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汇总奥数题100道及答案

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文件编号：5F-F4-80-6C-08
顺义区20202021学年第一学期期末




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文件编号：5F-F4-80-6C-08

顺义区2020-2021学年第一学期期末考试
高三数学试卷
考生须知
1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分，考试时间120分钟．2.在答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和教育ID号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束后，请将答题卡上交．
第一部分（选择题共40分）
1.选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合
，
，则

A.

B.C.

D.
（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
A.

B.C.

D.
（3）在A.
B.
的展开式中，常数项为C.
D.


（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
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A.

B.
C.
D.

（5）我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯
A．32盏B．64盏C．128盏D.196盏（6）设双曲线心率为
的方程为
，若
的一条渐近线的斜率为
，则
的离
A.B.C.D.

（7）已知，且，则下列不等式中不恒成立的是
A.

B.C.

D.
”是“
”的
（8）已知两条直线m，n和平面α，且A.充分必要条件

，则“
B.充分而不必要条件
D.既不充分也不必要条件

C.必要而不充分条件
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（9）在中，，则
A．B．C．D.
，使得
，则实数的取值
（10）已知函数范围是A．
B．
．若存在
C．D.

第二部分（非选择题共110分）
2.填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）
．
（12）设抛物线则点
的焦点为，则=_____；若点在抛物线上，且，
的坐标为______．
，能说明
的值依次是______．
既是偶函数又在区间
上单调递减的
（13）已知函数一组整数
（14）已知单位向量的最小值为______．
满足，则与夹角的大小为_____；（）
（15）已知椭圆圆
相交于点
，
的左、右焦点分别为
．给出下列三个命题：
，，直线
与椭
①存在唯一一个m，使得②存在唯一一个m，使得
为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；
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③存在
，使
的周长最大．
其中，所有真命题的序号为__________．
3.解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．（16）（本小题满分13分）在三棱柱中，
平面
，
是
的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅰ）求二面角
的余弦值．


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，
，
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（17）（本小题满分14分）函数（Ⅰ）求函数（Ⅰ）求函数
的解析式；
在区间
上的最小值．
，
，
的部分图象如图所示．

（18）（本小题满分14分）
为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如下表：运动鞋款式
A
B3500.5
C3000.7
D2500.5
E4000.6
回访顾客（人数）700满意度
0.3
注：1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．
假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
（Ⅰ）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
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（Ⅰ）从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅰ）用“
”和“
”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“
与
”和“
”分别
表示对B款运动满意和不满意，试比较方差

的大小．（结论不要求证明）
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（19）（本小题满分14分）
已知椭圆
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）若直线
经过点和．
与椭圆C交于，两点，且坐标原点到直线的距离为
．求证：以
为直径的圆经过点
．

（20）（本小题满分15分）已知函数
.
（Ⅰ）若,求曲线的斜率等于3的切线方程；
（Ⅰ）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.

（21）（本小题满分15分）已知
是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使得②对于中任意项，在中都存在两项，使得第8页共17页

.
；
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(Ⅰ若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅰ若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅰ若
是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：
为等差数列.
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题号答案
12345678910
BDAACACCDB
参考答案
1.选择题（共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）
二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分11.
；12.
，
(前3分，后2分；13.
（答案不唯一）；
14.，(前3分，后2分；15.①③
三．解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为所以又
平面
平面
，
.-----------------2分，
，
平面
，
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所以因为所以
平面平面
.-----------------4分，
.-----------------5分
中，，.两两垂直.
，------------6分，
（Ⅰ）在三棱柱因为由所以所以
，
平面平面
，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系
所以，，，
.
设平面的法向量为
，，
因为，
所以
.即
.
令，则，.
所以平面因为
的一个法向量为平面
，
.-------------------9分
所以平面的一个法向量为
.-----------------10分
所以
.-----------------------------13分
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所以二面角
17.（本小题满分14分）
的余弦值为.
解：（Ⅰ）由题设图象知，周期，
因为而由题意知因为函数
，所以
，所以的图象过点
．---------------------------2分
．----------------4分
，所以
．
所以．所以
又因为，所以.
故函数的解析式为.------------------7分
（Ⅰ）
---------9分
==------------------11分
因为，所以.
所以当时，即时，取到最小值，
且最小值为.---------------------------------------14分
18.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由题意知，是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为
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-----------------2分
故此顾客是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是
.--------------------------------------------4分
（Ⅰ）X的取值为0，1，2.---------------------------------5分设事件事件且事件根据题意，
为“从A款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，为“从E款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
相互独立.
估计为
，
估计为
.
则----6分


---------7分
--------------8分
所以
X
00.28
10.54
20.18

---------------------------10分
的期望是：（Ⅰ）
.-------------------------------------------14分
.----12分
的分布列为：

19.（本小题满分14分）
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解：（Ⅰ）因为椭圆经过点
，所以
.-------------------------1分
又因为椭圆经过点，所以，解得.------3分
所以椭圆的方程为．-----------------------------4分
（Ⅰ）由，可得.-------6分
由题意，，设，，
所以，.-----------------------8分
因为原点到直线的距离为，所以.
即因为
.-----------------------------------------9分
-----------------------10分

----------------11分
----------------------------13分
所以因此以
.即
为直径的圆过原点
.
.-----------------------------14分
20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）当
时，
，
，------------2分
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设切点为
，则
，
解得或（舍）----------------------------------3分
所以切点为
.
---------------------------------------4分
.
.------------------------------------5分
所以所求切线方程为即
（Ⅰ）因为，--------------------------6分
由及定义域，令，得.-----------7分
①当，即时，
在上，所以在上单调递增.
此时在上不可能存在两个零点；-------------------9分
②当，即时，
在上，所以在上单调递减.
此时在上不可能存在两个零点；-------------------11分
③当，即时，要使在区间上恰有两个零点，
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则，即，此时.
综上，实数的取值范围是.--------------------------15分
21.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）数列
不满足性质①，理由如下：----------------------2分
取数列中的，，所以.
由，解得，显然不是整数.
所以在数列中不存在，使得，
故数列不满足性质①；----------------------------------4分
（Ⅰ）数列同时满足性质①和性质②，理由如下：--------------5分
对于中任意两项，，记，
因此，从而数列满足性质①；-----------------7分
对于中任意项，记，，
显然有，从而数列满足性质②；
综上，数列同时满足性质①和性质②--------------------9分
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（Ⅰ）是递增数列，，则，根据性质①
…,
，
由数学归纳法原理，可以证明
------------------------12分
另一个方面，我们用反证法证明
假设（）是中最小的不能写成的整倍数的项，
根据性质②，存在两项，使得，
我们记，可知：，
易知，
根据（）的最小性，可知道
，可以得到，与t不是正整数矛盾.
综上所述，
整理丨尼克
是首项为0，公差为的等差数列.-------------15分
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ced55023876a561252d380eb6294dd88d1d23dec.html

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