选修45 不等式选讲
第1课时 绝对值不等式
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1. (选修45P5例2改编)解不等式|2x-1|>3.
解:不等式|2x-1|>3可化为2x-1<-3或2x-1>3,解得x<-1或x>2.故不等式的解集为{x| x<-1或x>2}.
2. 已知|x-a|(a,b∈R)的解集为{x|2
解:由|x-a|,得a-b
3. 求不等式|2x+1|-|5-x|>0的解集.
解:原不等式化为|2x+1|>|5-x|,
两边同时平方得 4x2+4x+1>25-10x+x2,
即3x2+14x-24>0,
解得原不等式的解集为(-∞,-6)∪(,+∞).
4. (选修45P6例4改编)若存在实数x满足不等式|x-4|+|x-3|,求实数a的取值范围.
解:由绝对值不等式的几何性质知,|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1,所以函数y=|x-4|+|x-3|的最小值为1.因为原不等式有实数解,所以a的取值范围是(1,+∞).
5. 不等式|x+1|-|x-2|>k的解集为R,求实数k的取值范围.
解:(解法1)根据绝对值的几何意义,设数x,-1,2在数轴上对应的点分别为P,A,B,则原不等式等价于PA-PB>k恒成立.∵ AB=3,即|x+1|-|x-2|≥-3,∴ 故当k<-3时,原不等式恒成立.即实数k的取值范围为(-∞,-3).
(解法2)令y=|x+1|-|x-2|,
则y=
作出y=的图象(如图),要使|x+1|-|x-2|>k恒成立,从图象中可以看出,只要k<-3即可.即实数k的取值范围为(-∞,-3).
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1. 不等式的基本性质
① a>b⇔b;
② a>b,b>c⇒a>c;
③ a>b⇒a+c>b+c;
④ a>b,c>d⇒a+c>b+d;
⑤ a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac
⑥ a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
⑦ a>b>0⇒an>bn(n∈N,且n>1);
⑧ a>b>0⇒>(n∈N,且n>1).
2. 含有绝对值的不等式的解法
① |f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<-a;
② |f(x)|(a>0)⇔-a
3. 含有绝对值的不等式的性质
① |a|+|b|≥|a+b|;
② |a|-|b|≤|a+b|;
③ |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
[备课札记]
1 含绝对值不等式的解法
_word/media/image2_1.png 1 解不等式:|x-2|+x|x+2|>2.
解:当x≤-2时,不等式化为(2-x)+x(-x-2)>2,解得-3<x≤-2;
当-2<x<2时,不等式化为(2-x)+x(x+2)>2,解得-2<x<-1或0<x<2;
当x≥2时,不等式化为(x-2)+x(x+2)>2,解得x≥2.
所以原不等式的解集为{x|-3<x<-1或x>0}.
已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1) 当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2) 若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
解:(1) 当a=-3时,f(x)=
当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;
当2<x<3时,f(x)≥3无解;
当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.
(2) f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔
4-x-(2-x)≥|x+a|⇔
-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
_word/media/image2_1.png, 2 含绝对值不等式的运用)
_word/media/image2_1.png, 2) 已知x,y∈R,且|x+y|≤,|x-y|≤,求证:|x+5y|≤1.
证明:因为|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|.
由绝对值不等式的性质,得
|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|≤3×+2×=1.
即|x+5y|≤1.
_word/media/image2_1.png变式训练
设函数f(x)=+|x-a|(a>0).
(1) 求证:f(x)≥2;
(2) 若f(3)<5,求实数a的取值范围.
(1) 证明:由a>0,有f(x)=+|x-a|≥=+a≥2,所以f(x)≥2.
(2) 解:f(3) =+|3-a|.
当a>3时,f(3) =a+,
由f(3) <5,得3<a<;
当0<a≤3时,f(3) =6-a+,
由f(3)<5,得<a≤3.
综上,a的取值范围是(,).
_word/media/image2_1.png, 3 含绝对值不等式的综合运用)
_word/media/image2_1.png, 3) 已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.
(1) 求不等式f(x)≤6的解集;
(2) 若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a的取值范围.
解:(1) 原不等式等价于
或或
解得≤x≤2或-<x<或-1≤x≤-,即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.
