平行线分线段成比例经典例题与变式练习（精选题目）

平行线分线段成比例

知识梳理

平行线分线段成比例定理及其推论

1. 平行线分线段成比例定理

如下图，如果，则，，.

2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果，则

3. 平行的判定定理：如上图，如果有，那么∥。

专题讲解

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用

【例1】 如图，，且,若，求的长。

【例2】 如图，已知，若，，，求证：.

【巩固】如图，，，垂足分别为、，和

相交于点，，垂足为.证明：.

【巩固】如图，找出、、之间的关系，并证明你的结论.

【例3】 如图，在梯形中，，，过对角线交点作

交于，求的长。

【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形中，，分别是的中点，交于，交于，求的长。

专题二、定理及推论与中点有关的问题

【例4】 （2012年北师大附中期末试题）

（1）如图（1），在中，是的中点，是上一点，且，

连接并延长，交的延长线于，则_______.

（2）如图（2），已知中，，，与相交于，则的值为（ ）

A. B.1 C. D.2

【例5】 （2011年河北省中考试题）如图，在中，为边的中点，为

边上的任意一点，交于点.

（1）当时，求的值；

（2）当时，求的值；

（3）试猜想时的值，并证明你的猜想.

【例6】 （2013年湖北恩施中考题）如图，是的中线，点在上，

是延长线与的交点.

（1）如果是的中点，求证：；

（2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.

【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知中，是边上的中线，是上的一点，且，延长交于。求证：。

【例7】 （宁德市中考题）如图，中，为边的中点，延长至，

延长交的延长线于。若，求证:。

【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，中，，若分

别是的中点，则；

若分别是的中点，则；

若分别是的中点，则；

…………

若分别是的中点，则_________.

专题三、利用平行线转化比例

【例8】 如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且

与、、、及的延长线分别相交于点、、、和.

求证：

【巩固】已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，

的延长线交于．求证：．

【例9】 已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对

边、于、，求证：

【例10】 在中，底边上的两点、把三等分，是上的中

线，、分别交于、两点，求证：

【例11】 如图，、为边上的两点，且满足，一条

平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.

求证：.

【例12】 已知：如图，在梯形中，，是的中点，分别连

接、、、，且与交于点，与交于.

（1）求证：

（2）若,，求的长.

【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形中，，

,，若，且梯形与梯形的周长相

等，求的长。

【例13】 （山东省竞赛题）如图，的对角线相交于点，在的延

长线上任取一点，连接交于点，若,求的值。

【例14】 已知等腰直角中，、分别为直角边、上的点，且，过、分别作的垂线，交斜边于，．

求证：．

过手练习

【习题1】 如已知，，求证：.

【习题2】 在中，，的延长线交的延长线于， 求证：.

【习题3】 如图，在的边上取一点，在取一点，使，

直线和的延长线相交于，求证：

专题讲解

1．选择题

　　（1）如图5-27，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（　）

图5-27

　　A．　　　　　B．

　　C．　　　　　D．

　　（2）如图5-28，，与交于点P，PA＝a，AB＝b，BC＝c，PD＝d，DE＝e，EF＝f，则bf＝（　）

图5-28

　　A．ab　　　　　B．bd　　　　　C．ae　　　　　 D．ce

　　（3）如图5-29，△ABC中，，则OE∶OB＝（　）

图5-29

　　A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．

　　（4）如图5-30，已知BN∥AM，ND∥MC，那么有（　）

图5-30

　　A．　　　　　　　　 B．

　　C．　　　　　　　　　D．以上答案都不对

（5）如图5-31，H为□ABCD中AD边上一点，且AH＝DH，AC和BH交于点K，则AK∶KC等于（　）

图5-31

　　A．1∶2　　　　B．1∶1　　　　 C．1∶3　　　　D．2∶3

　　2．填空题

　　（1）如图5-32，梯形ABCD中，AD∥BC，延长两腰交于点E，若AD＝2，BC＝6，AB＝4，则＝________，＝________；

图5-32

　　（2）如图5-33，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝4，AB＝7，且MN∥PQ∥AB，DM＝MP＝PA，则MN＝________，PQ＝________；

图5-33

　　（3）如图5-34，梯形ABCD中，AB∥CD，M为AB中点，分别连结AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于E，BD与MC交于F，则EF与AB的位置关系是________；

　　3．如图5-35，△ABC中，M为AC的中点，E为AB上一点，且，连结EM并延长，交BC的延长线于D，求证：BC＝2CD．

　　4．如图5-36，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证：．

　　5．如图5-37，△ABC中，AF∶FD＝1∶5，BD＝DC，求：AE∶EC．

　　6．如图5-38，M为□ABCD的边BC的中点，F为DC边上的点，BF交AM于N，交AC于E，且AN＝3MN，求FC∶AB的值．

　　7．如图5-39，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC交AC于E，连结CD，过E作EF∥CD交AB于F，求证：AD是AF和AB的比例中项．

　　8．如图5-40，已知△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，F为BC中点，过F作BC垂线交AB于E，BD＝6cm，DC＝4cm，AB＝8cm，求AE、BE的长．

　　9．如图5-41，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∶＝1∶3，BC＝12cm，FE⊥BC于E，求EB的长．

　　10．如图5-42，已知：□ABCD对角线交于O，OE⊥BC于E，交AB的延长线于F，若AB＝a，BC＝b，BF＝c，求BE的长．

参考答案

　　1．（1）A　（2）D　（3）A　（4）B　（5）C

　　2．（1），　（2）5，6　（3）平行

　　3．提示：过点C作CN∥DE交AB于N．

　　4．略　　5．1∶10　　6．　　7．略　　8．，　　9．3cm

　　10．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ae41eb07e97101f69e3143323968011ca300f755.html