2019年福建省中考数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．（4分）计算22+（﹣1）0的结果是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．（4分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（　　）

A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106

3．（4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形

4．（4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．

C． D．

5．（4分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．6

6．（4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（　　）

A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定

B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好

C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高

D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

7．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．a•a3＝a3 B．（2a）3＝6a3

C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0

8．（4分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（　　）

A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685

C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685

9．（4分）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（　　）

A．55° B．70° C．110° D．125°

10．（4分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1

二、填空题（每小题4分，共24分）

11．（4分）因式分解：x2﹣9＝　 　．

12．（4分）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是　 　．

13．（4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有　 　人．

14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是　 　．

15．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是　 　．（结果保留π）

16．（4分）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝　 　．

三、解答题（共86分）

17．（8分）解方程组．

18．（8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．

19．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝+1．

20．（8分）已知△ABC和点A'，如图．

（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．

21．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．

（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；

（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．

22．（10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．

（1）求该车间的日废水处理量m；

（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．

23．（10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；

（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；

（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？

24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．

（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；

（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．

25．（14分）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；

（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．

2019 年福建省初中学业水平考试参考答案

一、选择题：本题考查基础知识与基本技能．每小题 4分，满分 40分．

二、填空题：本题考查基础知识与基本技能．每小题 4分，满分 24分．

三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分．

17. 本小题考查二元一次方程组的解法等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化思想，满分 8分．

word/media/image25.gifx－y＝5，①

解：

2x＋y＝4，②.

①＋②，得(x－y)＋( 2x＋y)＝5＋4， 即 3x＝9，

解得 x＝3，

把 x＝3 代入②，得 2×3＋y＝4，

解得 y＝－2．

所以原方程组的解为

x＝3

word/media/image26.gif．

y＝－2

18. 本小题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与 性质等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，满分 8 分．

证明：∵四边形 ABCD 是矩形，

∴∠D＝∠B＝90°，

AD＝CB，

在△ADF 和△CBE 中，

word/media/image28.gifAD＝CB，

∠D＝∠B，

DF＝BE，

∴△ADF≌△CBE，

∴AF＝CE．

19. 本小题考查分式的混合运算、因式分解、二次根式的运算等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化思想，满分 8分．

解：原式＝(x－1)

x2－(2x－1)

word/media/image29_1.png÷

＝(x－1)

x

x2－2x+1

word/media/image30_1.png÷

＝ (x－1)

x

(x－1)2

word/media/image31_1.png÷

x

＝ (x－1)• x

(x－1)2

x

．

(x－1)

当x＝ 2＋1时，原式＝ 2＋1 ＝ 2＋1＝1＋ 2．

2＋1－1 2 2

word/media/image32.gif

20. 本小题考查尺规作图、相似三角形的性质与判定、三角形中位线定理等基础知识，考 查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想，满分 8 分．

解：(1)

△A′B′C′即为所求作的三角形．

(2)证明：∵D，E，F 分别是△ABC 三边 AB，BC，CA 的中点，

∴DE＝1AC，EF＝1AB，FD＝1BC，

2 2 2

同理，D′E′＝1A′C′，E′F′＝1A′B′，F′D′＝1B′C′．

2 2 2

∵△ABC∽△A′B′C′，

∴AC＝AB＝BC

A'C' A'B' B'C'

1AC 1AB

1BC

∴2 ＝2 ＝

2 ，即DE＝EF＝FD，

1A'C'

2

1

A'B'

2

1B'C'

2

D'E'

E'F'

F'D'

∴△DEF∽△D′E′F′

21. 本小题考查图形的旋转、直角三角形、等腰三角形、等边三角形、三角形的内角和、 平行四边形的判定等基础知识，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想，满分 8分．

解：(1)在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝60°．

由旋转性质得，DC＝AC，∠DCE＝∠ACB＝30°．

∴∠DAC＝∠ADC＝1(180°－∠DCE)＝75°，

2

又∠EDC＝∠BAC＝60°，

∴∠ADE＝∠ADC－∠EDC＝15°．

(2)在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，

∴AB＝1AC，

2

∵F 是 AC 的中点，

∴BF＝FC＝1AC，

2

∴∠FBC＝∠ACB＝30°． 由旋转性质得，

AB＝DE，∠DEC＝∠ABC＝90°，

∠BCE＝∠ACD＝60°，

∴DE＝BF，

延长 BF 交 EC 于点 G，则∠BGE＝∠GBC＋∠GCB＝90°，

∴∠BGE＝∠DEC，

∴DE∥BF，

∴四边形 BEDF 是平行四边形．

22. 本小题考查一元一次方程、一元一次不等式、反比例函数的性质、平均数的概念等基 础知识，考查运算能力、推理能力、应用意识、创新意识、考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想，满分 10分．

