观察法
甲内容提要
数学题可以猜测它的结论(包括经验归纳法),但都要经过严谨的论证,才能确定是否正确.
观察是思维的起点,直觉是正确思维的基础.
观察法解题就是用清晰的概念,直觉的思维,根据题型的特点,得出题解或猜测其结论,再加以论证.
敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.
例如:用观察法写出方程的解,必须明确方程的解的定义,掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时,必有一个解是1;而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时,则有一个根是-1;n次方程有n个根,这样才能判断是否已求出全部的根,当根的个数超过方程次数时,可判定它是恒等式.
对题型的特点的观察一般是注意已知数据,式子或图形的特征,分析题设与结论,已知与未知这间的联系,再联想学过的定理,公式,类比所做过的题型,试验以简单的特例推导一般的结论,并探求特殊的解法.
选择题和填空题可不写解题步骤,用观察法解答更能显出优势.
乙例题
例1. 解方程:x+
解:方程去分母后,是二次的整式方程,所以最多只有两个实数根.
根据方程解的定义,易知 x=a;或x=
观察本题的特点是:左边x
可推广到:若方程f(x)+
则f(x)=a; f(x)=
如:方程x2+
都可以用上述方法解.
例2. 分解因式 a3+b3+c3-3abc.
分析:观察题目的特点,它是a, b, c的齐三次对称式.
若有一次因式,最可能的是a+b+c;若有因式a+b-c,必有b+c-a, c+a-b;
若有因式a+b, 必有b+c, c+a; 若有因式b-c,必有c-a, a-b.
解:∵用a=-b-c 代入原式的值为零, ∴有因式a+b+c.
故可设 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)].
比较左右两边a3的系数,得m=1,
比较abc的系数, 得 n=-1.
∴a3+b3+c3-3abc=(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)
例3. 解方程
分析:观察题目的特点猜想
解:∵x=
∴ x=
∴原方程只有一个实数根x=
例4. 求证:
证明:把等式看作是关于x的二次方程,最多只有两个实数根;
但x=a, x=b, x=c,都能使等式成立,且知a≠b≠c,这样,方程 就有三个解;
∵方程的解的个数,超过了方程的次数.
∴原等式是恒等式. 证毕.
例5. 选择题 (只有一个正确的答案)
1. 四边形ABCD内接于圆,边长依次为25,39,52,60,那么这个圆的直径长等于( )
(A)66. (B)65. (C)63. (D)62.
2. 直角梯形ABCD的垂腰AB=7,两底AD=2,BC=3,如果边AB上的一点P,使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似. 这样的点P有几个?答:( )
(A) 1个. (B) 2个 . (C) 3个. (D) 4个.
解:1. 选 (B); 2. 选 ( C).
1. 观察数字的特征:
∵25∶60∶65=5∶12∶13 ; 39∶52∶65=3∶4∶5 都是勾股数.
∴直径等于65,故选( B )
2. 观察 相似比可以是
解得:x=2.8 , x=1, 或 x=6 . 共有三解. 故选(C).
丙练习58
一. 填空题
1. 三角形的三边长分别为192,256,320.则最大角等于____度.
2. 化简 48(72+1)(74+1)(78+1)……(7
3. 方程x2-(4+
4. 方程x3+2x2+3x+2=0的实数根是__________.
5. 方程
6. 若x,y为实数且x+y=a, xy=b,则x2+y2=_________.
7. 方程
8. 写出因式分解的结果:
①x3-7x2+36=______________.
②(a+b-c)3-(a3+b3+c3)=_______________.
9. 方程(a-x)3+(b-x)3=(a+b-2x)3的三个解是_____,_____,______..
10. 方程组
11. 有一个五位正奇数x,将x的所有2都换成5,所有5都换成2,其他的数字不变,得到一个新五位数记作y,若x,y满足等式y=2(x+1),那么x是___________
(1987年全国初中数学联赛题 )
12. 如左图试问至少要用几种颜色,才能给图中的各边正常着色.
(正常着色是指使图中有公共顶点的相邻的边涂上
不同的颜色)
(1983年福建省初中数学竞赛题)
二. 选择题(只有一个正确的答案)
1. 四边形的边 a, b, c, d, 满足等式 a4+b4+c4+d4=4abcd,那么这个四边形一定是 ( )
(A) 矩形. (B) 菱形. (C) 等腰梯形. (D)不等边的四边形.
2. 当k>0时,函数y=kx+k与y=
3.实数a和b,ab<0, a+b<0, a-b<0,则a, b的大体位置是( )
4. a=1+
(A) a. (B) –a. (C) a-1. (D) 1-a.
5. a,b,c中至少有一个是零,可表示为( )
(A) a+b+c≠0 (B) abc≠0. (C) a2+b2+c2≠0. (D) ab+ca+bc≠0.
三. 解方程:
1.x2+2x+
2.
3.
四. 求证:
五. 已知:x4+x3+x2+x+1=0. 求:x1989+x1988+x1987+x1986的值.
练习58
一.1. 90
6. a2-2b,当a2-2b<0时无解 7. 2,-2 8.②3(a+b)(b+c)(c+a)
9. a,b,
二.①B ②C ③C ④A ⑤C
三.① -3,1,
四.(仿例4)
五.已知两边乘以x-1得x5=1, 原式=x1985(x4+x3+x2+x)=1×(-1)=-1
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