2021年3月福州市髙中毕业班质畑检测

数学试题

（完卷时间:120分仲湖分：150分）

注意中项：

】・答題前，为生务必在试題卷、答題卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生耍认真核对 答題卡上粘姑的条形码的“准好证号、姓名”与中生本人准考证号、姓名是否一致.

2.第I卷毎小題透出答案后，用2B铅范把答题卡上对应題目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再透涂其它答案标号.笫H卷用Jg米黑色签字楚在答JS卡上书写作答•在试題卷 上作答，答案无效.

3 .寿试结束,寿生必须将试题卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、单项选择题:本題共8小题,毎小題5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合題目要求的、

1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={Hm=2A+1,"'},则=

A.}1»3| B. |2,4| C. |3,5| D. |1,3,5|

2设艮數祁i（gZ,此Z）,则满足|I|W1的J［数z有

A,7个 B.5个 C.4个 D.3个

3.的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.若据物线了=袱？上一点Q,2）到其焦点的距离等于3,则

A. m = -y-

4

6.在△旭C中,E%AB边的中点,D%AC边上的点皿CE交于点E若

则芸的值为

A. 2 B.3 C.4 D.5

髙三数学-I-（共4页）

7.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线PoR，…， P.,….巳知P。是边长为1的等边三角形是对R进行如下操作而得到:将0的每条边 三等分，以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（虹0, 1,2,…）.记R的周长为Ln、所围成的面积为S°.对于VmN,下列结论正确的是

C. 3M>0t使 C D. 3M>0,使S.

8.已知函数/（z）=2sin（^）（^>0,^l）的图象过点（0』）,在区间（湛号）上为单调函 数，把/3）的图象向右平移”个单位长度后与原来的图象重合.设旳，与仁（宀苓）且 % I关工2 ,若/GI ） =/（ 了2）,则/（ ZI % ）的值为

A. -5/3 B. -1 C. 1 D.J3

二、多项选择题:本题共4小甌每小题5分,共20分.在毎小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分,部分选対的得3分,有选错的得0分.

9.“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单,但每年我国还是有2 000多亿元的晉臬浪虬被倒 掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪費可耻”的策围，某市发起了 “光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调査了 90 位来店就很的客人，制成如右所示的列联表,通过计算得到K，的观测值为9•巳知P（炊N 6.635）= 0.010,P（K2>10.828）= 0.001，则下列判断正确的是

A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”

B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”

C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关

D.在犯错误的槪率不超过Q001的前提下，认为“光盘行动”的 认可情况与年龄有关

10.如图，在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P为所在校的中点，则在这四 个正方体中,直线AB〃平面MNP的是

11.巳知P是双曲线£：7-J= I在第一象風上一点，6,马分别是E的左、右焦点,APFtF：

的面积为? •则以下結论正确的足

A.点p的横坐标为m B.

C・ZiPFi心的内切圆半径为I D・匕F/F,平分焼所在的宜絞方程为3x-2y-4=0

12在数学中,双曲函数站一类与三角函数类似的函数,最基本的双曲函数是双曲正弦函数

血血=号^和双曲余弦函数coshx =号二等.双曲函数在物理及生活中冇若某些重要的 应用，曾如达,芬奇苦苦思索的悬链锹例如固定项伎的两端，使其在重力的作用下自然下 垂，那么项谜所形成的曲线即为悬伎线)问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论 正确的足

A. cosh2x+sinh2x= 1 B. y=coshx为偶函数,且存在最小值

sinhx^sinhxj

C・ Vxo>0,sinh(sinlix0)>sinlix0 D. Vxi.x, gR,且％夬右， >1

第II卷

注意事项：

用0.5室米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试題卷上作答，答案无效.

三、填空題:本大題共4小题,每小题5分，共20分,把答案填在题中的横线上.

勺-4W0,

13.设％,),满足约束条件2x+广6N0,则x-2y的取值范围为 r

ly5=0.

14.f中的展开式中,!的系数为 ・

15.在三棱锥P-ABC中,側面E4C与底面A8C垂直，匕B/1C = 90。，Z P% = 30。,45 = 3, PA = 2. 则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 •

16.已知圆C的方程为(％-2尸+(>-1)'、过点M(2,0)的直线与圆C交于P,Q两点(点Q 在笫四象限).若厶QMO = 2LQPO，则点P的纵坐标为

四、解答題:本大題共6小題，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟・

17.(本小题满分10分)

^E(DSR = 2aR+l;®a1=-l,log2(aBaBH)=2n-l；®ati=^<Inn»52 = -3,a3=-4 这三个条件 中任选一个,补充在下面问题的横线上，并解答.

