2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关不等式选讲学案选修4 - 5

选修4­5　不等式选讲

第1课时　绝对值不等式

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1. （选修45P5例2改编）解不等式|2x－1|>3.

解：不等式|2x－1|＞3可化为2x－1<－3或2x－1>3，解得x<－1或x>2.故不等式的解集为{x| x<－1或x>2}.

2. 已知|x－a|（a，b∈R）的解集为{x|2，求a－b的值.

解：由|x－a|，得a－b＋b.又|x－a|（a，b∈R）的解集为{x|2，所以a－b＝2.

3. 求不等式|2x＋1|－|5－x|＞0的解集.

解：原不等式化为|2x＋1|>|5－x|，

两边同时平方得 4x2＋4x＋1>25－10x＋x2，

即3x2＋14x－24>0，

解得原不等式的解集为（－∞，－6）∪（，＋∞）.

4. （选修45P6例4改编）若存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3|，求实数a的取值范围.

解：由绝对值不等式的几何性质知，|x－4|＋|x－3|≥|（x－4）－（x－3）|＝1，所以函数y＝|x－4|＋|x－3|的最小值为1.因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是（1，＋∞）.

5. 不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，求实数k的取值范围.

解：（解法1）根据绝对值的几何意义，设数x，－1，2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB>k恒成立.∵ AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3，∴ 故当k<－3时，原不等式恒成立.即实数k的取值范围为（－∞，－3）.

（解法2）令y＝|x＋1|－|x－2|，

则y＝

作出y＝的图象（如图），要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可.即实数k的取值范围为（－∞，－3）.

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1. 不等式的基本性质

① a>b⇔b；

② a>b，b>c⇒a>c；

③ a>b⇒a＋c>b＋c；

④ a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

⑤ a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac；

⑥ a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

⑦ a>b>0⇒an>bn（n∈N，且n>1）；

⑧ a>b>0⇒>（n∈N，且n>1）.

2. 含有绝对值的不等式的解法

① |f（x）|>a（a>0）⇔f（x）>a或f（x）<－a；

② |f（x）|（a>0）⇔－a（x）

3. 含有绝对值的不等式的性质

① |a|＋|b|≥|a＋b|；

② |a|－|b|≤|a＋b|；

③ |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.

[备课札记]

　　　　　　　　　1　含绝对值不等式的解法

_word/media/image2_1.png　　　　1　解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2.

解：当x≤－2时，不等式化为（2－x）＋x（－x－2）＞2，解得－3＜x≤－2；

当－2＜x＜2时，不等式化为（2－x）＋x（x＋2）＞2，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；

当x≥2时，不等式化为（x－2）＋x（x＋2）＞2，解得x≥2.

所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1或x＞0}.

已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.

（1） 当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2） 若f（x）≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围.

解：（1） 当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；

当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.

（2） f（x）≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔

4－x－（2－x）≥|x＋a|⇔

－2－a≤x≤2－a.

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[－3，0].

_word/media/image2_1.png,　　　　　　　　　2　含绝对值不等式的运用)

_word/media/image2_1.png,　　　　　2)　已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.

证明：因为|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|.

由绝对值不等式的性质，得

|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|≤|3（x＋y）|＋|2（x－y）|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.

即|x＋5y|≤1.

_word/media/image2_1.png变式训练

设函数f（x）＝＋|x－a|（a＞0）.

（1） 求证：f（x）≥2；

（2） 若f（3）＜5，求实数a的取值范围.

（1） 证明：由a＞0，有f（x）＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f（x）≥2.

（2） 解：f（3） ＝＋|3－a|.

当a＞3时，f（3） ＝a＋，

由f（3） ＜5，得3＜a＜；

当0＜a≤3时，f（3） ＝6－a＋，

由f（3）＜5，得＜a≤3.

综上，a的取值范围是（，）.

_word/media/image2_1.png,　　　　　　　　　3　含绝对值不等式的综合运用)

_word/media/image2_1.png,　　　　　3)　已知函数f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|.

（1） 求不等式f（x）≤6的解集；

（2） 若关于x的不等式f（x）＜|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围.

解：（1） 原不等式等价于

或或

解得≤x≤2或－＜x＜或－1≤x≤－，即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}.

（2） ∵ f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|（2x＋1）－（2x－3）|＝4，∴ |a－1|＞4，解此不等式得a＜－3或a＞5.

故实数a的取值范围是（－∞，－3）∪（5，＋∞）.

_word/media/image2_1.png变式训练

已知a>0，b>0，且a2＋b2＝，若a＋b≤m恒成立.

（1） 求m的最小值；

（2） 若2|x－1|＋|x|≥a＋b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围.