(2) ∵ f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,∴ |a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5.
故实数a的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞).
_word/media/image2_1.png变式训练
已知a>0,b>0,且a2+b2=,若a+b≤m恒成立.
(1) 求m的最小值;
(2) 若2|x-1|+|x|≥a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.
解:(1) ∵ (a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,
∴ a+b≤3,当且仅当=,即时取等号.
∵ a+b≤m恒成立,∴ m≥3.
故m的最小值为3.
(2) 要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立,
则2|x-1|+|x|≥3,
∴或或
∴ x≤-或x≥.
∴ x的取值范围是∪.
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1. (2017·苏北四市期末)已知a,b,c为正实数,+++27abc的最小值为m,解关于x的不等式|x+1|-2x<m.
解:因为a,b,c>0,所以+++27abc≥3+27abc=+27abc≥2=18,当且仅当a=b=c=时,取等号,
所以m=18.
所以不等式|x+1|-2x
所以-2x-18
所以原不等式的解集为.
2. (2016·江苏卷)设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.
证明:∵ |x-1|<,|y-2|<,∴ |2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×+=a.
3. (2017·苏北四市期中) 设c>0,|x-1|<,|y-1|<,求证:|2x+y-3|<c.
证明:因为|x-1|<,所以|2x-2|<,
故|2x+y-3|=|2x-2+y-1|≤|2x-2|+|y-1|<+=c,
故|2x+y-3|<c.
4. 已知一次函数f(x)=ax-2.
(1) 当a=3时,解不等式|f(x)|<4;
(2) 解关于x的不等式|f(x)|<4;
(3) 若不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1) 当a=3时,则f(x)=3x-2,
∴ |f(x)|<4⇔|3x-2|<4⇔-4<3x-2<4⇔-2<3x<6⇔-
∴ 不等式的解集为.
(2) |f(x)|<4⇔|ax-2|<4⇔-4
当a>0时,不等式的解集为{x|-<x<};
当a<0时,不等式的解集为{x|<x<-}.
(3) |f(x)|≤3⇔|ax-2|≤3⇔-3≤ax-2≤3⇔-1≤ax≤5⇔
∵ x∈[0,1],∴ 当x=0时,不等式组恒成立;
当x≠0时,不等式组转化为
∵≥5,≤-1,∴ -1≤a≤5.
∴ a的取值范围为[-1,5].
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1. ( 2017·苏州期初)已知a≥2,x∈R.求证:|x-1+a|+|x-a|≥3.
证明:因为|m|+|n|≥|m-n|,
所以|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-(x-a)|=|2a-1|.
又a≥2,故|2a-1|≥3.
所以|x-1+a|+|x-a|≥3.
2. 设不等式|x-2|+|3-x|(a∈N*)的解集为A,且2∈A, ∉A.
(1) 求a的值;
(2) 求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
解:(1) 由题意得所以1≤2.
因为a∈N*,所以a=2.
(2) 因为|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,
所以f(x)的最小值是4.
3. 已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<,求证:|y|<.
证明:因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,
由题设知|x+y|<,|2x-y|<,
从而3|y|<+=,所以|y|<.
4. 对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,求实数x的取值范围.
解:不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,即|x-1|+|x-2|≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值即可.
因为|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,即≥2,
也就是的最小值为2,
于是|x-1|+|x-2|≤2,
由绝对值的意义得≤x≤.
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1. |ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1) |ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c.
(2) |ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
2. |x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
方法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
方法2:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
方法3:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
第2课时 不等式证明的基本方法(对应学生用书(理)210~214页)
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1. (选修45P12例2改编)若a,b∈{x|0
解:因为0,0,所以a-1<0,b-1<0.
所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.
故ab+1>a+b.
2. 若a,b,c∈R*,且满足a+b+c=2,求abc的最大值.
解:因为a,b,c∈R*,所以2=a+b+c≥3,故abc≤.当且仅当a=b=c=时等号成立,
所以abc的最大值为.
3. 若实数a,b,c满足a2+b2+c2=4,求3a+4b+5c的最大值.
解:由柯西不等式得(3a+4b+5c)2≤(a2+b2+c2)(9+16+25)=200,所以-10≤3a+4b+5c≤10,
所以3a+4b+5c的最大值为10.
