2008年普通高校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
1. word/media/image1_1.png的最小正周期为
word/media/image2_1.png，其中
word/media/image3_1.png，则
word/media/image4_1.png ▲ 。
【解析】本小题考查三角函数的周期公式。word/media/image5_1.png。
答案10
2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 ▲ 。
【解析】本小题考查古典概型。基本事件共word/media/image6_1.png个，点数和为4的有
word/media/image7_1.png、
word/media/image8_1.png、
word/media/image9_1.png共3个，故
word/media/image10_1.png。
答案
3.word/media/image12_1.png表示为
word/media/image13_1.png
word/media/image14_1.png，则
word/media/image15_1.png= ▲ 。
【解析】本小题考查复数的除法运算， word/media/image16_1.png，因此
word/media/image15_1.png=1。
答案1
4. word/media/image17_1.png则
word/media/image18_1.png的元素个数为 ▲ 。
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由word/media/image19_1.png得
word/media/image20_1.png
因为，所以
word/media/image22_1.png，因此
word/media/image23_1.png，元素的个数为0。
答案0
5.word/media/image24_1.png的夹角为
word/media/image25_1.png，
word/media/image26_1.png，则
word/media/image27_1.png ▲ 。
【解析】本小题考查向量的线形运算。
因为word/media/image28_1.png ，所以
word/media/image29_1.png=49。
word/media/image30.gif因此
word/media/image27_1.png7。
答案7
6.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为 ▲ 。
【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。
答案 word/media/image33_1.png
word/media/image34.gif7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。
在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是 ▲ 。
【解析】本小题考查统计与算法知识。
答案6.42
8.直线word/media/image37_1.png是曲线
word/media/image38_1.png的一条切线，则实数
word/media/image39_1.png ▲ 。
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。word/media/image40_1.png，令
word/media/image41_1.png得
，故切点为
word/media/image43_1.png，代入直线方程，得
word/media/image44_1.png，所以
word/media/image45_1.png。
答案word/media/image45_1.png
9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为word/media/image46_1.png，点
word/media/image47_1.png在线段OA上（异于端点），设
word/media/image48_1.png均为非零实数，直线
word/media/image49_1.png分别交
word/media/image50_1.png于点E，F，一同学已正确算出
word/media/image51_1.png的方程：
，请你求OF的方程： ▲ 。
【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。
事实上，由截距式可得直线word/media/image54_1.png，直线
word/media/image55_1.png，两式相减得
，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。
答案。
10.将全体正整数排成一个三角形数阵：
word/media/image56_1.png
按照以上排列的规律，第word/media/image57_1.png行
word/media/image58_1.png从左向右的第3个数为 ▲ 。
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前word/media/image59_1.png行共用了
word/media/image60_1.png
word/media/image61_1.png个数，因此第
word/media/image57_1.png行
word/media/image58_1.png从左向右的第3个数是全体正整数中的第
word/media/image62_1.png个，即为
。
答案
11.word/media/image64_1.png的最小值为 ▲ 。
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由word/media/image65_1.png得
word/media/image66_1.png，代入
word/media/image67_1.png得
word/media/image68_1.png，当且仅当
word/media/image69_1.png时取“=”。
答案3。
12.在平面直角坐标系中，椭圆word/media/image70_1.png的焦距为2，以O为圆心，
word/media/image71_1.png为半径的圆，过点
word/media/image72_1.png作圆的两切线互相垂直，则离心率
word/media/image73_1.png= ▲ 。
【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又
word/media/image75_1.png，所以
word/media/image76_1.png是等腰直角三角形，故
word/media/image77_1.png，解得
word/media/image78_1.png。
答案word/media/image79_1.png
13.若word/media/image80_1.png，则
word/media/image81_1.png的最大值 ▲ 。
【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。
因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为word/media/image82_1.png轴，其中垂线为
word/media/image83_1.png轴建立直角坐标系，则
，设
word/media/image85_1.png，由
word/media/image86_1.png可得