解：（1） ∵ （a2＋b2）（12＋12）≥（a＋b）2，

∴ a＋b≤3，当且仅当＝，即时取等号.

∵ a＋b≤m恒成立，∴ m≥3.

故m的最小值为3.

（2） 要使2|x－1|＋|x|≥a＋b恒成立，

则2|x－1|＋|x|≥3，

∴或或

∴ x≤－或x≥.

∴ x的取值范围是∪.

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1. （2017·苏北四市期末）已知a，b，c为正实数，＋＋＋27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x＋1|－2x＜m.

解：因为a，b，c>0，所以＋＋＋27abc≥3＋27abc＝＋27abc≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号，

所以m＝18.

所以不等式|x＋1|－2x，即|x＋1|<2x＋18，

所以－2x－18＋1<2x＋18，解得x>－，

所以原不等式的解集为.

2. （2016·江苏卷）设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.

证明：∵ |x－1|<，|y－2|<，∴ |2x＋y－4|＝|2（x－1）＋（y－2）|≤2|x－1|＋|y－2|<2×＋＝a.

3. （2017·苏北四市期中） 设c＞0，|x－1|＜，|y－1|＜，求证：|2x＋y－3|＜c.

证明：因为|x－1|＜，所以|2x－2|＜，

故|2x＋y－3|＝|2x－2＋y－1|≤|2x－2|＋|y－1|＜＋＝c，

故|2x＋y－3|＜c.

4. 已知一次函数f（x）＝ax－2.

（1） 当a＝3时，解不等式|f（x）|<4；

（2） 解关于x的不等式|f（x）|<4；

（3） 若不等式|f（x）|≤3对任意x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围.

解：（1） 当a＝3时，则f（x）＝3x－2，

∴ |f（x）|<4⇔|3x－2|<4⇔－4<3x－2<4⇔－2<3x<6⇔－，

∴ 不等式的解集为.

（2） |f（x）|<4⇔|ax－2|<4⇔－4－2<4⇔－2，

当a>0时，不等式的解集为{x|－＜x＜}；

当a<0时，不等式的解集为{x|＜x＜－}.

（3） |f（x）|≤3⇔|ax－2|≤3⇔－3≤ax－2≤3⇔－1≤ax≤5⇔

∵ x∈[0，1]，∴ 当x＝0时，不等式组恒成立；

当x≠0时，不等式组转化为

∵≥5，≤－1，∴ －1≤a≤5.

∴ a的取值范围为[－1，5].

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1. （ 2017·苏州期初）已知a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.

证明：因为|m|＋|n|≥|m－n|，

所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－（x－a）|＝|2a－1|.

又a≥2，故|2a－1|≥3.

所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.

2. 设不等式|x－2|＋|3－x|（a∈N*）的解集为A，且2∈A， ∉A.

（1） 求a的值；

（2） 求函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|的最小值.

解：（1） 由题意得所以1≤2.

因为a∈N*，所以a＝2.

（2） 因为|x＋2|＋|x－2|≥|（x＋2）－（x－2）|＝4，

所以f（x）的最小值是4.

3. 已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.

证明：因为3|y|＝|3y|＝|2（x＋y）－（2x－y）|≤2|x＋y|＋|2x－y|，

由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，

从而3|y|<＋＝，所以|y|<.

4. 对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|（|x－1|＋|x－2|）恒成立，求实数x的取值范围.

解：不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|（|x－1|＋|x－2|）恒成立，即|x－1|＋|x－2|≤对于任意的实数a（a≠0）和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值即可.

因为|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，即≥2，

也就是的最小值为2，

于是|x－1|＋|x－2|≤2，

由绝对值的意义得≤x≤.

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1. |ax＋b|≤c（c＞0）和|ax＋b|≥c（c＞0）型不等式的解法

（1） |ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.

（2） |ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

2. |x－a|＋|x－b|≥c（c＞0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的解法

方法1：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

方法2：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法3：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

第2课时　不等式证明的基本方法（对应学生用书（理）210～214页）

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1. （选修45P12例2改编）若a，b∈{x|0，试比较ab＋1与a＋b的大小.

解：因为0，0，所以a－1＜0，b－1<0.

所以（ab＋1）－（a＋b）＝（a－1）（b－1）>0.

故ab＋1>a＋b.

2. 若a，b，c∈R*，且满足a＋b＋c＝2，求abc的最大值.

解：因为a，b，c∈R*，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，

所以abc的最大值为.

3. 若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝4，求3a＋4b＋5c的最大值.

解：由柯西不等式得（3a＋4b＋5c）2≤（a2＋b2＋c2）（9＋16＋25）＝200，所以－10≤3a＋4b＋5c≤10，

所以3a＋4b＋5c的最大值为10.