何题:已知单调数列I的前卩项和为&,且满足 ,

(1)求修」的通项公式；

(2)求数列|-心」的前几项和兀.

18.(本小题满分12分)

在ZUBC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,a+b=gsB-bgC.

(1)求角C的大小；

⑵设cd是眼及?的角平分线，求证:土4佥哈

髙三数学一3一(共4页)

19・(本小题满分12分) 质 G

如图，在三棱台相中，MMG=CCDC = 2,华丄但

(1)求证:平面ACC—丄平面ABBM； / '、、，、\

(2)若Z_B4C=90。,枇=1,5拭二面角4-BB.-C的正弦值. 二

20.(本小题满分12分)

已知椭働玖彳咯=1(aM>0)的左、右顶点分别为％(-再,0) ,4(^2,0)，上、下顶点分 a b

别为8“％,四边形&&&%的周长为4石・

(1)求E的方程；

(2)设P为E上异于儿,％的动点，直线人卩与，轴交于点C,过鸟作A,D//PA2t与了軸 交于点。试探究在*轴上是否存在一定点Q，使得和茹=3,若存在,求出点Q坐标;若不存 在，说明理由.

21.(本小题满分12分)

从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构 性存款及大额存单•协定存款年利率为L68%,有效期一年，服务期间客户账户余额须不少于 50万元，多出的资金可随时支取;七天通知存款年利率为L8%,存期须超过7天，支取卻要提 前七天建立通知;结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%,起点金額 1 000万元.(注:月利率为年利率的十二分之一)

已知某公司现有2020年底结余资金I 050万元.

(】)若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品,每个股东只能 选择一种产品且不能弃权,求恰有3个股东选择同一种产品的概率；

(2)公司决定将550万元作协定存款，于2021年1月1日存入该银行账户,规定从2月份 起,每月首日支取50万元作为公司的日常开销.将余下500万元中的h万元作七天通知存款， 准备投资髙新项目，剩余(500-x)万元作结构性存款.

1求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；

2假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取岀，本金工万元用于投资髙新项 目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得(项&^崩為堀135、)万 元的收益，有20%的格率亏损0.27%万元，有20%的槪率保本.间注为何值时,该公司2021年 存款利息和投资髙新项目所得的总收益的期望最大,并求最大值.

22.(本小题满分12分) '

已知 /(x) = z2e--l.

(1)判断/G)的冬点个数，并说明理由；

(2)若/(%) ^a(2lnx+x) ,求实数a的取值范围.

2021年3月福州市高中毕业班质量检测

数学参考答案及评分细则

!•

评分说明：

1•本解答给出了 -和或几稗解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要•考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2.对计算题,当考生的解签在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度.可视影响的程度决定后绻部分的給分,但不得容过该部分正确解答应绘分数的 —半；如果后継部分的辭签有愁严萱的错误，就不再给分〃

3.解答右謊护斤注分数.素示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4,只给整数分数。

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

多项选择题：本题共4小题，每小题S分，共20分.

推理论证能力、运.箪求解能力；考資化归与砖化恩想、函数与方程恩想；考•查股辑推理、数 学:返算等核心索养，体现基础性、综合性.满分10分.

【解答】＜I）近①.即瓦+ 1 .⑴则

当”云2时・= *1・Gi)

i) (ii)两式相減W瓦;=2cilt_

所以｛气）为等比数列,其中公比为2,首项为-I.

所以q：=—2”T. ••……: ! 5分

选②，即/1 = -IJog,（q= .

所以当〃云 2 时.— = I 分

所以gg｝ 1EN'）为等比数列.其中首項为q=-1.公比为4,

所以二Tx心二-2好少」

由 a. =-Llog2(^c72)=l » Ma2 = -2 ?

选③，即片」=""§ =刁，气=-4 .

所以七=-2n~｝

⑵由 <1）知,一〃q： =〃qz

2 + 2 x 2?】.•…1・(刀-2) • 2"-2 -i- (〃-1) • 2,i_1 + n • 2” •

9分

所以4 = （〃-I）'2‘ + l. 1（）分

18’ （左小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考査解三角形等基础知识：考資推理论证能力、这算求解能力； 考查函数与方•程思想、数形綺舍思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体 现基础性、综合性・满分12分. .

