第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
一、三角形的边
三角形:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,叫做三角形。
注意点:
(1)三条线段(2)不在同一直线上(3)首尾顺次相接
三角形的表示:三角形用符号“△”表示,记作“△ ABC”,
读作“三角形ABC”,除此△ ABC还可记作△BCA,
△ CAB, △ ACB等.
三角形的分类:
等腰三角形:两边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边都叫腰,另一边叫做底,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。
三角形中三边的关系:三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边。(在做题时,不仅要考虑到两边之和大于第三边,还必须考虑到两边之差小
于第三边.)
二、三角形的高、中线与角平分线
三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,叫做三角形这边的高,简称三角形的高。
1、
2、 直角三角形的三条高交于直角顶点.
3、 钝角三角形的三条高不相交于一点。钝角三角形的三条高所在
直线交于一点。
总结:
三角形的三条高的特性
锐角三角形 | 直角三角形 | 钝角三角形 | |
高在三角形内部的数量 | 3 | 1 | 1 |
高所在的直线是否相交 | 相交 | 相交 | 相交 |
高之间是否相交 | 相交 | 相交 | 不相交 |
三条高所在直线的交点的位置 | 三角形内部 | 直角顶点 | 三角形外部 |
三角形的中线:在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫
做这个三角形这边的中线.
三角形中线的符号语言:
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =1/2 BC
∵AD是 △ ABC的角平分线
∴∠BAD = ∠CAD =1/2∠BAC
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部
三、三角形的稳定性
三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性
11.2 与三角形有关的角
四、三角形的内角
三角形的内角:三角形两边的夹角叫做三角形的内角。
三角形内角和定理:三角形的内角和等于1800.
直角三角形的两个锐角互余.
由三角形内角和定理可得:有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.
例:已知△ABC中,∠ABC=∠C=2∠A ,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数。
A
D
B C
小结:由三角形内角和等于180°,可得出
(1)直角三角形两锐角互余;
(2)一个三角形最多有一个直角或钝角;
(3)任意一个三角形中,最多有三个锐角,最少有两个锐角;
(4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°。
五、三角形的外角
三角形的外角:三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角.三角形的外角和等于360°。
三角形外角的两条性质:
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
11.3 多边形及其内角和
六、多边形
多边形:在平面内,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角和外角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角;多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. n边形有n个内角,2n个(n对)外角
多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
正多边形:如果多边形的各个角都相等,各条边都相等,那么就称它为正多边形.
多边形的内角和与外角和:一般地,从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线,它们将n边形分为(n-2)个三角形,n边形的内角和等于(n-2)·180°.多边形的外角和等于360o.
第十二章 全等三角形
一、全等三角形
全等形:形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。两个图形全等,它们的形状一定相同 ,大小一定相等!
全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。其中:互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。
全等的表示:.“全等”用符号“ ≌ ”来表示,读作全等于。书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上
全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
二、全等三角形的判定
判定定理1:三边对应相等的两个三角形全等。(简写为“边边边”或“SSS”)
判定定理2:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。(简写为“边角边”或“SAS”)
判定定理3:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”)
判定定理4:两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。(简写成“角角边”或“AAS”)
判定定理5(直角三角形):斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
证明的书写步骤:
①准备条件:证全等时要用的条件要先证好;
②三角形全等书写三步骤:
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
求证:△ABC≌ △ADC
证明:在△ABC和△ADC中
AB=AD (已知)
BC=DC (已知)
AC=AC (公共边)
∴ △ABC ≌ △ADC(SSS)
尺规作角的平分线:
1. 以O为圆心,适当长为半径作弧,
交OA于M,交OB于N.
2. 分别以M,N为圆心.大于 1/2 MN
的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.
3.作射线OC.
射线OC即为所求.
1、 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
用数学语言表示为:
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD=QE
2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为:
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE.
∴点Q在∠AOB的平分线上.
第十三章 轴对称
一、轴对称
轴对称图形:把一个图形沿着某一条直线翻折,如果直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就是轴对称图形。这条直线是这个图形的对称轴。
轴对称:平面上的两个图形,将其中一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称, 简称轴对称,这条直线叫对称轴。两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做关于这条直线的对称点。
注意:如果一点在对称轴上,它的对称点就是它本身。
例:判断:
1、轴对称图形必有对称轴 ( )
2、轴对称图形至少有一条对称轴 ( )
3、关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合( )
4、两个完全互相重合的图形必是轴对称( )
垂直平分线:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
图形轴对称的性质:
1、 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
2、 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
二、线段的垂直平分线的性质:
1、 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
2、 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
尺规作线段的垂直平分线(p63)
三、画轴对称图形
例:如图,已知△ABC和直线l,作出与△ABC
关于直线l对称的图形。
作法:
(1) 过点A作直线l的垂线,垂足为点O,在垂
线上截取OA′=OA,点A′就是点A关于直
线l的对称点。
(2) 过点B作直线l的垂线,垂足为点P,在垂线
上截取PB′=PB,点B′就是点B关于直线l的对称点。
(3) 过点C作直线l的垂线,垂足为点M,在垂线上截取MC′=MC,点C′就是点C关于直线l的对称点。
(4) 连接A′B′、B′C′、C′A′,得到△A′B′C′即为所求。
作图步骤:
1、找特征点 2、作垂线 3、截取等长 4、依次连线
四、等腰三角形
等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做
底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
等腰三角形的性质:
性质1:等腰三角形的两底角相等。(简写成“等边对等角” )
性质2:等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合。(简称“三线合一” )
例:在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ ABC各角的度数
解:AB=AC,BD=BC=AD,
∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC
∠ A= ∠ ADD(等边对等角)
设A=x,则
∠ BDC= ∠ A+ ∠ ABD=2x
从而∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC=2x
于是在△ ABC中,有
∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C=x+2x+2x=1800.
