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希帕索斯悖论与第一次数学危机-精选教学文档
希帕索斯悖论与第一次数学危机-精选教学文档
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希帕索斯悖论与第一次数学危机
希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因
此,我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的
定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明
珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应
用,
同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。
在我国,
最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一
定理的初步认识。不过,在我国对于勾股定理的证明却是较
迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第
一种证明。
在国外,最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。
因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥
拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂,而杀牛百只以示庆
贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号:“百
牛定理”。
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派
别:毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物
皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整
数之比”则是这一学派的数学信仰。然而,具有戏剧性的是
由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学
派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后,其学派
第
1
页
中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为
1
的正方形
其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也
不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发
现导致了数学史上第一个无理数√2
的诞生。小小√2
的出
现,却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了
毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐
慌。实际上,这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命
打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲
击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量,
在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊
当时是人们普遍接受的信仰,就是在今天,测量技术已经高
度发展时,这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经
验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小的√2
的存在
而推翻了!这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!它简直
把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是,面对这一荒
谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的
危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一
次数学危机”。
二百年后,大约在公元前
370
年,才华横溢的欧多克索斯建
立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传,他的成果被
保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的
第
2
页
巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”,并保留住
与之相关的一些结论,从而解决了由无理数出现而引起的数
学危机。但欧多克索斯的解决方式,是借助几何方法,通过
避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开
来。在这种解决方案下,对无理数的使用只有在几何中是允
许的,合法的,在代数中就是非法的,不合逻辑的。或者说
无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号,而不被当作真
正的数。一直到
18
世纪,当数学家证明了基本常数如圆周
率是无理数时,拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪
下半叶,现在意义上的实数理论建立起来后,无理数本质被
彻底搞清,无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在
数学中合法地位的确立,一方面使人类对数的认识从有理数
拓展到实数,另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数
学危机。
第
3
页
本文来源:
https://www.2haoxitong.net/k/doc/ae86a7ea777f5acfa1c7aa00b52acfc788eb9f64.html
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