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17年数学全国三卷及答案

发布时间：2019-04-26 20:05:40 来源：文档文库

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理科数学 2017年高三2017年全国丙卷理科数学

理科数学

考试时间：____分钟

1．已知集合A=word/media/image1.gif，B=word/media/image2.gif，则Aword/media/image3.gifB中元素的个数为( )

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=( )

A. word/media/image4.gif

B. word/media/image5.gif

C. word/media/image6.gif

D. 2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是( )

A. 月接待游客量逐月增加

B. 年接待游客量逐年增加

C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．word/media/image8.gif的展开式中word/media/image9.gif的系数为( )

A. word/media/image10.gif

B. word/media/image11.gif

C. 40

D. 80

5．已知双曲线C：word/media/image12.gif (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为word/media/image13.gif,且与椭圆word/media/image14.gif有公共焦点，则C的方程为( )

A. word/media/image15.gif

B. word/media/image16.gif

C. word/media/image17.gif

D. word/media/image18.gif

6．设函数word/media/image19.gif，则下列结论错误的是( )

A. word/media/image20.gif的一个周期为word/media/image21.gif

B. word/media/image22.gif的图像关于直线word/media/image23.gif对称

C. word/media/image24.gif的一个零点为word/media/image25.gif

D. word/media/image20.gif在(word/media/image26.gif,word/media/image27.gif)单调递减

7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )

A. word/media/image27.gif

B. word/media/image29.gif

C. word/media/image30.gif

D. word/media/image31.gif

9．等差数列word/media/image32.gif的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则word/media/image32.gif前6项的和为( )

A. word/media/image33.gif

B. word/media/image34.gif

C. 3

D. 8

10．已知椭圆C：word/media/image35.gif的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线word/media/image36.gif相切，则C的离心率为( )

A. word/media/image37.gif

B. word/media/image38.gif

C. word/media/image39.gif

D. word/media/image40.gif

11．已知函数word/media/image41.gif有唯一零点，则a=( )

A. word/media/image42.gif

B. word/media/image40.gif

C. word/media/image43.gif

D. 1

12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若word/media/image44.gif，则word/media/image45.gif的最大值为( )

A. 3

B. 2word/media/image6.gif

C. word/media/image46.gif

D. 2

13．若word/media/image47.gif，word/media/image48.gif满足约束条件word/media/image49.gif，则word/media/image50.gif的最小值为__________.

14．设等比数列word/media/image32.gif满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.

15．设函数word/media/image51.gif，则满足word/media/image52.gif的x的取值范围是_________.

16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

17．（12分）

word/media/image53.gif的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知word/media/image54.gif，a=2word/media/image55.gif,b=2.

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且ADword/media/image56.gifAC,求△ABD的面积.

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

20．（12分）

已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点word/media/image59.gif，求直线l与圆M的方程.

21．（12分）

已知函数word/media/image60.gif.

（1）若word/media/image61.gif，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，word/media/image62.gif，求m的最小值.

22．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4word/media/image63.gif4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为word/media/image64.gif（t为参数），直线l2的参数方程为word/media/image65.gif.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设word/media/image66.gif，M为l3与C的交点，求M的极径.

23．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4word/media/image63.gif5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式word/media/image67.gif的解集非空，求m的取值范围.

答案

单选题

1. B 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9. A 10. A 11. C 12. A

填空题

13.

word/media/image68.gif

14.

word/media/image69.gif

15.

word/media/image70.gif

16.

②③.

简答题

17.

(1)word/media/image71.gif (2) word/media/image72.gif

18.

(1)分布列略；(2) n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.

19.

(1)证明略；(2) word/media/image73.gif.

20.

(1)证明略；(2)见解析

21.

(1)a=1； (2) 3

22.

（1）word/media/image74.gif；（2）word/media/image75.gif

23.

（1）word/media/image76.gif；（2）word/media/image77.gif

解析

单选题

1.

由题意可得：圆word/media/image78.gif与直线word/media/image79.gif相交于两点word/media/image80.gif，word/media/image81.gif，则word/media/image82.gif中

有2个元素.故选B.

2.

由题意可得word/media/image83.gif，由复数求模的法则可得word/media/image84.gif，则word/media/image85.gif.故选C.

3.

由折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A说法错误.故选A.

