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2019年考研数学二真题与解析

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2019年考研数学二真题解析
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．
1．当x0时，若xtanx与xk是同阶无穷小，则k（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
【答案】（C）
131
xo(x3，所以xtanxx3o(x3，所以k3．333
2．曲线yxsinx2cosx(x的拐点是（）
22
33
（A）(0,2（B）(,2（C）(,（D）(,
2222
【详解】当x0时，tanxx【答案】（D）
【详解】yxsinx2cosx，yxcosxsinx，yxsinx，ysinxxcosx；令yxsinx0得x10,x2，且f(0，所以(,2是曲线的拐点；而对于点(0,0，由于f(00，而f
(4
(00，所以不是曲线的拐点．
3．下列反常积分发散的是（）
（A）


0
xedx（B）
x

0
xexdx(C）
2

0
arctanxx
dxdx（D）2201x1x
【答案】（D）
xx1
【详解】（1）当x时，f(x是关于的一阶无穷小，当然01x2dx发散；1x2x
x1x2
dxln(x1|dx发散．，当然02201x21x
x
（2）用定义：


0
xx
4．已知微分方程yaybyce的通解为y(C1C2xee，则a,b,c依次为（）
（A）1,0,1（B）1,0,2(C）2,1,3（D）2,1,4【答案】（D）
2【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出r1r21是特征方程rarb0的实根，从而确定
a2,b1；
（2）显然，y*e是非齐次方程的特解，代入原方程确定c4．5．已知平面区域D{(x,y|xy

x

2
}，记I1x2y2dxdy，I2sinx2y2dxdy，
D
D
1

I3(1cosx2y2dxdy，则（）
D
（A）I3I2I1（B）I2I1I3（C）I1I2I3（D）I2I3I1【答案】（A）

【详解】（1）显然在区域D0x2y2，此时由结论当x0时xsinx知道
2sinx2y2x2y2，所以I1I2；
（2）当x0时，令f(x1cosxsinx，则f(xsinxcosx，f(xsinxcosx；令f(x0得到在(0,
2

2
唯一驻点x

4
，且f

0，也就是在取得f(x1cosxsinxx44
极小值f

0，在同时取得在上的最大值x0,x[0,]f(0f(0，也就有了结论，当
2224
x(0,时，1cosxsinx，也就得到了I3I2；
2
由（1）、（2）可得到I3I2I1．
6．设函数f(x,g(x的二阶导函数在xa处连续，则lim
xa

f(xg(x
0是两条曲线yf(x，2
(xa
yg(x在xa对应的点处相切及曲率相等的（）
（A）充分不必要条件（B）充分必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】（A）【详解】充分性：（1）当lim
xa
f(xg(x
0进，由洛必达法则，2
(xa
0lim
xa
f(xg(x1f(xg(x1
lim(f(ag(af(ag(a2xa(xa2xa2
也就是两条曲线在xa对应的点处相切；（2）0lim
xa
f(xg(x1f(xg(x1lim(f(ag(af(ag(a2xa(xa2xa2
由曲率公式k
y(1y
23
可知两条曲线在xa对应的点处曲率相等．
必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到f(ag(a，但在相切前提下，曲率相等，只能得到
2

f(ag(a，不能确定f(ag(a，当然得不到lim
xa
f(xg(x
0．2
(xa
7．设A是四阶矩阵，A*为其伴随矩阵，若线性方程组Ax0的基础解系中只有两个向量，则r(A*（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
【答案】（A）
【详解】线性方程组Ax0基础解系中只有两个向量，也就是4r(A2r(A2n13，所以r(A*0．
8．设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2A2E，且A4，则二次型xTAx的规范形是（）
222222222222（A）y1y2y3（B）y1y2y3（C）y1y2y3（D）y1y2y3
【答案】（C）
【详解】假设是矩阵A的特征值，由条件AA2E可得220，也就是矩阵A特征值只可能是1和2．而A1234，所以三个特征值只能是11,232，根据惯性定理，二次型的
222
规范型为y1y2y3．
2
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．limx2
x0

x

2x
．
【答案】4e2
解：limx2
x0

2xx
lim1x2x1e
x0
2x
2(x2x1x0xlim
e2(1ln24e2

xtsint3
10．曲线在t对应点处的切线在y的截距为．
2y1cost
【答案】2【详解】
3
2
dysintdy33,|31，所以切线方程为y1(x1x2，在y的截距为dx1costdxt222
2
3．2
y2zz
2xy.11.设函数f(u可导，zyf，则
xyx

