2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文科）

一．（本题满分9分）

求函数y=2x2-2x+1的极小值word/media/image1.emf

解略：x=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png时，y取最小值93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

二．（本题满分9分）

化简[（1+sin2θ)2-cos4θ][(1+cos2θ)2-sin4θ]word/media/image1.emf

解：原式=(1+sin2θ+cos2θ)(1+sin2θ-cos2θ)

·(1+cos2θ+sin2θ)(1+cos2θ-sin2θ)

=4(1-cos2θ)(1+cos2θ)=4sin2 2θ

三．（本题满9分）

甲，乙二容器内都盛有酒精word/media/image1.emf甲有V1公斤，乙有V2公斤word/media/image1.emf甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2word/media/image1.emf问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？

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0d71deaeee4ff38088572f71de549f93.png

四．（本题满分9分）

叙述并且证明勾股定理word/media/image1.emf

解：略word/media/image1.emf

五．（本题满分14分）

外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域word/media/image1.emf设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=βword/media/image1.emf问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？

P

A α β B

C

解：作PC⊥AB于C，设PC=d，

在直角三角形PAC中，AC=d·ctgα在直角三角形PC中，BC=d·ctgβ

∴S=AC+BC=d（ctgα+ctgβ）word/media/image1.emf

当d≤D，即ctgα+ctgβ≥b5ad577e5ac7163127e4fb9e8d99203a.png时，应向外国船发出警告word/media/image1.emf

六．（本题满分14分）

美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3,ln10=2.3)

解：年增长率x应满足

100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.

取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.

又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61

利用ln(1+x)≈x,则有

x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%

答：每年约增长百分之四word/media/image1.emf

C

E

F

A B

D

七．（本题满分18分）

设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点Bword/media/image1.emf求证：9d3447f20c6e37c50b92e4a78f2032b4.png

证：连接CDword/media/image1.emf因∠CFD=900，所以CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，

∴CD⊥ABword/media/image1.emf又在直角三角形ABC中，∠ACB=900，

∴AC2=AD·AB，BC2=BD·BAword/media/image1.emf

又因 BD2=BC·BF，AD2=AC·AEword/media/image1.emf

由（1）与（2）得

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