word/media/image87_1.png，化简得
word/media/image88_1.png，即C在以（3，0）为圆心，
word/media/image89_1.png为半径的圆上运动。又
word/media/image90_1.png。
答案word/media/image89_1.png
14.word/media/image91_1.png对于
word/media/image92_1.png总有
word/media/image93_1.png成立，则
word/media/image94_1.png= ▲ 。
【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。
要使word/media/image93_1.png恒成立，只要
word/media/image95_1.png在
上恒成立。
word/media/image97_1.png
word/media/image98_1.png 当
word/media/image99_1.png时，
word/media/image100_1.png，所以
word/media/image101_1.png，不符合题意，舍去。
word/media/image102_1.png当
word/media/image103_1.png时
word/media/image104_1.png，即
word/media/image105_1.png单调递减，
word/media/image106_1.png，舍去。
当
word/media/image108_1.png时
word/media/image109_1.png
1 若word/media/image110_1.png时
word/media/image111_1.png在
word/media/image112_1.png和
word/media/image113_1.png上单调递增，
在word/media/image114_1.png上单调递减。
所以word/media/image115_1.png
word/media/image116_1.png
2 当时
word/media/image111_1.png在
word/media/image92_1.png上单调递减，
word/media/image118_1.png，不符合题意，舍去。综上可知a=4.
答案4。
15.如图，在平面直角坐标系word/media/image119_1.png中，以
word/media/image120_1.png轴为始边做两个锐角
word/media/image121_1.png，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
word/media/image122_1.png。
（1） word/media/image123.gif求
word/media/image124_1.png的值； （2） 求
word/media/image125_1.png的值。
【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得word/media/image126_1.png，
word/media/image127_1.png为锐角，
故。同理可得
word/media/image129_1.png，
因此word/media/image130_1.png。
（1）word/media/image131_1.png。
（2）word/media/image132_1.png，
word/media/image133_1.png
word/media/image134_1.png，从而
word/media/image135_1.png。
16．在四面体ABCD中，CB=CD，word/media/image136_1.png，且E，F分别是AB，BD的中点，
word/media/image137_1.png求证（I）直线
；
（II）word/media/image139_1.png。
证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点word/media/image140_1.png
word/media/image141_1.png。
（II）word/media/image142_1.png又
word/media/image143_1.png，
所以word/media/image139_1.png
word/media/image144.gif17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知
word/media/image145_1.pngkm,
word/media/image146_1.png,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。
（I）按下列要求写出函数关系式：
1 设word/media/image147_1.png，将
word/media/image148_1.png表示成
的函数关系式；
2 设word/media/image150_1.png，将
word/media/image148_1.png表示成
word/media/image151_1.png的函数关系式。
（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。
【解析】本小题考查函数最值的应用。
（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，word/media/image147_1.png，则
word/media/image152_1.png
故word/media/image153_1.png，又
word/media/image154_1.png，所以
word/media/image155_1.png
word/media/image156_1.png。
②word/media/image150_1.png，则
word/media/image157_1.png，所以
word/media/image158_1.png，
所以所求的函数关系式为。
（II） 选择函数模型①。
word/media/image160_1.png。
令word/media/image161_1.png得
word/media/image162_1.png，又
word/media/image163_1.png，所以
word/media/image164_1.png。
当word/media/image165_1.png时，
word/media/image166_1.png，
word/media/image167_1.png是
word/media/image168_1.png的减函数；
word/media/image169_1.png时，
，
word/media/image167_1.png是
word/media/image168_1.png的增函数。
所以当word/media/image164_1.png时
word/media/image171_1.png。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边
word/media/image172_1.png处。
18.设平面直角坐标系word/media/image119_1.png中，设二次函数
word/media/image173_1.png的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。
（1） 求实数word/media/image174_1.png的取值范围；
（2） 求圆word/media/image175_1.png的方程；