4. 已知x>0,y>0,a∈R,b∈R.求证: ≤.
证明:∵ x>0,y>0,∴ x+y>0,
∴ 要证≤,
即证(ax+by)2≤(x+y)(a2x+b2y),
即证xy(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0.
而(a-b)2≥0显然成立,
∴ ≤.
5. 已知a,b>0,a+b=2,x,y>0,求证:(ax+by)(bx+ay)≥4xy.
证明:已知(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+(a2+b2)·xy,且a,b,x,y>0,所以由均值不等式得ab(x2+y2)+(a2+b2)xy≥(a2+2ab+b2)xy=(a+b)2xy=4xy,当且仅当x=y时取等号.
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1. 不等式证明的常用方法
(1) 比较法:比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用方法,基本不等式就是用比较法证得的.比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负.
比较法证明不等式的步骤:作差(商)、变形、判断符号.其中的变形主要方法是分解因式、配方,判断过程必须详细叙述.
(2) 综合法:综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直到推出要证明的结论,即为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,常常用到基本不等式.
(3) 分析法:分析法就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,直至推出显然成立的不等式,即为“执果索因”.
2. 不等式证明的其他方法和技巧
(1) 反证法
从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定结论是正确的证明方法.
(2) 放缩法
欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得A≥C1≥C2≥…≥Cn≥B,利用传递性达到证明的目的.
(3) 数学归纳法
3. 柯西不等式的二维形式
(1) 柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(a+a)(b+b)≥(a1b1+a2b2)2(当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立).
(2) 柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|.
(3) 三角形不等式:设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,那么+≥.
4. 柯西不等式的一般形式
设n为大于1的自然数,ai,bi(i=1,2,…,n)为实数,则ab≥,其中等号当且仅当==…=时成立(当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,…,n).
5. 算术几何平均不等式
≥(a1,a2,…,an∈R*),
等号当且仅当a1=a2=…=an时成立._word/media/image2_1.png
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_word/media/image2_1.png, 1 用比较法证明不等式)
_word/media/image2_1.png, 1) (2017·南京、盐城模拟)设a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
证明:a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4.
因为a≠b,所以(a-b)4>0,
所以a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
已知m,n是正数,求证:+≥m2+n2.
证明:∵+-m2-n2=+==,
又m,n均为正实数,∴≥0,
∴+≥m2+n2,当且仅当m=n时,等号成立.
_word/media/image2_1.png, 2 用分析法、综合法证明不等式)
_word/media/image2_1.png, 2) (2017·南通、泰州模拟)设x,y,z均为正实数,且xyz=1,求证:++≥xy+yz+zx.
证明:因为x,y,z均为正实数,且xyz=1,
所以+xy≥=2yz,+yz≥=2xz,+xz≥=2xy.
所以++≥xy+yz+zx.
_word/media/image2_1.png变式训练
已知a,b,c均为正数.求证:a2+b2+c2+≥6.
证明:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
同理++≥++,
故a2+b2+c2+≥ab+bc+ca+++≥6.
所以原不等式成立.
_word/media/image2_1.png, 3 均值不等式的应用)
_word/media/image2_1.png, 3) (2017·南通、扬州、泰州模拟)已知a,b,c,d是正实数,且abcd=1.求证:a5+b5+c5+d5≥a+b+c+d.
证明:因为a,b,c,d是正实数,且abcd=1,
所以a5+b+c+d≥4=4a ①.
同理b5+c+d+a≥4b ②,c5+d+a+b≥4c ③,d5+a+b+c≥4d ④,
将①②③④式相加并整理,即得a5+b5+c5+d5≥a+b+c+d.
_word/media/image2_1.png变式训练
已知x,y,z均为正数,求证:++≥++.
证明:因为x,y,z均为正数,
所以+≥≥.
同理可得+≥,+≥.
当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.
将上述三个不等式左、右两边分别相加,并除以2,
得++≥++.
已知正数a,b,c满足abc=1,求(a+2)(b+2)(c+2)的最小值.
解:∵ (a+2)(b+2)(c+2)=(a+1+1)(b+1+1)(c+1+1)≥3··3··3·=27·=27,
当且仅当a=b=c=1时等号成立,
∴ (a+2)(b+2)(c+2)的最小值为27.