4.

word/media/image8.gifword/media/image86.gif由word/media/image87.gif展开式的通项公式word/media/image88.gif可得：当word/media/image89.gif时，word/media/image87.gif展开式word/media/image9.gif的系数为word/media/image90.gif，

当word/media/image91.gif时，word/media/image87.gif展开式word/media/image9.gif的系数为word/media/image92.gif，

则word/media/image9.gif的系数为80－40＝40，故选C.

5.

双曲线C：word/media/image93.gif (a＞0,b＞0)的渐近线方程为word/media/image94.gif ，

椭圆中：word/media/image95.gif ，椭圆，双曲线的焦点为word/media/image96.gif ，

据此可得双曲线中的方程组：word/media/image97.gif ，解得：word/media/image98.gif ，

则双曲线word/media/image99.gif 的方程为word/media/image100.gif .

6.

当word/media/image101.gif 时，word/media/image102.gif ，函数word/media/image20.gif在该区间内不单调.故选D.

7.

阅读程序框图，程序运行如下：

首先初始化数值：word/media/image103.gif，然后进入循环体：

此时应满足word/media/image104.gif，执行循环语句：word/media/image105.gif；

此时应满足word/media/image104.gif，执行循环语句：word/media/image106.gif；

此时满足word/media/image107.gif，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.

故选D.

8.

绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：word/media/image108.gif，

结合勾股定理，底面半径word/media/image109.gif，

由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是word/media/image110.gif，故选B.

9.

设等差数列word/media/image32.gif的公差为word/media/image112.gif，且word/media/image113.gif，word/media/image114.gif，word/media/image115.gif，又word/media/image113.gif，所以word/media/image116.gif，word/media/image117.gif，故选A.

10.

以线段word/media/image118.gif为直径的圆是word/media/image119.gif，直线word/media/image120.gif与圆相切，所以圆心到直线的距离word/media/image121.gif，整理为word/media/image122.gif，即word/media/image123.gif，即word/media/image124.gif ，word/media/image125.gif，故选A.

11.

函数的零点满足word/media/image126.gif，

设word/media/image127.gif，则word/media/image128.gif，

当word/media/image129.gif时，word/media/image130.gif，当word/media/image131.gif时，word/media/image132.gif，函数word/media/image133.gif 单调递减，

当word/media/image134.gif时，word/media/image135.gif，函数word/media/image133.gif 单调递增，

当word/media/image130.gif时，函数取得最小值word/media/image136.gif，

设word/media/image137.gif ，当word/media/image130.gif时，函数取得最小值word/media/image68.gif ，

若word/media/image138.gif，函数word/media/image139.gif与函数word/media/image140.gif没有交点，

当word/media/image141.gif，word/media/image142.gif时，此时函数word/media/image139.gif与函数word/media/image140.gif有一个交点，

即word/media/image143.gif，解得word/media/image144.gif，故选C.

12.

如图，建立平面直角坐标系.

设word/media/image146.gif,

易得圆的半径word/media/image147.gif，即圆C的方程是word/media/image148.gif，

word/media/image149.gif，若满足word/media/image44.gif，

则word/media/image150.gif ，word/media/image151.gif，所以word/media/image152.gif，

设word/media/image153.gif，即word/media/image154.gif，点word/media/image155.gif在圆word/media/image148.gif上，

所以圆心word/media/image156.gif到直线word/media/image154.gif的距离word/media/image157.gif，即word/media/image158.gif，解得word/media/image159.gif，

所以word/media/image160.gif的最大值是3，即word/media/image45.gif的最大值是3，故选A.

填空题

13.

作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.

目标函数即word/media/image162.gif，易知直线word/media/image162.gif在word/media/image48.gif轴上的截距最大时，目标函数word/media/image50.gif取得最小值，数形结合可得目标函数word/media/image50.gif在点word/media/image163.gif处取得最小值，为word/media/image164.gif.

14.

由题意可得：word/media/image165.gif ，解得：word/media/image166.gif ，则word/media/image167.gif

15.

由题意：word/media/image168.gif ，函数word/media/image133.gif 在区间word/media/image169.gif 三段区间内均单调递增，且word/media/image170.gif ，

可知x的取值范围是：word/media/image70.gif .

16.

由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由word/media/image171.gif，即AC垂直底面，在底面内可以过点B，作word/media/image172.gif，交底面圆C于D，如图，连结DE，则word/media/image173.gif，所以word/media/image174.gif，连接AD，等腰△ABD中，word/media/image175.gif，当直线AB与a成60º时，∠ABD＝60º，故word/media/image176.gif，又在Rt△BDE中，BE＝2，word/media/image177.gif，过点B作BF//DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF＝DE＝word/media/image178.gif，所以△ABF为等边三角形，∠ABF＝60º，即②正确，①错误，由最小角定理可知③正确，很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a成的最大角为90º，④错误

简答题

17.