3

y2zz
yyf【答案】2xxyx
y22y2y2y2zy3y2zzz2f,ff，2xyyf．【详解】xxxyxyxxxx

12．曲线ylncosx(0x【答案】

6
的弧长为．
1ln32
【详解】ds1y2dx1tan2xdxsecxdx
16
s6secxdxln(secxtanx|0ln3.
02
13．已知函数f(xx【答案】


x
1
1sint2
dt，则f(xdx．
0t
1
(cos11．4
1sint2
f(xdxxf(x|xf(xdx(xdtdxxsinx2dx0010t
111xsint2
(dtdx2xsinx2dx
0201t
2
xsint1111122
x2dt|1xsinxdxxsinxdx01002t2211cosx2|1(cos11044
1
0
1
1
x
【详解】（1）用定积分的分部积分：

1
0
（2）转换为二重积分：

1
0
22
11sint1sinttxsint2111
f(xdxxdtdxxdxdtdtxdxtsint2dt(cos11
00x00tt2041t
1
1100
2111，A表示元素a的代数余子式，则AA．14．已知矩阵Aijij111232210034
【答案】4
1
【详解】A11A12A11A120A130A14
1120
4
0123
01144．
230



三、解答题
2x,x0x
15．（本题满分10分）已知函数f(x，求f(x，并求函数f(x的极值．
xxe1,x0
【详解】当x0时，f(xx
x
2x
e2xlnx，f(x2x2x(lnx1；
x
当x0时，f(xxe1，f(x(x1e；
f(xf(0x2x12x2x(lnx1limlim，所以f(x在x0处不在x0处，f(0lim
x0x0x0xx1
可导．
2x2x(lnx1,x0
综合上述：f(x；
x
(x1e,x0
令f(x0得到x11,x2
1
．e
11时，f(x0，当x时，f(x0；ee
当x1时，f(x0，当1x0时，f(x0，当0x
1
故x11是函数的极小值点，极小值为f(11e；x0是函数的极大值点，极大值为f(01；
2
11
x2是函数的极小值点，极小值为f(ee．
ee
16．（本题满分10分）求不定积分【详解】
3x6
(x12(x2x1dx．
3x6232x13d(x2x122dx2lnx12(x12(x2x1dxxx1x1xx1x1(x1
2lnx1
3
ln(x2x1Cx1

17．（本题满分10分）设函数y(x是微分方程yxy（1）求y(x的表达式；
12x
e满足条件y(1e的特解．
x2
2
（2）设平面区域D{(x,y|1x2,0yy(x}，求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．
先求解对应的线性齐次方程yxy0的通解：yCe，其中C为任意常数；
x2
2
5

再用常数变易法求yxy
x22
x22
12x
e
x22
通解，设yC(xe
x22
为其解，代入方程，得
x22
C(xe
12x
e,C(x
12x
，C(x
2
2
1x
dxxC1，也就是通解为：y(xC1e
x22
把初始条件y(1
e代入，得C10，从而得到y(xxe.
（2）旋转体的体积为Vx

2
1
y(xdxxexdx
1
2
2

2
(e4e．
23
4
18．（本题满分10分）设平面区域D{(x,y|xy,(xyy}，计算二重积分
2

D
xyxy
2
2
dxdy．
【详解】显然积分区域D{(x,y|xy,(xyy}关于y轴对称，由对称性，显然
2234

D
xxy
2
2
dxdy0；xyxy
2
2

D
dxdy
D
yxy
2
2
dxdyd
4
3
4
sin2
0
134432
rsindrsin5d
24120x
19．（本题满分10分）设n是正整数，记Sn为曲线求曲线ye面积，求Sn，并求limSn.
n
sinx(0xn与x轴所形成图形的
【详解】先求曲线与x轴的交点：令exsinx0得xk,k0,1,2,Ln当2kx(2k1时，ye由不定积分exsinxdx
x
sinx0；当2kx(2k2时，yexsinx0．

