人教版初三数学知识点总结

初三知识整理

全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体

九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。包含以下章节：

第21章 二次根式 第22章 一元二次方程

第23章 旋转 第24章 圆

第25 章 概率初步

本册书内容分析如下：

第21章 二次根式

学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。

在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：

（1）是一个非负数；

（2） ≥0）；

（3） (a≥0)．

注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到

(a≥0，b≥0)， (a≥0，b>0)，

并运用它们进行二次根式的化简。

“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。

第22章 一元二次方程

学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 —— 一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。

本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，

“22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。

（1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。

（2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。

（3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。

“22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

第23章 旋转

学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。

“23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。

“23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。

“23.3课题学习 图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系（平移、轴对称、旋转及其组合），灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。

第24章 圆

圆是一种常见的图形。在“圆”这一章，学生将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。

“24.1圆”一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论，并运用这些结论解决问题。接下来，让学生探究弧、弦、圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。

“24.2与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念，并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。

“24.3正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系，介绍了等分圆周得到正多边形的方法。

“24.4弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公式。

第25 章 概率初步

将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢？学了“概率”一章，学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识，学生还会解决更多的实际问题。

“25.1概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念，然后通过掷币问题引出概率的概念。

“25.2用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。

“25.3利用频率估计概率”一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法。

“25.4课题学习 键盘上字母的排列规律”一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用。

知识点总结

第21章 二次根式

知识框图

学习目标

对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：

1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；

2. 了解最简二次根式的概念；

3. 理解并掌握下列结论：

（1）是非负数；　（2）；　（3）；

4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；

5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。

I.二次根式的定义和概念：

　　1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,√0=0

　　2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。

II.二次根式√ā的简单性质和几何意义

　1）a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性 ]

　　2）（√ā）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]

　　3) √(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。

III.二次根式的性质和最简二次根式

　　1）二次根式√ā的化简

　　a(a≥0）

　　√ā=|a|={

　　-a(a＜0)

　　2）积的平方根与商的平方根

　　√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

　　√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）

　　3）最简二次根式

　　条件：

　　（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；

　　（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

　　如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；

　　含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等

IV.二次根式的乘法和除法

　　1 运算法则

　　√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

　　√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）

　　二数二次根之积，等于二数之积的二次根。

　　2 共轭因式

　　如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。

V.二次根式的加法和减法

　　1 同类二次根式

　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

　　2 合并同类二次根式

　　把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

　　3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并

Ⅵ.二次根式的混合运算

　　1确定运算顺序

　　2灵活运用运算定律

　　3正确使用乘法公式

　　4大多数分母有理化要及时

　　5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化

VII.分母有理化

分母有理化有两种方法

　 　I.分母是单项式

　　如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b

　　II.分母是多项式

　　要利用平方差公式

　　如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

　　　　III.分母是多项式

　　要利用平方差公式

　　如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

第22章 一元二次方程

知识框图

第23章 旋转

知识框图

旋转的定义

在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

　　图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

旋转对称中心　　把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。

中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念．它们的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．

　　也就是说：

　　① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

　　②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

中心对称图形

　　正（2N）边形（N为大于1的正整数），线段，矩形，菱形，圆

只是中心对称图形

　　平行四边形等．

既不是轴对称图形又不是中心对称图形

　　不等边三角形，非等腰梯形等．

中心对称的性质

　　①关于中心对称的两个图形是全等形。

　　②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

　　③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

　　识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。

　　中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点.

第24章 圆

知识框图

【圆的基本知识】

　　〖几何中圆的定义〗

　　

　几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

　　轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

　　集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

　　〖圆的相关量〗

　　圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.1493238462643383279539937521170679...，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。

　　圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

　　圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

　　内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

　　扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

　　圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

　　〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

　　圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d

　　扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S

　　〖圆和其他图形的位置关系〗

　　圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

　　直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

　　两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

圆的平面几何性质和定理

　　一有关圆的基本性质与定理　

　　⑴圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

　　圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

　　⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。　

　　⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

　　①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

　　②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

　　③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径

　　④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）

　　⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

　　〖有关切线的性质和定理〗

　　圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

　　切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

　　切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

　　〖有关圆的计算公式〗

　　1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180

　　4.扇形面积S=π（R^2-r^2） 5.圆锥侧面积S=πrl

圆的解析几何性质和定理

　　〖圆的解析几何方程〗

　　圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

　　圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

　　圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

　　〖圆与直线的位置关系判断〗

　　平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

　　1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

　　如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

　　如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

　　如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

　　2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1

　　当x=-C／Ax2时，直线与圆相离；

　　当x1

　　半径r，直径d

　　在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2

　　x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

　　=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F

　　=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

　　其实不用这样算 太麻烦了

　　只要保证X方Y方前系数都是1

　　就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)