（1）由已知得 word/media/image180.gif ，所以word/media/image181.gif .

在 △ABC中，由余弦定理得 word/media/image182.gif ，即word/media/image183.gif .

解得：word/media/image184.gif (舍去)，word/media/image71.gif .

（2）有题设可得word/media/image185.gif

故△ABD面积与△ACD面积的比值为word/media/image186.gif

又△ABC的面积为word/media/image187.gif

18.

（1）由题意知，word/media/image188.gif所有可能取值为200,300,500，由表格数据知

word/media/image189.gif，word/media/image190.gif，word/media/image191.gif.

因此word/media/image188.gif的分布列为

（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑word/media/image193.gif.

当word/media/image194.gif时，

若最高气温不低于25，则word/media/image195.gif；

若最高气温位于区间word/media/image196.gif，则word/media/image197.gif；

若最高气温低于20，则word/media/image198.gif；

因此word/media/image199.gif.

当word/media/image200.gif时，

若最高气温不低于20，则word/media/image195.gif；

若最高气温低于20，则word/media/image198.gif；

因此word/media/image201.gif.

所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.

19.

（1）由题设可得，word/media/image202.gif，从而word/media/image203.gif.

又word/media/image204.gif是直角三角形，所以word/media/image205.gif.

取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.

又由于word/media/image53.gif是正三角形，故word/media/image206.gif.

所以word/media/image207.gif为二面角word/media/image208.gif的平面角.

在word/media/image209.gif中，word/media/image210.gif.

又word/media/image211.gif，所以word/media/image212.gif，

故word/media/image213.gif.

所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）由题设及（1）知，word/media/image214.gif两两垂直，以word/media/image215.gif为坐标原点，word/media/image216.gif的方向为word/media/image217.gif轴正方向，word/media/image218.gif为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系word/media/image219.gif.则word/media/image220.gif.

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的word/media/image222.gif，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的word/media/image222.gif，即E为DB的中点，得word/media/image223.gif.

故word/media/image224.gif.

设word/media/image225.gif是平面DAE的法向量，则word/media/image226.gif即word/media/image227.gif

可取word/media/image228.gif.

设word/media/image229.gif是平面AEC的法向量，则word/media/image230.gif同理可取word/media/image231.gif.

则word/media/image232.gif.

所以二面角D-AE-C的余弦值为word/media/image73.gif.

20.

（1）设word/media/image233.gif

由word/media/image234.gif可得word/media/image235.gif

又word/media/image236.gif=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为word/media/image237.gif

所以OA⊥OB，

故坐标原点O在圆M上.

（2）由（1）可得word/media/image238.gif.

故圆心word/media/image239.gif的坐标为word/media/image240.gif，圆word/media/image239.gif的半径word/media/image241.gif.

由于圆word/media/image239.gif过点word/media/image242.gif，因此word/media/image243.gif，故word/media/image244.gif，

即word/media/image245.gif，

由（1）可得word/media/image246.gif.

所以word/media/image247.gif，解得word/media/image248.gif或word/media/image249.gif.

当word/media/image248.gif时，直线word/media/image250.gif的方程为word/media/image251.gif，圆心word/media/image239.gif的坐标为word/media/image252.gif，圆word/media/image239.gif的半径为word/media/image253.gif，圆word/media/image239.gif的方程为word/media/image254.gif.

当word/media/image249.gif时，直线word/media/image250.gif的方程为word/media/image255.gif，圆心word/media/image239.gif的坐标为word/media/image256.gif，圆word/media/image239.gif的半径为word/media/image257.gif，圆word/media/image239.gif 的方程为word/media/image258.gif.

21.

（1）word/media/image259.gif的定义域为word/media/image260.gif.

①若word/media/image261.gif，因为word/media/image262.gif，所以不满足题意；

②若word/media/image263.gif，由word/media/image264.gif知，当word/media/image265.gif时，word/media/image266.gif；当word/media/image267.gif时，word/media/image268.gif，所以word/media/image259.gif在word/media/image269.gif单调递减，在word/media/image270.gif单调递增，故x=a是word/media/image259.gif在word/media/image260.gif的唯一最小值点.