1x
e(sinxcosxC可得2

2k
2k
2k211
exsinxdxe2k(1e，exsinxdxe2k(1e
2k22
所求面积为Sn当n为奇数时，

n
0
exsinxdx．
n
n
S2n1

(2n1
0
e
x
sinxdx
k0
n
2k
2k
esinxdx
x
k0
2k2
2k
exsinxdx

n
12k1
e(1ee2k(1ek02k02
2(n11n2k111e221e2(n1e(1e(1e(1e22k021e21e(2n
同理：S2n


0
e
x
11esinxdx(1e2n
21e
6

11e11e
显然，有limS2n1limS2n．所以limSn．nnn21e21e
2u2uu
0．求a,b的值，使得在变换20．（本题满分11分）已知函数u(x,y满足关系式22223
xyyu(x,yv(x,yeaxby之下，上述等式可化为函数v(x,y的不含一阶偏导数的等式．
【详解】在变换u(x,yv(x,ye
axby
之下
uvaxbyuvaxby
ebv(x,yeaxby,eav(x,yeaxby，
yyxx
2u2vaxbyvaxby2axby
e2aeav(x,ye，22xxx
2u2vaxbyvaxby2axby
e2bebv(x,ye；22yyy2u2uu
0，得到把上述式子代入关系式22223
xyy
2v2vvv
22224a(34b(2a22b23bv(x,y0xyxy
根据要求，显然当a0,b21．（本题满分11分）
已知函数f(x在0,1上具有二阶导数，且f(00,f(11，（1）至少存在一点(0,1，使得f(0；（2）至少存在一点(0,1，使得f(2．证明（1）令(x
3
时，可化为函数v(x,y的不含一阶偏导数的等式．4

1
0
f(xdx1，证明：

x
0
f(tdt，则(00,(1f(xdx1，
0
1
则由于f(x在0,1连续，则(x在0,1上可导，且(xf(x，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1，使得((1(0，也就是1f(xdxf(1f(1；
01
对f(x在1,1上用罗尔定理，则至少存在一点(1,1(0,1，使得f(0；
2
（2）令F(xf(xx，则显然，F(x在0,1具有二阶导数，且F(00,F(12,F(111．
2
对F(x分别在0,1,1,1上用拉格朗日中值定理，

7

F(1F(0112
至少存在一点1(0,1，使得F(1；
101
至少存在一点2(1,1，使得F(2
F(1F(1
11；
11
对F(xf(x2x在1,2上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点(1,2(0,1，使得
F(
F(2F(11
0，也就是f(2．
2121
1
1
22．（本题满分11分）
111

已知向量组Ⅰ：11,20,32；
44a23
101
向量组Ⅱ：11,22,33．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a的值，并将
a31aa23
3用1,2,3线性表示．
【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是
r(1,2,3r(1,2,3r(1,2,3;1,2,3
110111110111

(1,2,3;1,2,3102123011022
44a23a31aa2300a21a11aa21
（1）当a1时，显然，r(1,2,3r(1,2,3r(1,2,3;1,2,32，两个向量组等价．
11111023此时，(1,2,3;301120112，00000000
方程组
x11x22x33
的通解为
x123
xx2k12x103
，也就是
3(2k31(k22k3，其中k为任意常数；
（2）当a1时，继续进行初等行变换如下：
8

110111110111

(1,2,3;1,2,3011022011022
00a21a11aa2100a111a1
显然，当a1且a1时，r(1,2,3r(1,2,3;1,2,33，
110110110
2022011，r(1,2,33，也就是同时1,2,302
11a101a00a1
r(1,2,3r(1,2,3r(1,2,3;1,2,32，两个向量组等价．
这时，3可由1,2,3线性表示，表示法唯一：3123．
221210

23．（本题满分11分）已知矩阵A2x2与B010相似．
00y002

（1）求x,y之值；（2）求可逆矩阵P，使得P1APB．
2(2x42yx3AB
【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：，即，解得．
4x1yy2trAtrB
2
（2）解方程组EA2
212
(2(2(10得矩阵A的三个特征值
3
0
02
12,21,32；
分别求解线性方程组(iEAx0(i1,2,3得到分属三个特征值12,21,32的线性无关
111

的特征向量为：12,21,32．
004
11121
12，则P1可逆，且P1令P11,2,321AP；0042
同样的方法，可求得属于矩阵B的三个特征值12,21,32的线性无关的特征向量为：
110
10,3,230．
0014

9

11021
1令P21,2,3030，则P2可逆，且P2BP；
0012111
111
12，就满足P1APB．由前面P1AP1P2BP2，可知令PPP122
004
10

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c194aee81837f111f18583d049649b6649d7091b.html

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