（3） 问圆word/media/image175_1.png是否经过某定点（其坐标与
word/media/image176_1.png无关）？请证明你的结论。
【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。
（1）word/media/image177_1.png
（2） 设所求圆的方程为word/media/image178_1.png。
令word/media/image179_1.png
得
word/media/image181_1.png
又word/media/image182_1.png时
word/media/image183_1.png，从而
word/media/image184_1.png。
所以圆的方程为word/media/image185_1.png。
（3）word/media/image186_1.png整理为
word/media/image187_1.png，过曲线
word/media/image188_1.png与
word/media/image189_1.png的交点，即过定点
word/media/image190_1.png与
。
19.（I）设word/media/image192_1.png是各项均不为零的等差数列
word/media/image193_1.png，且公差
word/media/image194_1.png，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
1 当时，求
word/media/image196_1.png的数值；②求
word/media/image197_1.png的所有可能值；
（II）求证：对于一个给定的正整数word/media/image193_1.png，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
word/media/image198_1.png，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。
【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。
（I）①当时，
word/media/image199_1.png中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则
word/media/image200_1.png。
若删去word/media/image201_1.png，则有
word/media/image202_1.png，即
word/media/image203_1.png，化简得
word/media/image204_1.png；
若删去，则有
word/media/image206_1.png，即
word/media/image207_1.png，化简得
word/media/image208_1.png。
综上可知word/media/image209_1.png。
2 当word/media/image210_1.png时，
word/media/image211_1.png中同样不可能删去首项或末项。
若删去word/media/image201_1.png，则有
word/media/image212_1.png，即
word/media/image213_1.png，化简得
word/media/image214_1.png；
若删去，则有
word/media/image215_1.png，即
，化简得
word/media/image217_1.png，舍去；
若删去word/media/image218_1.png，则有
word/media/image219_1.png，即
word/media/image220_1.png，化简得
word/media/image221_1.png。
当word/media/image222_1.png时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列
word/media/image223_1.png中，由于不能删去首项和末项，若删去
word/media/image224_1.png，则必有
word/media/image225_1.png，这与
word/media/image194_1.png矛盾；同样若删去
，也有
word/media/image227_1.png，这与
word/media/image194_1.png矛盾；若删去
word/media/image228_1.png中的任意一个，则必有
word/media/image229_1.png，这与
word/media/image194_1.png矛盾。综上可知
word/media/image230_1.png。
（3） 略
20.若word/media/image231_1.png为常数，且
word/media/image232_1.png
(I) 求word/media/image233_1.png对所有的实数
word/media/image234_1.png成立的充要条件（用
word/media/image235_1.png表示）；
(II) 设word/media/image236_1.png为两实数，
且
word/media/image238_1.png，若
word/media/image239_1.png，求证：
word/media/image240_1.png在区间
word/media/image241_1.png上的单调增区间的长度和为
word/media/image242_1.png（闭区间
word/media/image243_1.png的长度定义为
word/media/image244_1.png）。
【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。
（I）word/media/image233_1.png恒成立
word/media/image245_1.png
word/media/image246_1.png
若，则
word/media/image248_1.png，显然成立；若
word/media/image249_1.png，记
word/media/image250_1.png
当word/media/image251_1.png时，
word/media/image252_1.png，
所以word/media/image253_1.png，故只需
word/media/image254_1.png；
当word/media/image255_1.png时，
word/media/image256_1.png，
所以，故只需
。
（II）word/media/image259_1.png如果
word/media/image260_1.png，则
word/media/image233_1.png的图象关于直线
word/media/image261_1.png对称，
因为word/media/image262_1.png，所以区间
word/media/image263_1.png关于直线
word/media/image261_1.png对称。
因为减区间为word/media/image264_1.png，增区间为
word/media/image265_1.png，所以单调增区间的长度和为
word/media/image266_1.png。
word/media/image267_1.png如果
，结论的直观性很强。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/bd88ace8a4e9856a561252d380eb6294dc8822d6.html
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