2、已知：等腰直角三角形ABC的直角边长为16，D在AB上，且DB=4，M是在AC上的一动点，则DM+BM的最小值为（　　）

分析：作B，B′关于直线AC对称，连接DB′，DB′就是最短距离，利用勾股定理求得DB′的长度即可．

解答：解：连接AB′，易得△ABB′是等腰直角三角形，

∴AB′=AB=16，

∵AD=AB-DB=12，

DB′=

=20．

故选C．

1、将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：AF+EF=DE；

（2）若将图①中的直角三角形ABC绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=30°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的直角三角形DBE绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=65°，其它条件不变，如图③，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

【答案】分析：（1）由Rt△ABC≌Rt△DBE推出BC=BE，连接BF，根据HL证Rt△BCF≌Rt△BEF，推出CF=EF即可；

（2）画出图形，此时AF+EF≠DE，而是AF-EF=DE；

（3）（1）中猜想结论不成立，关系式是AF=EF+DE，连接BF，根据HL证Rt△BEF≌Rt△BCF，推出EF=FC，由AF=AC+FC可推出AF=DE+EF．

解答：（1）证明：由Rt△ABC≌Rt△DBE知：BC=BE．

连接BF．

∵在Rt△BCF和Rt△BEF中

，

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴CF=EF，

∵AC=DE，CF+FA=CA，

∴AF+EF=DE；



（2）解：如图2所示，

此时AF+EF≠DE；

（3）解：（1）中猜想结论不成立，关系式是AF=EF+DE．理由是：

连接BF．

在Rt△BEF和Rt△BCF中

，

∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），

∴EF=FC，

∵AC=DE，

由AF=AC+FC知：AF=DE+EF．

2、问题探究：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线．

（1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程；

探究应用1：如图2，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系 ，组长已经添加了辅助线：取AB的中点F，连接EF．

（2）线段BE与DE之间的数量关系是 ；并说明理由；

探究应用2：如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D在线段CB的延长线上，以AD为边作等边△ADE，连接BE．

（3）线段BE与DE之间的数量关系是 ，并说明理由．

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）如图1，作BC的垂直平分线PD交AB、BC于P、D，就可以得出PC=PB，∠PCB=∠B=30°，∠ACP=60°，得出△ACP是等边三角形，就可以得出AP=AC=PB=AB，进而得出结论；

（2）如图2，由等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C=∠AFE=90°，由垂直平分线的性质就可以得出结论BE=DE；

（3）如图3，取AB的中点F，连接EF，由等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C=∠AFE=90°，由垂直平分线的性质就可以得出结论BE=DE．

解答：解：（1）如图1，作CB的垂直平分线分别交AB、BC于P、D，

∴PC=PB，

∴∠PCB=∠B=30°．

∵∠ACB=90°，

∴∠A=60°，∠ACP=60°，

∴∠APC=∠A=∠ACP=60°，

∴△ACP是等边三角形，

∴AC=AP=PC．

∴AC=AP=PB=AB，

即AC=AB；．

（2）BE=DE．

理由：如图2，∵F是AB的中点，

∴AF=AB．

∵∠C=90°，∠ABC=30°，

∴AC=AB，∠CAB=60°．

∴AC=AF．

∵△ADE是等边三角形，

∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，

∴∠CAB=∠DAE，

∴∠CAB-∠3=∠DAE-∠3，

∴∠1=∠2．

在△ACD和△AFE中，

，

∴△ACD≌△AFE（SAS），

∴∠C=∠AFE=90°，

∴EF⊥AB．

∵F是AB的中点，

∴EF是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴BE=DE．

故答案为：BE=DE；

（3）BE=DE．

理由：如图3，取AB的中点F，连接EF，

∴AF=AB．

∵∠C=90°，∠ABC=30°，

∴AC=

AB，∠CAB=60°．

∴AC=AF．

∵△ADE是等边三角形，

∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，

∴∠CAB=∠DAE，

∴∠CAB-∠2=∠DAE-∠2，

∴∠1=∠3．

在△ACD和△AFE中，

，

∴△ACD≌△AFE（SAS），

∴∠C=∠AFE=90°，

∴EF⊥AB．

∵F是AB的中点，

∴EF是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴BE=DE．

故答案为：BE=DE．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形

2、如图：已知在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一个含30°的直角三角形DEF的最小内角所在的顶点D与直角三角形ABC的顶点C重合，当△DEF绕着点C旋转时，较长的直角边和斜边始终与线段BA交于G，H两点（G，H可以与B，A重合）