_word/media/image2_1.png, 4 柯西不等式的应用)
_word/media/image2_1.png, 4) (2017·苏锡常镇一模)已知a,b,c为正数,且a+b+c=3,求++的最大值.
解:由柯西不等式可得
(++)2≤(12+12+12)·[()2+()2+()2]=3×12,
∴++≤6,当且仅当==时取等号.
∴ ++的最大值是6.
_word/media/image2_1.png变式训练
求函数f(x)=5+的最大值.
解:函数定义域为[0,4],且f(x)≥0.
由柯西不等式得[52+()2][()2+()2]≥(5·+·)2,
即27×4≥(5·+·)2,
所以5+≤6.
当且仅当·=5,即x=时,取等号.
所以函数f(x)=5+的最大值为6.
(2017·南京期末)求函数y=3sin x+2的最大值.
解:y=3sin x+2=3sin x+4.
由柯西不等式得y2=(3sin x+4)2≤(32+42)·(sin2x+cos2x)=25,
所以ymax=5,此时sin x=.
所以函数y=3sin x+2的最大值为5.
_word/media/image2_1.png1. (2017·苏州期中)已知a,b,c,d都是正实数,且a+b+c+d=1,求证:+++≥.
证明:∵ [(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]·≥(·+·+·+·)2=(a+b+c+d)2=1,
又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=5,
∴+++≥.
2. (2017·南京、盐城期末)若实数x,y,z满足x+2y+z=1,求x2+y2+z2的最小值.
解:由柯西不等式,得(x+2y+z)2≤(12+22+12)·(x2+y2+z2),
即x+2y+z≤·.
因为x+2y+z=1,所以x2+y2+z2≥,
当且仅当==,即x=z=,y=时取等号.
综上,(x2+y2+z2)min=.
3. (2017·镇江期末)已知a>0,b>0,求证:(a2+b2+ab)·(ab2+a2b+1)≥9a2b2.
证明:因为a>0,b>0,由均值不等式知a2+b2+ab≥3=3ab,ab2+a2b+1≥3=3ab,所以两式相乘可得(a2+b2+ab)·(ab2+a2b+1)≥9a2b2.
4. (2017·常州期末)已知x>0,y>0,且2x+y=6,求4x2+y2的最小值.
解:(解法1)根据柯西不等式得[(2x)2+y2](12+12)≥(2x+y)2,化简得4x2+y2≥18,
当且仅当2x=y=3,即x=,y=3时取等号.
因此,当x=,y=3时,4x2+y2取得最小值18.
(解法2)由2x+y=6得y=6-2x;由x>0,y>0,得0<x<3.
因此4x2+y2=4x2+(6-2x)2=8x2-24x+36=8+18.
当x=,y=3时,4x2+y2取得最小值18.
5. 已知a,b,c>0,且++=1,求证:++≤.
证明:因为++=1,所以++=2.
由柯西不等式,得(++)(++)≥(++)2,
所以++≤.
_word/media/image2_1.png1. 已知x1,x2,x3为正实数,若x1+x2+x3=1,求证:++≥1.
证明:因为x1,x2,x3为正实数,
所以+x1++x2++x3≥2+2+2=2(x1+x2+x3)=2,
当且仅当x1=x2=x3时取等号.所以++≥1.
2. 设a,b,c均为正数, abc=1.求证:++≥++.
证明:由a,b,c均为正数,根据均值不等式,得+≥,+≥,+≥.
将此三式相加,得2≥++,即++≥++.
由abc=1,则有=1.
所以++≥++=++.
3. (2017·苏北三市模拟)已知a,b,c为正实数,且a3+b3+c3=a2b2c2.求证:a+b+c≥3.
证明:因为a3+b3+c3=a2b2c2≥3,所以abc≥3,
所以a+b+c≥3≥3,当且仅当a=b=c=时,取等号.
4. 已知a,b,c∈R,a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最大值.
解:由柯西不等式,得[a2+(b)2+(c)2]·≥(a+b+c)2.
因为a2+2b2+3c2=6,所以(a+b+c)2≤11,
所以-≤a+b+c≤.
所以a+b+c的最大值为,当且仅当a=2b=3c=时取得.
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