的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入
1
1
的租户“幸福指数”高．为了了解甲、
乙

3

3
随机抽取甲、乙两小区的租户各
100户进行调查．甲小区租户
两小区租户的幸福指数高低，

的月收入以

0，3，3，6，6，9，9，12，12，15（单位：千元）分组的频率分布直方
图如下：

乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：
月收入户数

0，3
38

3，6
27

6，9
24
9，12
9
12，15
2


（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记千元，乙小区租户的月收入不低于
（2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为联表，并说明能否在犯错误的概率不超过区”有关.




M表示事件“甲小区租户的月收入低于
6千元”.把频率视为概率，求M的概率；
100户租户的月收入的中位数；
2千元、1千元．请根据条件完成下面的22
6

列

0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小




幸福指数低
甲小区租户乙小区租户
总计





幸福指数高



总计











附：临界值表

PK2
k
参考公式：K2

k
0.102.706

0.0106.635．


0.00110.828




n(adbc2
(ab(cd(ac(bd


【解析】（1）记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B表示事件“乙小区租户
试卷第12页，总22页


的月收入不低于6千元”，

甲小区租户的月收入低于

6千元的频率为
0.060+0.1603=0.66，
故PA的估计值为0.66；·······································1分


乙小区租户的月收入不低于6千元频率为
24+9+2
=0.35，
100
故PB的估计值为0.35；·······································2分
因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，

事件M的概率的估计值为PM=PAPB=0.660.35=0.231．···········4分

（2）设甲小区所抽取的

100户的月收入的中位数为
t，
则0.0603+t3

0.160=0.5，·································6分
解得t=5．···················································7分
（3）设H0:幸福指数高低与租住的小区无关，

幸福指数低
甲小区租户乙小区租户
总计
6638104
幸福指数高
346296
总计100100200

·························································9分根据22列联表中的数据，

得到K2的观测值k


200(66623834215.70510.828，············11分
10496100100
··0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.·
所以能在犯错误的概率不超过
························································12分

20.（12分）
已知圆O：x

2

y2r2，椭圆C:


x2
2
2
a
y2
b
1ab0的短半轴长等于圆O的半径，且

过C右焦点的直线与圆

O相切于点D1,3


.


22
（1）求椭圆C的方程；

（2）若动直线l与圆O相切，且与C相交于A,B两点，求点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值.


试卷第13页，总22页


【解析】（1）解法一：由条件知r

21
2
2
2
所以b
31，····················1分2
1.·····················································2分

过点D且与圆O相切的直线方程为：









y
323x3
1，
2
即x令y
3y20.··············································3分
0得，x2，由题意知，
c2，从而a2
b2c25·················4分
2
xy21.所以椭圆的方程为：5
C·································分
5










2



2








解法二：由条件知

r21
2

2
3
1，······························1分
所以b

1.·····················································2分
设椭圆右焦点坐标为(c,0,过该点与圆O相切于点D










12


,
32
的直线方程为：




y



32

2
3

(x


1
2



，





1c2

化简得：23x2(12cy23c0，······························3分
圆O到直线的距离等于半径







1，即


23c
(232
(2(12c2

1，




解得c从而a2
2．b2c2

5，·········································4分
所以椭圆C的方程为：






x2y21.··································5分5
解法三：如图，设椭圆的右焦点为以


F，由于直线l与圆O相切于点D，所以三角形FOD是
ODF为直角的直角三角形.
·····································1分
试卷第14页，总22页


因为切点的坐标为D




2
1,3，所以22


2

DOF

60.·····················2分






由条件知r2



1
232
1，所以圆的半径r1.····················3分

所以在Rt△FOD中，OF
2.从而a2b2c25.····················4分
2xy21.所以椭圆的方程为：5
C
5··································分


（2）解法一：设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d，①若直线l

x轴，弦AB的垂直平分线为x轴，所以d

0；若直线l
y轴，弦AB的垂
直平分线为y轴，所以d②设直线l的方程为y
0.····································6分
kxmk



0，因为l与圆O相切，

所以


m

1，即m


1k2.··································7分
1k2






















ykxm

由




xy5
2

，消去y得15k



2


x
2


10kmx

2

25m50.