【解答】解法一:C1）因为口十b = cgB - bgC ,

由正弦定理得 sin A -r sin 杉=sinCcosB - sin 5 cosC « 2 分

因为 sin （♦十（7） = sin（丸一 *） = sin A，

所以 sin（B 专 C ）+sinZ? = sinCcos3 - sinBcosC • 3 分

所以 2sin.Bcos（? +sinJ? = 0 , 4 5卜

因为目匚（0,兀），所以sin厅=0,所以cosC = -— . 5 .分

—

同理在ZSCID湖.△（%□中，得

DB

・A

sin —

敏学参考笞案与讦分细別［第3员 共&英）

■■■■•■■■■••12 分

19’ (本小题满分12分)

【命题意圏】本小题主要考査空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等 基础知识:考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力：考査数形结合思想:考查直 观想象、逻辘推理、数学运算等核心素养,体现基础性、综合性.溝分12分・

【解答】(1)依题意，四边形皂为等腰梯形，过4 , Ct分 ? ?

别引力C的垂线，垂足分别为D,4如 / \

丄3。-也6\)=丄引2-1)=丄=丄哗，故^i.AC = 60° . ° E

2 2 2 2

在 A.4OJ,中，一扩=侦 + .4C2 - 24丄, AC cos 匕 ％ 且 <7 = 1' + 22-2乂1 乂2x： = 3,

所以 A}C2 + A}A2 = AC1,故 ZAAf：二 90。，即 Afi 1M . 2 分

因为 4C I. AB .AB fl A.AX = A，且 AB , AA. u 平面 ,

所以Afi 1平1®鸟K , 4分

因为4C u平面JCCj/f,,

所以平面JCC.4 1平'面L法&4 . 5分

(2)因为 AB 1 AC , A}C J. AB , AC A -\c = U，且 , AXC u 平面 ACC{A{,

所以AB丄平面MCG.* ,结合(1.)可知,48 . AC . A}D三条直线两两垂直.,•…6分

以J为原点，分别以M，一"，D*的方向为x , y, z轴的正方向，建立空间直角坐标系 A -冲£ ,如图所示,则各点坐标为

] /J((),(),0)』(1,(),0),C(0,2,0)』,

7分

2 2

由(1)知 > % = 0 ,

■ ■ * ■ ■ ■ 8 分

BC = (― 11 2 ? 0) t C|C = 0 .t —，— ,

X "*

设％=(.Y,.V3.)为平面耳的法向量，则

:n? • !3C — -x 2y = 0， 故"’-1 JT

i/r .CC = -F-—z=0,

< - 2' 2

20.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考命直线与椭圆的位置关考等基础知识;考查推理论证能力、 运算求鮮能力；者査函'数与方程忘懸、数形结合思想、化归与转化忌想；青查直观想象、遅 •辑推现、数学运算等核心素养,体现基砒性、综合性与创新性.满分12分.

【解.答】解法一：O）依.題意，〃=抵,

由椭圆的对称性可fch四边形烘皿 为菱形,其周长为4jdM. ■••■3分

所以力=1, 4分

所以E的方程为芝土M=l. 5分

c 一

(2)设 P ( % ■>>.)，则 2.苛=2 - a-* ,

直线孟户的方程为F = —^石（二+必）.故C 0.

仕| 4刀// PA.知也D的'方程为"-^_（A- -I也）,故D 0 .

履设存在0八0）・使得。己。” =3,贝4

O.C-OD^

9分

=3 . 10 分

解得]=±2. ]1分

所以当Q的坐标为（±2,0）'时，QC-QL） = 3 . 12分

粹法二U）同解法一-. 5分

⑵当点P与点及点合时C点即坊（0,1）,而点。即尾（（）•-1）,暇设存在。卩，0）・

使得 Q（Lq/5=3,则—1） = 3,即尸— 1=3，解得［二 ±2. 6 分

以下证明当。为（±2,0）时，QC QD = 3

设尸（孔，丹），则2鳶二2—*， 7分

10分

】1分

= 4-1

二3， 12 分

说明:。只求出（2,0）或（-2,0）,不扣分.

21.（太小题满分12分）

【命題意图］本小題主要考査古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识:考 查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化史1与 转化思想、分榮与整合思想、必然与或然思想；考有数学建模、選辑推理、薮学运算等核心 素养,体现综合性、应用性与创新性.满分12分.