4. 已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R.求证： ≤.　

证明：∵ x＞0，y＞0，∴ x＋y＞0，

∴ 要证≤，

即证（ax＋by）2≤（x＋y）（a2x＋b2y），

即证xy（a2－2ab＋b2）≥0，即证（a－b）2≥0.

而（a－b）2≥0显然成立，

∴ ≤.

5. 已知a，b＞0，a＋b＝2，x，y＞0，求证：（ax＋by）（bx＋ay）≥4xy.

证明：已知（ax＋by）（bx＋ay）＝ab（x2＋y2）＋（a2＋b2）·xy，且a，b，x，y＞0，所以由均值不等式得ab（x2＋y2）＋（a2＋b2）xy≥（a2＋2ab＋b2）xy＝（a＋b）2xy＝4xy，当且仅当x＝y时取等号.

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1. 不等式证明的常用方法

（1） 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的.比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负.

比较法证明不等式的步骤：作差（商）、变形、判断符号.其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述.

（2） 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式.

（3） 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”.

2. 不等式证明的其他方法和技巧

（1） 反证法

从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法.

（2） 放缩法

欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C1≥C2≥…≥Cn≥B，利用传递性达到证明的目的.

（3） 数学归纳法

3. 柯西不等式的二维形式

（1） 柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则（a＋a）（b＋b）≥（a1b1＋a2b2）2（当且仅当a1b2＝a2b1时，等号成立）.

（2） 柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.

（3） 三角形不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么＋≥.

4. 柯西不等式的一般形式

设n为大于1的自然数，ai，bi（i＝1，2，…，n）为实数，则ab≥，其中等号当且仅当＝＝…＝时成立（当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1，2，…，n）.

5. 算术几何平均不等式

≥（a1，a2，…，an∈R*），

等号当且仅当a1＝a2＝…＝an时成立._word/media/image2_1.png

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_word/media/image2_1.png,　　　　　　　　　1　用比较法证明不等式)

_word/media/image2_1.png,　　　　　1)　（2017·南京、盐城模拟）设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4＞4ab（a2＋b2）.

证明：a4＋6a2b2＋b4－4ab（a2＋b2）＝（a2＋b2）2－4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝（a2＋b2－2ab）2＝（a－b）4.

因为a≠b，所以（a－b）4＞0，

所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab（a2＋b2）.

已知m，n是正数，求证：＋≥m2＋n2.

证明：∵＋－m2－n2＝＋＝＝，

又m，n均为正实数，∴≥0，

∴＋≥m2＋n2，当且仅当m＝n时，等号成立.

_word/media/image2_1.png,　　　　　　　　　2　用分析法、综合法证明不等式)

_word/media/image2_1.png,　　　　　2)　（2017·南通、泰州模拟）设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：＋＋≥xy＋yz＋zx.

证明：因为x，y，z均为正实数，且xyz＝1，

所以＋xy≥＝2yz，＋yz≥＝2xz，＋xz≥＝2xy.

所以＋＋≥xy＋yz＋zx.

_word/media/image2_1.png变式训练

已知a，b，c均为正数.求证：a2＋b2＋c2＋≥6.

证明：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

同理＋＋≥＋＋，

故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ca＋＋＋≥6.

所以原不等式成立.

_word/media/image2_1.png,　　　　　　　　　3　均值不等式的应用)

_word/media/image2_1.png,　　　　　3)　（2017·南通、扬州、泰州模拟）已知a，b，c，d是正实数，且abcd＝1.求证：a5＋b5＋c5＋d5≥a＋b＋c＋d.

证明：因为a，b，c，d是正实数，且abcd＝1，

所以a5＋b＋c＋d≥4＝4a　①.

同理b5＋c＋d＋a≥4b　②，c5＋d＋a＋b≥4c　③，d5＋a＋b＋c≥4d　④，

将①②③④式相加并整理，即得a5＋b5＋c5＋d5≥a＋b＋c＋d.

_word/media/image2_1.png变式训练

已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.

证明：因为x，y，z均为正数，

所以＋≥≥.

同理可得＋≥，＋≥.

当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立.

将上述三个不等式左、右两边分别相加，并除以2，

得＋＋≥＋＋.

已知正数a，b，c满足abc＝1，求（a＋2）（b＋2）（c＋2）的最小值.

解：∵ （a＋2）（b＋2）（c＋2）＝（a＋1＋1）（b＋1＋1）（c＋1＋1）≥3··3··3·＝27·＝27，

当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，

∴ （a＋2）（b＋2）（c＋2）的最小值为27.