解：(1)因为工厂产生工业废水 35吨，共花费废水处理费 370元，

370－30

又

35

68＞8，所以 m＜35，

7

依题意得，30＋8m＋12(35－m)＝370， 解得 m＝20，

故该车间的日废水处理量为 20 吨．

(2)设该厂一天产生的工业废水量为 x 吨．

①当 0＜x≤20 时，依题意得，8x＋30≤10x， 解得 x≥15，所以 15≤x≤20．

②当 x＞20 时，依题意得，12(x－20)＋20×8＋30≤10x， 解得 x≤25，所以 20＜x≤25．

综上所述，15≤x≤25，

故该厂一天产生的工业废水量的范围在 15 吨到 25 吨之间．

23. 本小题考查概率、加权平均数、统计表等基础知识，考查运算能力、推理能力、数据 分析观念、应用意识，考查统计与概念思想，满分 10分．

解：(1)因为“100 台机器在三年使用期内维修的次数不大于 10”的台数为10＋20＋30＝60，

所以“100 台机器在三年使用期内维修的次数不大于 10”的频率为

60＝0.6，

100

故可估计“1 台机器在三年使用期内维修的次数不大于 10”的概率为 0.6．

(2)若每台都购买 10 次维修服务，则有下表：

此时这 100 台机器维修费用的平均数

y1 ＝24000×10＋24500×20＋25000×30＋30000×30＋35000×10

100

＝27300，

若每台都购买 11 次维修服务，则有下表：

此时这 100 台机器维修费用的平均数

y2＝26000×10＋26500×20＋27000×30＋27500×30＋32500×10

100

＝27500，

因为 y1＜y2，所以购买 1 台该机器的同时应一次性额外购买 10 次维修服务．

24. 本小题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想、函数与方程思想，满分 12分．证明：(1)∵AC⊥BD，

∴∠AED＝90°，

在 Rt△AED 中，∠ADE＝90°－∠CAD．

∵AB＝AC，

∴⌒AB＝⌒AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝∠ADE＝90°－∠CAD．

在△ABC 中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠ACB) ＝180°－2(90°－∠CAD)， 即∠BAC＝2∠CAD．

(2)∵DF＝DC，

∴∠FCD＝∠CFD，

∴∠BDC＝∠FCD＋∠CFD，

∴∠BDC＝2∠CFD

∵∠BDC＝∠BAC，且由(1)知∠BAC＝2∠CAD，

∴∠CFD＝∠CAD，

∵∠CAD＝∠CBD，

∴∠CFD＝∠CBD，

∴CF＝CB，

∵AC⊥BF，

∴BE＝EF，故 CA 垂直平分 BF，

∴AC＝AB＝AF＝10，

word/media/image38.gifword/media/image38.gif设 AE＝x，则 CE＝10－x， 在 Rt△ABE和 Rt△BCE中， AB²－AE²＝BE²＝BC²－CE²， 又∵BC＝4 5，

∴10²－x²＝(4 5)²－(10－x )²，解得 x＝6，

∴AE＝6，CE＝4，

word/media/image39.gif∴BE＝ AB²－AE²＝8，

∵∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，

∴△ADE∽△BCE．

∴AE＝DE＝AD，

BE CE BC

word/media/image38.gif∴DE＝3，AD＝3 5．

过点 D 作 DH⊥AB，垂足为 H．

∵S ABD＝1AB•DH＝1BD•AE，BD＝BE＋DE＝11，

2 2

∴10DH＝11×6，故 DH＝33，

5

word/media/image40.gif在 Rt△ADH 中，AH＝ AD²－DH²＝6，∴tan∠BAD＝DH＝11．

5 AH 2

25. 本小题考查一次函数和二次函数的图形与性质、等腰直角三角形的性质与判定、图形的对称等基础知识本，考查运算能力、推理能力、空间观念和几何几何直观，创新意识、 考查函数与方程思想，数形结合思想、考查化归与转化思想，满分 14 分．

解：(1)依题意，△＝b2－4ac＝0，

－b＝2，

2a

所以(－4a)2－4ac＝0，

因为 a≠0，所以 c＝4a，即 a，c满足的关系式为 c＝4a．

(2)①当 k＝0时，直线 l为 y＝1，它与 y轴的交点为(0，1)．

∵直线 y＝1 与 x 轴平行，

∴等腰直角△ABC 的直角顶点只能是 A，且 A 是抛物线的顶点． 过 A 作 AM⊥BC，垂足为 M，则 AM＝1，

∴BM＝MC＝AM＝1， 故点 A 坐标为(1，0)，

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