2015年高考文科数学山东卷及答案解析

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则 （ ）

2．若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z= （ ）

3．设，，，则，b，c的大小关系是 （ ）

4．要得到函数的图象，只需要将函数的图象 （ ）

5．若，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是 （ ）

6．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 （ ）

7．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为 （ ）

8．若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围为 （ ）

9．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 （ ）

10．设函数若，则 （ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.

11．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是_________.

12．若x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值为_______.

13．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则________.

14．定义运算“”：.当，时，的最小值为__________.

15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为___________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学，，，，，3名女同学，，.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率.

17．（本小题满分12分）

中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，求和的值.

18．（本小题满分12分）

如图，三棱台DEF—ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点.

（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；

（Ⅱ）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

19．（本小题满分12分）

已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

20．（本小题满分13分）

设函数，，已知曲线在点处的切线与直线平行.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数，求m(x)的最大值.

21．（本小题满分14分）

平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

（i）求的值；

（ii）求面积的最大值.

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

数学（文科）答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1.【答案】C

【解析】，，.故选C.

【提示】求出集合B，然后求解集合的交集.

【考点】交集及其运算

2.【答案】A

【解析】由题意，所以，，故选A.

【提示】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可.

【考点】复数代数形式的乘除运算

3.【答案】C

【解析】由题意可知，，可知：.故选：C.

【提示】直接判断a，b的大小，然后求出结果.

【考点】不等式比较大小

4.【答案】B

【解析】因为函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移单位.

故选B.

【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可

【考点】函数的图象变换

5.【答案】D

【解析】由逆否命题的定义可知：当，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是：若方程没有实根，则.故选D.

【提示】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可.

【考点】四种命题间的逆否关系

6.【答案】B

【解析】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：

甲：26，28，29，31，31

乙：28，29，30，31，32；

可得：甲地该月14时的平均气温：，

乙地该月14时的平均气温：，

故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

甲地该月14时温度的方差为：，

乙地该月14时温度的方差为：，

故，所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差.故选B.

【提示】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案.

【考点】命题的真假判断与应用

7.【答案】A

【解析】利用几何概型，其测度为线段的长度.

，，解可得，.，，

所求的概率为：.

故选A.

【提示】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间的长度求比值即得.

【考点】几何概型

8.【答案】C

【解析】是奇函数，，即，整理可得，

，，.

，，整理可得，，解可得.故选C.

【提示】由为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式.

【考点】函数奇偶性的性质，函数单调性的性质

9.【答案】B

【解析】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体.

故选B.

【提示】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积

10.【答案】D

【解析】函数，若，可得，若，即，可得，解得.若，即，可得，解得（舍去）.故选D.

【提示】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可.

【考点】函数的零点，函数的值

第Ⅱ卷

二、填空题

11.【答案】13

【解析】模拟执行程序框图，可得，满足条件，，不满足条件，，输出的值为13.故答案为13.

【提示】模拟执行程序框图，依次写出得到的，的值，当时不满足条件，计算并输出的值为13.

【考点】程序框图

12.【答案】7

【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由可得，，将直线进行平移，当l经过点A时，目标函数达到最大值，.故答案为7.

【提示】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当且时，取得最大值.

【考点】简单线性规划

13.【答案】

【解析】连接，，

则，，，，中，，，，

，，

.故答案为.

【提示】根据直线与圆相切的性质可求，及，然后代入向量数量积的定义可求.

【考点】平面向量数量积的运算，直线与圆相交的性质

14.【答案】

【解析】，，由，，，当且仅当时等号成立，，故答案为.

【提示】通过新定义可得，利用基本不等式即得结论.

【考点】函数的最值及其几何意义

15.【答案】

【解析】时，代入双曲线方程可得，取，双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，，.故答案为.

【提示】求出的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论.

【考点】双曲线的简单性质

三、解答题

16.【答案】（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A，从45名同学中任选一名有45种选法，所以基本事件数为45，通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15，这是一个古典概型，所以；

（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法，所以从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15，设“被选中，而未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2，这是一个古典概型，所以.

【提示】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；

（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“被选中，而未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可.

【考点】古典概型及其概率计算公式

17.【答案】①因为中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，所以，，所以，结合平方关系得，解得或者（舍去）；

②由正弦定理，，由①可知，，所以，又，所以.

【提示】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；

②利用正弦定理解之.

【考点】正弦定理，两角和与差的正弦函数

18.【答案】（一）（Ⅰ）如图所示，连接DG，CD，设，连接MH.在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G为AC的中点，，，四边形CFDG是平行四边形，.又BH=HC，，又平面FGH，平面FGH，平面FGH；

（Ⅱ）连接，，分别为，的中点，，，，又为的中点，，，是平行四边形，，，．

又，平面，，平面，又平面，平面平面.

（二）（Ⅰ）在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，H为BC的中点. , ，四边形BHFE为平行四边形，.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，，又，平面FGH∥平面ABED，平面ABED，平面FGH.

【提示】（Ⅰ）证法一：如图所示，连接DG，CD，设，连接MH.由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC.利用三角形的中位线定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH；

证法二：在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，H为BC的中点，可得四边形BHFE为平行四边形，BE∥HF.又GH∥AB，可得平面FGH∥平面ABED，即可证明BD∥平面FGH.

（Ⅱ）连接HE，利用三角形中位线定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可证明EFCH是平行四边形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH.

【考点】平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定

19.【答案】（Ⅰ）设等差数列的首项为、公差为，则，，，令，则，

又数列的前项和为，，或（舍），，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，两式相减，得，.

【提示】（Ⅰ）通过对分离分母，并项相加并利用数列的前项和为即得首项和公差，进而可得结论；

（Ⅱ）通过，写出、的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论.

【考点】数列的求和

20.【答案】（Ⅰ）函数的导数为，曲线在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，则，解得；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，令，，当，，在递减，当时，，在递增.当时，，即，在递增，即有在递增，的导数为.当，，在递增，当时，，在递减.

则取得最大值，令，，，由零点存在定理可得，存在自然数，使得方程在内存在唯一的根；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

其中，且时，取得最大值，且为，则有的最大值为.

【提示】（Ⅰ）求出的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件，斜率相等，解方程可得a=1；

（Ⅱ）求出、的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在；

（Ⅲ）由（Ⅱ）求得的解析式，通过的最大值，即可得到所求.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，导数在最大值、最小值问题中的应用

21.【答案】由题意可知，，又，，，椭圆C的方程为：；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为：.①设，，由题意可得，，及，即，，即；

②设，，将代入椭圆E的方程，可得，由，可得，由勾股定理，可得，，，因为直线交轴于点，

设，将代入椭圆C的方程，可得，由，可得，又，，，当且仅当，即时取得最大值，由①知，面积的最大值为.

【提示】（Ⅰ）通过，及，计算即得结论；

（Ⅱ）①通过设，，可得，利用及，计算即可；

②设，，分别将代入椭圆E、椭圆C的方程，利用根的判别式、韦达定理、三角形面积公式及换元法，计算即可.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b00182ea7dd184254b35eefdc8d376eeaeaa17aa.html