　　这可以作为一个结论运用的

　　且r=根号（圆心坐标的平方和-F）

圆知识点总结

　　平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

　　圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母0表示

　　直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。用字母d表示。

　　半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。用字母r表示。

　　圆的直径和半径都有无数条。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的1／2.

　　圆的半径决定了圆的大小，圆心决定了圆的位置。

　　圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用C表示。

　　圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

　　圆周率是一个固定的数，它是一个无限不循环小数，用字母π表示。近似等于3.14。

　　直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

　　圆的面积公式：πr方，用字母S表示。

第25章 概率初步

知识框图

第26章 二次函数

知识框图

定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k

　　交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)

　　重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）

　　二次函数表达式的右边通常为二次。

　　x是自变量，y是x的二次函数

　　x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

二次函数的图像　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b²)/4a )

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　_______

　　Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)

　　7.定义域：R

　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b²)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

　　奇偶性：偶函数

　　周期性：无

　　解析式：

　　①y=ax²+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；

　　⑷Δ=b²-4ac,

　　Δ＞0，图象与x轴交于两点：

　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

　　Δ＝0，图象与x轴交于一点：

　　（-b/2a，0）；

　　Δ＜0，图象与x轴无交点；

　　②y=a(x-h)²+t[配方式]

　　此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；

　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式]

　　a≠0，此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。

[编辑本段]二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

　　即ax²+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1．二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)² +k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式

　　y=ax²

　　y=ax²+K

　　y=a(x-h)²

　　y=a(x-h)²+k

　　y=ax²+bx+c

　　

　　顶点坐标

　　(0，0)

　　(0，K)

　　(h，0)

　　(h，k)

　　(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)

　　

　　对 称 轴

　　x=0

　　x=0

　　x=h

　　x=h

　　x=-b/2a

　　

　　当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

　　2．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)．

　　3．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

　　4．抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

　　(2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0

　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；

　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

　　5．抛物线y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax²+bx+c(a≠0)．

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．

　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

第27章 相似

知识框图

相似三角形的认识

　　对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。（similar triangles）。

　　互为相似形的三角形叫做相似三角形

相似三角形的判定方法

　　根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

　　1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

　　（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）

　　2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；

　　

　　3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

　　

　　4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

　　

绝对相似三角形

　　1.两个全等的三角形一定相似。

　　

　　2.两个等腰直角三角形一定相似。

　　

　　3.两个等边三角形一定相似。

　　

　　直角三角形相似判定定理

　　1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

　　2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

　　射影定理

　　三角形相似的判定定理推论

　　推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似。

　　推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

　　推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

　　推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

　　推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

　　推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形的性质

　　1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

　　2.相似三角形周长的比等于相似比。

　　3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形的特例

　　能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（congruent triangles）

　　全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：

　　1.形状完全相同，相似比是k=1。

　　全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。

　　因此，相似三角形包括全等三角形。

　　全等三角形的定义

　　能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）

　　当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

　　由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

　　(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

　　(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

　　(3)有公共边的，公共边一定是对应边；

　　(4)有公共角的，角一定是对应角；

　　(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

　　三角形全等的判定公理及推论

　　1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

　　2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

　　3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

　　由3可推到

　　4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

　　5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)

　　所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

　　注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

　　A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。

　　全等三角形的性质

　　1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

　　2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

　　3、全等三角形的对应角平分线相等。

　　4、全等三角形的对应中线相等。

　　5、全等三角形面积相等。

　　6、全等三角形周长相等。

　　7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)

　　8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

　　9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

　　10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)

　　11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)

　　全等三角形的运用

　　1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。

　　2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

　　3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。

　　4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于工业和军事。有一定帮助。

　　全等三角形做题技巧

　　一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

　　因此我们可以来采取逆思维的方式。

　　来想要证全等，则需要什么

　　另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。

　　然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。

　　位似

　　概念：相似且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做位似。

　　位似一定相似但相似不一定位似~

第28章 锐角三角函数

知识框图

第29章 投影与视图

知识框图

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