（1）如图（1），当∠BCF等于多少度时，△BCG≌△ACH？请给予证明；

（2）如图（2），设GH=x，阴影部分（两三角形重叠部分）面积为y，写出y与x的函数关系式；当x为何值时，y最大，并求出最大值．（结果保留根号）

分析：（1）在△BCG和△ACH中，已经知道一组边和一组角相等，只要∠BCF=∠ACH即可，根据题中数据，即可求出．

（2）作CM⊥AB，可根据AC、BC求出CM，然后根据三角形面积公式解答．

解：（1）在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠A=∠B=45°，

当∠ACH=∠BCG时，△BCG≌△ACH．

又因为∠GCH=30°，

所以∠BCF=∠ACH=30°．



（2）作CM⊥AB于M，

因为在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，

所以AB=2，因此CM=．

所以S△GCH=，即y=x．

当G和B重合、或H和A重合时，面积最大，如图：作HK⊥BC与K，

在Rt△BHK中，因为BH=x，

所以BK=HK=x，

又∵在RT△CHK中，∠HCK=30°，

∴CK=KH=x，

因此BC=BK+CK，即，

解之得：x=，

此时y==．

点评：此题考查了三角形全等以及直角三角形的相关知识，难易程度适中．

如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，延长BF交AC于E，

（1）试说明：△FBD≌△ACD；

（2）试说明：△ABC是等腰三角形；

（3）试说明：CE=BF．

证明：（1）在等腰Rt△DBC中，BD=CD，

∵∠BDC=90°，

∴∠BDC=∠ADC=90°，

∵在△FBD和△ACD中，，

∴△FBD≌△ACD（SAS）；

（2）∵△FBD≌△ACD，

∴∠DBF=∠DCA，

∵∠ADC=90°，

∴∠DAC+∠A=90°，

∴∠DBF+∠A=90°，

∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，

∵BF平分∠DBC，

∴∠ABF=∠CBF，

∵在△ABE和△CBE中，，

∴△ABE≌△CBE（ASA），

∴AB=CB，

∴△ABC是等腰三角形；

（3）∵△FBD≌△ACD，

∴BF=AC，

∵△ABE≌△CBE，

∴AE=CE=AC，

∴CE=BF．

分析：（1）根据等腰直角三角形的直角边相等可得BD=CD，再利用“边角边”证明△FBD和△ACD全等即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCA，再根据∠DAC+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角边角”证明△ABE和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CB，从而得证；

（3）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE=BF．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，等边对等角的性质，综合题但难度不大，熟记各性质是解题的关键．

4、已知，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，直线l过点C，过点A，B分别作l的垂线，垂足分别为E，F．

（1）观察图（1），你能发现EF、AE、BF三者之间的一种数量关系吗？请你将它写出来；

（2）在图（2）中，上面的关系成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）当直线l绕点C转到什么位置时EF=BF-AE？在图（3）中画出直线l及AE和BF（不必证明）．

【答案】分析：（1）由题中条件可知ABFE是矩形，且AB∥EF，则∠EAC=∠ECA=∠CAB=45°，所以AE=EC；同理可得BF=FC，即可得EF=AE+BF；

（2）由AAS可以确定△AEC≌△CFB（AAS），得到AE=CF，EC=FB，即得

EF=AE+BF．

（3）当l绕点C转到AB之间位置时EF=BF-AE．

解答：解：（1）EF=AE+BF．

（2）成立；（3分）

证明：∵∠EAC+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，

∴∠EAC=∠FCB，

又∵∠AEC=∠CFB=90°，且AC=BC，

∴△AEC≌△CFB（AAS）．（6分）

∴AE=CF，EC=FB．（7分）

∴EF=AE+BF．（8分）（3）如右图．（9分）

点评：本题主要考查直角三角形全等的判定，先根据已知条件或求证的结论确定直角三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

如图，已知在等腰直角三角形中，， 平分，与相交于点，延长到，使，



【小题1】求证：；

【小题2】延长交于，且，求证：；



【小题3】在【小题4】的条件下，是边的中点，连结与相交于点．

试探索，,之间的数量关系，并证明你的结论．

【小题1】证明：∵，

又∵；

∴，

【小题2】∴，∴

又∵平分，∴

又∵，∴，

又∵

∴，∴

∴

【小题3】，,之间的数量关系为：

连结CG，∵，H是边的中点，

∴是的中垂线，

∴       在中有：

∴ 解析:

p;【解析】略

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