_word/media/image2_1.png,　　　　　　　　　4　柯西不等式的应用)

_word/media/image2_1.png,　　　　　4)　（2017·苏锡常镇一模）已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝3，求＋＋的最大值.

解：由柯西不等式可得

（＋＋）2≤（12＋12＋12）·[（）2＋（）2＋（）2]＝3×12，

∴＋＋≤6，当且仅当＝＝时取等号.

∴ ＋＋的最大值是6.

_word/media/image2_1.png变式训练

求函数f（x）＝5＋的最大值.

解：函数定义域为[0，4]，且f（x）≥0.

由柯西不等式得[52＋（）2][（）2＋（）2]≥（5·＋·）2，

即27×4≥（5·＋·）2，

所以5＋≤6.

当且仅当·＝5，即x＝时，取等号.

所以函数f（x）＝5＋的最大值为6.

（2017·南京期末）求函数y＝3sin x＋2的最大值.

解：y＝3sin x＋2＝3sin x＋4.

由柯西不等式得y2＝（3sin x＋4）2≤（32＋42）·（sin2x＋cos2x）＝25，

所以ymax＝5，此时sin x＝.

所以函数y＝3sin x＋2的最大值为5.

_word/media/image2_1.png1. （2017·苏州期中）已知a，b，c，d都是正实数，且a＋b＋c＋d＝1，求证：＋＋＋≥.

证明：∵ [（1＋a）＋（1＋b）＋（1＋c）＋（1＋d）]·≥（·＋·＋·＋·）2＝（a＋b＋c＋d）2＝1，

又（1＋a）＋（1＋b）＋（1＋c）＋（1＋d）＝5，

∴＋＋＋≥.

2. （2017·南京、盐城期末）若实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值.

解：由柯西不等式，得（x＋2y＋z）2≤（12＋22＋12）·（x2＋y2＋z2），

即x＋2y＋z≤·.

因为x＋2y＋z＝1，所以x2＋y2＋z2≥，

当且仅当＝＝，即x＝z＝，y＝时取等号.

综上，（x2＋y2＋z2）min＝.

3. （2017·镇江期末）已知a＞0，b＞0，求证：（a2＋b2＋ab）·（ab2＋a2b＋1）≥9a2b2.

证明：因为a＞0，b＞0，由均值不等式知a2＋b2＋ab≥3＝3ab，ab2＋a2b＋1≥3＝3ab，所以两式相乘可得（a2＋b2＋ab）·（ab2＋a2b＋1）≥9a2b2.

4. （2017·常州期末）已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，求4x2＋y2的最小值.

解：（解法1）根据柯西不等式得[（2x）2＋y2]（12＋12）≥（2x＋y）2，化简得4x2＋y2≥18，

当且仅当2x＝y＝3，即x＝，y＝3时取等号.

因此，当x＝，y＝3时，4x2＋y2取得最小值18.

（解法2）由2x＋y＝6得y＝6－2x；由x＞0，y＞0，得0＜x＜3.

因此4x2＋y2＝4x2＋（6－2x）2＝8x2－24x＋36＝8＋18.

当x＝，y＝3时，4x2＋y2取得最小值18.

5. 已知a，b，c>0，且＋＋＝1，求证：＋＋≤.

证明：因为＋＋＝1，所以＋＋＝2.

由柯西不等式，得（＋＋）（＋＋）≥（＋＋）2，

所以＋＋≤.

_word/media/image2_1.png1. 已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.

证明：因为x1，x2，x3为正实数，

所以＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2（x1＋x2＋x3）＝2，

当且仅当x1＝x2＝x3时取等号.所以＋＋≥1.

2. 设a，b，c均为正数， abc＝1.求证：＋＋≥＋＋.

证明：由a，b，c均为正数，根据均值不等式，得＋≥，＋≥，＋≥.

将此三式相加，得2≥＋＋，即＋＋≥＋＋.

由abc＝1，则有＝1.

所以＋＋≥＋＋＝＋＋.

3. （2017·苏北三市模拟）已知a，b，c为正实数，且a3＋b3＋c3＝a2b2c2.求证：a＋b＋c≥3.

证明：因为a3＋b3＋c3＝a2b2c2≥3，所以abc≥3，

所以a＋b＋c≥3≥3，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.

4. 已知a，b，c∈R，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值.

解：由柯西不等式，得[a2＋（b）2＋（c）2]·≥（a＋b＋c）2.

因为a2＋2b2＋3c2＝6，所以（a＋b＋c）2≤11，

所以－≤a＋b＋c≤.

所以a＋b＋c的最大值为，当且仅当a＝2b＝3c＝时取得.

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