基于凸优化技术的改进型卡尔曼滤波算法
发布时间：2022-11-23 00:40:15 来源：文档文库
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且应用技术 基于凸优化技术的改进型卡尔曼滤波算法 冯宝 （桂林航天工业学院自动化系） 摘要：为了能够在高斯噪声和稀疏噪声混合情况下对目标进行准确跟踪，提出基于凸优化的改进型卡尔曼 目标跟踪算法。改进后的方法以传统卡尔曼滤波方法为基础，结合凸优化技术，从最大后验估计理论和贝叶斯理 论的角度构建目标跟踪的优化问题，将噪声统计特性作为先验约束引入优化过程中，实现在高斯噪声和稀疏噪声 混合情况下对目标的准确跟踪。仿真实验结果证明该方法的可行性和有效性。 关键词：目标跟踪；卡尔曼滤波；凸优化 ０引言 在现代工业控制和自动化领域，目标跟踪是一个 重要研究方向【Ｉ 】。目标跟踪是为了准确获取机动目标 当前的运动状态（包括位置、速度等）。为了能够准 确地对运动目标进行跟踪，各种目标跟踪算法相继出 现。 高斯于１７９５年最早提出用最小二乘算法对神谷 星轨道进行预测，然而后续研究【ｌ】发现最ｄｘ－－乘算法 并没有用到相关参数的统计信息，因此不是最优解决 方案。２Ｏ世纪４０年代，控制理论的创始人之一美国 科学家Ｎ．Ｗｉｅｎｅｒ，根据火力控制对滤波的需要提出一 种频域中的维纳滤波方法【２】。该方法可以获取线性情 况下的最优估计，但其缺陷在于必须用到无限过去的 数据，因此需要很大的数据存储空间，且由于在频域 中设计，算法求解比较复杂，限制了维纳滤波的进一 步发展和应用。为克服维纳滤波的缺陷，Ｋａｌｍａｎ于 ２０世纪６０年代将状态空间模型引入滤波理论，并提 出了目标跟踪问题的经典算法之一：卡尔曼滤波【３ 。 卡尔曼滤波借助状态空间表示方法，利用当前时刻的 量测值和上一时刻的估计值对当前目标的状态进行 预测，并取得成功。然而卡尔曼滤波需要对数学模型 和噪声统计特性进行准确建模，且假设噪声是服从高 斯分布的。实际研究发现，卡尔曼滤波对噪声的高斯 性假设在目标跟踪中往往不能完全满足。 在实际应用中存在一种噪声，其大部分时间为 零，但是某几个时刻噪声值较大，这种噪声被称为稀 疏噪声（野点噪声），服从拉普拉斯分布。稀疏噪声 的产生通常是由于传感器故障、观测异常或者一些故 意干扰造成的。当用传统卡尔曼方法处理稀疏噪声 时，由于卡尔曼滤波器会将稀疏噪声看作高斯噪声来 分析，导致目标跟踪精度严重下降，甚至使滤波结果 严重偏离，导致滤波器发散【 。 为克服这一问题，本文以凸优化技术为基础，提 出基于凸优化的改进卡尔曼滤波方法。改进后的方法 在状态空间方程构建过程中加入稀疏噪声项，并从最 大后验概率估计理论的角度构建卡尔曼滤波的优化 模型，通过利用稀疏噪声的稀疏特性，解决了稀疏噪 声和高斯噪声混合下的目标跟踪问题。此外，采用凸 优化技术构建算法，可以借助其成熟的算法解决方案 （如内点法），提高算法的求解效率，同时也有利于 算法在实际工程应用中的推广。 １基于卡尔曼滤波的目标跟踪 卡尔曼滤波的目标跟踪系统模型可用式（１）表示 １＂［－Ｗｔ －ｙｔ＝ｃｘ，＋ （１） 其中， ∈Ｒ 表示ｔ时刻目标的状态向量；Ｘｔ ∈Ｒ 表示 １时刻目标的状态向量： ∈Ｒ肘是ｔ时刻目 标的观测向量（Ⅳ表示状态向量中变量的个数： 表 示观测向量中变量的个数）；Ａ和Ｃ分别是系统状态 转移矩阵和量测矩阵；ｗｔ∈Ｒ 表示系统的状态噪 声；ｖｔ∈Ｒ肘表示量测噪声。通常情况下，假设 和 ２０１４年第３５卷第５期自动化与信息工程ｌ９
１， 都服从高斯分布。 用卡尔曼滤波进行目标跟踪的主要任务是根据 目标量测值 估计目标状态向量ｘ，。通过式（１）中的 状态方程和量测方程可知，在状态转移矩阵 和量测 矩阵Ｃ己知的情况下，可以通过最小方差估计方法， 得到状态向量的递推公式，进而得到对状态向量的估 计值 。整个估计过程可以归纳为以下２个步骤： １）时间更新过程。用 和 分别表示状态向 量Ｘ 在ｔ和 ｌ时刻的估计值，则卡尔曼时间更新过 程可以表示为 Ｘｆｌｌ ＝ＡＸ ｆ＿ｌ （２） 时间更新过程主要是在ｔ时刻量测值 未知情况 下，根据 ｌ时刻的量测值 １来进一步预测ｔ－Ｉ时刻 的状态值，达到对当前时刻状态值进行估计的目的。 ２１量测更新过程。在量测更新过程中，ｔ时刻的 量测值 己知。因此，量测更新过程可以表示为 Ｘｔｌｔ：Ｘｔｌｔ一１＋∑Ｃ （ＣＺＣ ＋ ） （ 一Ｃｘｔｔｌ一１） （３） 其中，∑是预测状态协方差；（ 一Ｃｘ ｊ ）表示新 息： 表示ｖ，对应的噪声协方差矩阵。重复上述２ 个步骤，在不断迭代之后，可以逐步缩小目标的跟踪 误差，最终达到对目标状态进行准确估计的目的。 ２适合多类型噪声的改进卡尔曼算法 在实际应用中，噪声是不可避免的，而且噪声也 是多种多样的。为使卡尔曼算法能够获得在复杂噪声 （如稀疏噪声混合高斯噪声）情况下的目标跟踪能 力，首先对式（１）进行调整： Ｘｔ １＋ －ｆ４１ ：Ｃｘ，＋ ＋Ｚｔ 其中ｚ．表示稀疏噪声。 为了方便从优化的角度理解卡尔曼算法，利用凸 优化技术 】，根据最大后验估计理论和贝叶斯理论， 将采用状态空间表达式来表示的传统卡尔曼理论式 （４），进一步表达为一个凸优化的形式 ２０ ｍｉｎ ＿。 ＋（ —Ｘ ）Ｔ∑－１（ｘ—Ｘ ） ＋￣ｌｌｚ／ｌ （５） Ｓ．ｔ．Ｙｔ＝Ｃｘ＋ｖ，＋ 其中， 是一个控制ｚ 稀疏性的调节参数。 为了能够清晰地反映改进卡尔曼算法和传统卡 尔曼算法的联系和区别，对优化式（５）的形式做进一步 的研究。首先，￣ＳＬｖ，＝ 一Ｃｘ—Ｚｔ，则式（５）中优化 目标函数可以进一步表示为 Ｆ（ｘ，Ｚ，） 一ｃ ～Ｚ，）Ｔ （ 一Ｃｘ一 ＋ＩＩｚ，ＩＩ 