1







设Ax1,y1,Bx2,y2，由韦达定理知：
x1x2


10km
1
2,y1

y2

kx1x2



2m
5k
···················8分2m2.·
15k
所以AB中点的坐标为





5km
15k215k
y

,
m
2

，











所以弦AB的垂直平分线方程为







m
15k21x5km
15k2k
，


即x


ky
4km15k
2

0.··········································9分


所以d


4km15k21
k
2


.

············································10分

试卷第15页，总22页



2

将m1k


代入得，d
4km15k2


4k15k2


4

425
255
，

1k2

1k
5k
（当且仅当k


5，m5
305
时，取等号）．·······················11分

25
综上所述，点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值为












5
.················12分

解法二：设点O到弦AB的垂直平分线的距离为①若直线l
d，

x轴，弦AB的垂直平分线为

x轴，所以d0；若直线ly轴，弦AB的垂
直平分线为y轴，所以d②设Ax1,y1,B
0.····································6分
x2,y2，AB中点坐标为Mx0,y0，由点A,B在椭圆上得，



x2
1
2
5
x225
y1


1,


①






































2
②1,


，




























































y2


由①－②得，


1

x1x2x1x2



y1y2y1y2



0，






5
y1x1
y2x2



即kAB
1x15y1x2y2x0，······························7分5y0
所以直线l的方程为：y


y
0
k
AB
xx，化简得xx5yyx25y20.·····8分
00000
因为直线l与圆O相切，所以1









x025y0x
2

220
25y

，化简得x0

2
5y02



x02


25y

02，

0
·························································9分
又因为弦AB的垂直平分线方程为





yy0
5y0xx0，即5y0xx0y4x0y0x0






2
0，10分
2



所以，点O到弦AB的垂直平分线的距离为：

4x0y0
x0

4x0y0




4
0
4
5y
0
25
5，当且仅当



d

2

22
x5y00
25y0

2
x

25


x05y0时，取


y0x0

等号.·····················································11分


试卷第16页，总22页


所以点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值为


25.···················12分


5

21.（12分）已知函数f(x



x1x

aln1x


aR，g(x



x2emx1

e2.



（1）求函数f(x的单调区间；（2）若a0，

x1,x20,e，不等式f(x1g(x2恒成立，求实数m的取值范围.


【解析】（1）因为f(x



x
aln1x
1x
x1，







所以f(x
12x1ax1
axa2，·····························1分x1
1
当a0时，f(x0，所以函数f(x的单调递增区间为0时，由

1,


．···········2分
当a

f(x

0
，得


1

x1


1a
；








x
，得x

1
1

由
f(x0x
1
1a
；····································3分

所以函数f(x的单调递增区间是






1,1

1
a
；递减区间是


11,
a
．


.·······4分

综上所述，当a0时，函数f(x的单调递增区间为
1,1

1,

当a


0时，函数f(x的单调递增区间是






1
a
；递减区间是



1
a
1
,.
·························································5分

（2）若a0，等价于“对任意x
x1,x20,e，不等式f(x1g(x2恒成立，

0,e，f(xming(xmax恒成立”.···················6分


当a0时，由（1）知，函数所以f(xmin
f(x在0,e单调递增，
f00.·······································7分
g(x2xemx+1+x2emx1mxmx
（i）当m0时，由0

2emx+1，


xe，得g(x0，知函数g(x在0,e单调递增，

试卷第17页，总22页


所以
g(xmaxg(e
0时，令g(x




eme3
e20，不符合题意.·····················8分
当m

0得，x


0,或x
2m
.









