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2019年北京大学自主招生数学试题及答案

发布时间：2020-04-11 10:34:15 来源：文档文库

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北京大学自主招生数学试题

2019.06

1. 若，求满足不等式的的取值范围.

2. 复数、满足，，则由复数围成的面积是（）

A. B. C. D. 以上全错

3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个不同的数，分别记为，，，，求和奇偶性相同的概率.

4. 正方形，为△内一点，满足，则（）

A. 45° B. 60° C. 70° D. 以上全错

5. 设，若为完全平方数，则数对有（）组

A. 0 B. 1 C. 无穷多 D. 以上全错

6. 方程根的个数为（）

A. 3个 B. 7个 C. 1个 D. 以上全错

7. 设为椭圆上一点，、为椭圆的左右焦点，为△的内心，若内切圆半径为1，求的长度.

8. 已知数列满足：（），求.

参考答案

1.

上式的几何意义为：平面直角坐标系中，轴上一动点到两个动点、

的距离之和，设关于轴的对称点为，则，

而，∴此时为直线与轴交点的横坐标，

则，令，解得：.

2. 设，，由题意可知：，，

令，，，

则，

∴复数围成得面积为一个圆环的面积，∴选B.

3. .

4. 设正方形边长为1，

在△中，由正弦定理可知：，则，

在△中，由余弦定理可知：，

则△为等腰三角形，∴，∴选C.

5. 令，，

情形一：当为奇数时，则为奇数，

情形二：当为偶数时，则也为奇数，

同理可得：也为奇数，而两个奇数的平方和一定不会是完全平方数，

综上：选A.

6. 令，的图像可知，只有7个根，∴选B.

7. 设内切圆半径为，△的面积为，，∵，解得：，

又，解得：，则，∴.

8. ∵，则，

情形一：当为偶数时，则，

情形二：当为奇数时，则，

∴，∵不确定，∴也不确定.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c5c6c9e70166f5335a8102d276a20029bd6463b7.html

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