【解答】<1）设恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的辱件为4击題意知,5 个殷东共有疽种选择.而恰好有3个股东同时选择同--款理财产品的可能情况为 穹.房3）种，

（~*3，（ I?卜以3 ） ",

所 以 户（.4 I- - —— . 4 分

45 128

C2.）①2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为:

「（55。十 500-450 +■■•4-100-1- 50） + 50 | < 9 °168

X1 ] + 50 <0.0.014 =4.69 （万元）.

②由条件,高新顼巨投资可得收益频率分布表

所以・髙’新项目投资.所阵I.攵益的期望为:

' V! 、

z?(r)- H102/ -r ().135x0.6+ 0 ().2- Q2 0.27x- -0.00()OZ? h 0.01- 0.027a*

30 00()

、 /

所以，存款利息和投资髙新项目所得的总枚益的期望为:

/.(.V)- -0 <心)1)2疽 1),0】2/ -0.027a- + 0.()36 /(5(H)- xj-u.o) X - 69

=-0.000 02.V5 -i- 0.012宀 22.69( 0 W W. SOO). 9 分

//⑴ --0,000 06(r -400.V)

令 〃(=) = 0,得丄 一4()0.或a-0.

inr(,v)>0.得()<.v<400；习r(Aj<o,得400<a-<500. 】1 分

由条件「以L当、=耳()。时./.(弋)取得扱火僮为：/,(40。)= 662.69〔万元

所以当.r=400H<],该公司2021年存款利息和投资高新项日桥得的总收益的策望取得

最大倩.662.69万元. 12分

22.(本小題满分12分)

［鮮答］解；法一：(.1.)依題意，广(x)二. 2)c'，则 ［分

当 xe ( g, 2(U(0，+s)时，/'(x) > 0；当.0 2.0)肘./z(.v)<0： 2 分

所以/(•对花区间(-^-2).(0^/,) |•.单崩递增，在区间(-2.0) I••单调，递减.••…3分

4

因为广(2)-茶・1 < 0 .广⑴一e 1>0,

e_

所以/冋)有巨只有】人零点 S分

(2)令小、)二疽S-叫2111~+.乂)一1 ,咽

r，\x］ = x\x^2'}cx — 丄(,v > 0 ). 6 分

N X

1苦 Z0.则片(x)>0,尸(X)方増函数，

F卩二* 1 ci\ 2In I I ' i 二* 1 c/ ' In 4 I < 0 .不台)苞意： 7 分

■2/ 4 L 2 2y 4 <2 丿

2若.令/?(x)：=.d(xA0).易约机单调递增，且值域为((」，+ s), 存在

X,., > 0，使得 xfeV| = a .即 2 In + x(> - In a. X 分

当xe(Q^)时,尸⑴VO. F(x)单调递减;

当0*s)时,r(x)>0. F(x)单调递增.

F(xLn =^(-v0) = .r；eY° -<7(2hi^ +斗)-1 =宀小膈-1， 9 分

令◎(〃)= n【ii"-1 , 0'(i) = -lna,

当0<〃<11 时、时(o) = -Ina A 0 ；当〃>1 时,^(a)= - In « < 0 ；

所以0(a)尽假⑴=0 ,

由 F(x) 0 得 °(a) N。，所以 a ~ \ . ] 1 分

综1~ * <7的取值'厄困是{1} - 12分

解法二：(1)同解法一 5分

(2)令 /二疽W，x > ()时./>()>

InZ - 2lnx -I- a- •故/(x) M [(21im) = 7 - 1 mni . 7 分

令 F (/)=/- I - fz In / , HC F* (/) = 1 - — = -_—

①若〃wo,则r（/）＞o*尸（工）为湾函数，.义尸（1）=0,故当ovivj时，/（/）＜（），

不合題意. 9分

②若t/＞0.则当M（0g）肘,尸'（Z）VO；当心（冬+响时，尸⑴＞0；

所以歹⑴在区间（0,口）上単.调递減，在区间（纹皿）上单调递増,

因为戶（1）=0 ,所以

若化＞1,则当76（1、〃）时F（Z）〈O,不合題意；

若0＜"＜1，则当ze（^l）时尸（/）＜0.不合题意；

若打二1・则戶［1）二0，爸台.题意. 11分

综上，4 •的取偵范围是{1}. 12 .分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b4063d46df88d0d233d4b14e852458fb760b38ee.html