（ii）当


2e

m0，即
2m
e时，在0,e上g(x0，所以g(x在0,e上单调递增，






所以gmax(x




g(eeme3e2，只需满足：eme3e20，即m









1，
e


所以

2e
m
.·············································9分
1e



（iii）当m

2e
，即0
2m
e时，



在0,

22

上g(x0，所以g(x在0,

2

单调递增；
m
在

m
,e上g(x
m0，所以g(x在,e单调递减，
m

2
所以g(xmaxg(

2m

2
所以m
2
0，42e
em
4e3
，得m
4e3
，又因为

4e3
,
2e
，所以m
2


.············11分

e
综上所述，实数


m的取值范围为

1
．

···························12分
e

(二选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）


x
xOy中，直线l的参数方程为


1t2


在直角坐标系


（t为参数，aR）.以坐标原点


ya

32
t



为极点，


x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C的极坐标方程为4cos，射线
0与曲线C交于O,P两点，直线l与曲线C交于A,B两点.
3
（1）求直线l的普通方程和曲线

C的直角坐标方程；
试卷第18页，总22页


（2）当AB
OP时，求a的值.

【解析】（1）将直线l的参数方程化为普通方程为由从而



3xya0.··············2分
2
4cos，得
2

4cos，································3分
y2

4x















x24xy20.






，即曲线C的直角坐标方程为







5
··············分
4cos

3

（2）解法一：由
，得P2,
.

0


3


所以OP

2，················································6分
将直线l的参数方程代入圆的方程由
x24xy20，得t22

3ata2
0
0，得234a234·······························8分
设A、B两点对应的参数为

则AB
t1,t2，
2

t1t2

t1
t24t1t2


4


43a
a
2

2···················9分
解得，a
0或a43.
0或










a
所以，所求


的值为
43.

10
···································分
解法二：将射线






3
0化为普通方程为

2
3x


y0x



0，···········6分



由（1）知，曲线C：x


2
y2
4的圆心C2,0，半径为2，

由点到直线距离公式，得






C到该射线的距离为：




d


23



OP


31
2

3，







所以该射线与曲线相交所得的弦长为
C

222

3


2


7




．··············分
23a
圆心C到直线l的距离为：


3

2
23a


2


，······················8分



31

2

2
由

a


2
12


22，得23



a

12，即23a




23，···········9分

解得，a0或a43
试卷第19页，总22页


所以，所求
a的值为0或43.···································10分
23.[选修45：不等式选讲]（10分）已知不等式


2x12x1
；


4的解集为M.
（1）求集合M（2）设实数a
M,b
M，证明：ab1ab.
12
2x112x4，即x

【解析】（1）解法一：当x


时，不等式化为：

1，



所以1x


1
；··············································2分
2
x
12
x




当
1

时，不等式化为：2x12x14，即24，
2
所以


1

12
；···············································3分
212


当x

时，不等式化为：2x12x14，即x1，




所以
1


x1；··············································4分
2

综上可知，M解法二：设
x1x1.·····································5分
f(x
4x,


2x1
x

2x1，


1,2

则f(x




2,4x,





1x2
x

1,·······································2分21

2


函数f(x如下图所示，
试卷第20页，总22页




所以M


=
a




·························································4分
因为f
x
4，由上图可得，1x1
x1
x
1．······································5分
解法三：不等式
2x12x1
4，

x

1



1










x1




x
1

等价于

2或
22或2

；······3分
2x112x
4
2x1
2x142x
12x
14
解得
1x1，











Mx
1x1.·········································5分（2）证法一：因为a
M,bM，所以a1,b1．···················6分而ab
1ab
ab
1
ab································7分1b
1
0
·············································9分
所以ab
1a
b．········································10分
证法二：要证
ab1ab，
只需证：ab
1a
b0，·
····································6分只需证：a
1b
1
0，·····································8分因为aM,bM，所以a1,b1，······························9分所以a1b
1
0成立.

所以
ab1ab成立．······································10分试卷第21页，总22页







试卷第22页，总22页


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ad5a715cd6d8d15abe23482fb4daa58da1111c65.html

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