解得x=360
在△ ABC中, ∠ A=360 ∠,ABC= ∠ C=720
等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(简写成“等角对等边”)
五、等边三角形
等边三角形:三边相等的三角形,叫做等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。
等边三角形的性质:
(1) 边三角形的三边都相等;
(2) 边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。
(3) 等边三角形的内角都相等,且都等于60 °。
等边三角形的判定定理:
1、三边相等的三角形是等边三角形.
2、三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
直角三角形的性质:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么它所
对的直角边等于斜边的一半。即在Rt△ABC 中,如果
∠ACB=90°,∠A=30 °,那么BC=1/2 AB
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
一、同底数幂的乘法
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即am·an=am+n (m,n都是正整数)
二、幂的乘方
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
即(am)n=amn (m,n都是正整数)
三、积的乘方
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
即(ab)n=an b n(n是正整数)
四、整式的乘法
单项式乘以单项式:
单项式相乘,把它们的系数相乘、字母部分的同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
例:
单项式乘以多项式:
用单项式分别去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
例:
注意:
1、单项式乘多项式的结果仍是多项式,积的项数与原多项式的项数相同。
2、在单项式乘法运算中要注意系数的符号。
3、不要出现漏乘现象,运算要有顺序。
多项式乘以多项式:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得积相加。
例:(3x+1)(x+2)
=(3x)·x+(3x)·2+1·x+1·2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2
五、同底数幂相除
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
即:am/an=am-n (a不等于0,m,n都是正整数,且m>n)
规定:a0=1 (a不等于0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.
六、单项式除以单项式
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
例: 28x4y2 / 7x3y =(28/7)·x4-3·y2-1 =4xy
七、多项式除以单项式
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
例:(12a3-6a2+3a)/3a = 12a3/3a-6a2/3a+3a/3a = 4a2-2a+1
14.2 乘法公式
八、平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 这个公式叫做(乘法的)平方差公式.
即:(a+b)(a-b) = a2-b2
例: 运用平方差公式计算:
(3x+2) (3x-2) = (3x)2-22 = 9x2-4
(b+2a)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2
(-x+2y) (-x-2y) = (-x)2-(2y)2 = x2-4y2
九、完全平方公式
两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。即:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式。
14.3 因式分解
十、 因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。即:一个多项式 →几个整式的积
注意:必须分解到每个多项式因式不能再分解为止
例:X2-1=(x+1)(x-1)
十一、 分解因式的方法:
1、 提取公因式法
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
即: ma + mb + mc = m(a+b+c)
例题:把下列各式分解因式
1 6x3y2-9x2y3+3x2y2 ②p(y-x)-q(x-y) ③ (x-y)2-y(y-x)2
2、 运用公式法
运用公式法中主要使用的公式有如下几个:
① a2-b2=(a+b)(a-b) [ 平方差公式 ]
② a2 +2ab+ b2 =(a+b)2 [ 完全平方公式 ]
a2 -2ab+ b2 =(a-b)2 [ 完全平方公式 ]
例题:把下列各式分解因式
①x2-4y2 ② 9x2-6x+1
3、十字相乘法
公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
例题:把下列各式分解因式
① X2-5x+6 ② a2-a-2
4、分组分解法
分组的原则:分组后要能使因式分解继续下去
1、分组后可以提公因式
2、分组后可以运用公式
例题:把下列各式分解因式
1
解:原式=(x2-y2)+(3x-3y)
=(x+y)(x-y)+3(x-y)
=(x-y)(x+y+3)
分解因式的技巧:
一提:对任意多项式分解因式,都必须首先考虑提取公因式。
二套:对于二项式,考虑应用平方差公式分解。对于三项式,考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。
三分:再考虑分组分解法
四查:检查:特别看看多项式因式是否分解彻底
第十五章 分式
一、分式
分式:如果整式A除以整式B, 可以表示成的形式, 且除式B中含有字母,那么称式子为分式. 其中,A叫做分式的分母,B叫做分式的分子。
分式的特点:
1、 分式是两个整式相除的商式。对于任意一个分式,分母都不为零。即当B不等于0时,分式才有意义。
2、 分数线有除号和括号的作用,如:可表示为(x -1) ÷ (x -3) .
分式的基本性质:分式的分子与分母乘或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变。
约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。经过约分后的分式,其分子与分母没有公因式,像这样分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式。
通分:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。
二、分式的运算
分式的乘除:
分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
上述法则用式子表示为:
例子:p136 例1
分式的的乘方:分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即:
例:p139 例5
分式的加减:
法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;
异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减。
用式子表示为:
例子:p141 练习 计算2
整数指数幂:
整数指数幂的运算性质:
若m,n为整数,且a≠0,b≠0,则有
例:p144 例9
三、分式方程
分式方程:如方程,像这样,分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则这个解就不是原分式方程的解.
解分式方程的一般步骤:
1、在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,必须舍去.
4、写出原方程的根.
例:p151 例1 例2
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