一元一次方程和它的解法
学习目标
1．了解一元一次方程的概念，灵活运用等式的基本性质和移项法则解一元一次方程，会对方程的解进行检验；毛毛
2．通过对一元一次方程的解法步骤的灵活运用，培养学生的运算能力；
3．通过解方程的教学，了解“未知”可以转化为“已知”的思想．
知识讲解
一、重点、难点分析
本节的重点是移项法则，一元一次方程的概念及其解法，难点是对一元一次方程解法步骤的灵活运用．掌握移项要变号和去分母、去括号的方法是正确地解一元一次方程的关键．学习中应注意以下几点：
1．关于移项．
方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边．也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边．移项中常犯的错误是忘记变号．还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别．如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不变号，因为改变某一项在多项式中的排列顺序，是以加法交换律与给合律为根据的一种变形，但如果把某些项从等号的一边移到另一边时，这些项都要变号．
2．关于去分母
去分母就是根据等式性质2在方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数．常犯错误是漏乘不含有分母的项．如把 变形为
这一项漏乘分母的最小公倍数6，为避勉这类错误，解题时可多写一步．
再用分配律展开．再一个容易错误的地方是对分数线的理解不全面．分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上，如上例提到的．
3．关于去括号．
去括号易犯的错误是括号前面是负号，而去括号时忘记变号；一个数乘以一个多项式，去括号时漏乘多项式的后面各项．如 及
都是错误的．
4．解方程的思路：
解一元一次方程实际上就是将一个方程利用等式的性质进行一系列的变形最终化为 的形式，然后再解
即可．
二、知识结构
三、教法建议
1．本小节开头的两个例子的目的是引入移项法则．移项法则不仅适用于解方程，而且适用于解不等式；不仅适用于移动整式项，而且适用于移动有意义的非整式项．因此说移项法则是等式性质1的推论不太合理．但对初一学生来说，用等式性质1来引入移项法则是容易接受的．
第一个例子是解方程 学生见到这种方程后，如果先想到用小学里学过的逆运算的方法来求解，那么教师应告诉学生，我们现在要学习一种新的解法，它能用来解较为复杂的方程，请大家先回忆在本教科书第一章中的解法，然后启发学生根据等式性质1来解这个方程．
在分析方程 的解法过程中，教科书提出了移项法则，即方程左边的项可以在改变符号后移到方程右边；在分析方程
的解法过程中，教科书又提出方程右边的项可以在改变符号后移到方程左边．讲完这两个例子后，要引导学生归纳出移项法则——方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的对边移到另一边．教学中可以利用教科书上的两个图来讲移项法则，以帮助学生理解．
2．①判定一个方程是不是一元一次方程，先将方程经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形．如果能化为最简形式 ，或标准形式
，那么，它就是一元一次方程；否则，就不是一元一次方程．
②方程 或
，只有当
时，才是一元一次方程；反之，如果明确指出方程
或
是一元一次方程，就隐含着已知条件
.
3．①所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在方程的一边交换两项的位置；
②移项时要变号，不变号不能移项．
4．在定义了一元一次方程之后，教科书总结了解这类方程的一般步骤．这时要强调指出，由于方程的形式不同，在解方程时这五个步骤并不一定都要用到，并且也不一定完全按照步骤作。又例如，在解方程 时，先移项比先去括号更为简便．因此对于解一元一次方程的一般步骤，要根据具体情况灵活运用，不宜死套．另外还应指出，在上述一般步骤中的第四步“合并同类项”，“把方程化成
的形式”是其中必不可少的一步，在教学中应予以强调．
5．在方程的分母中含有小数，通常将分母中的小数化成整数，然后通过去分母等步骤来求解．另外，当方程比较复杂时，由于解题步骤较多，容易出错，必须验根，检验答案是否正确，但检验不是必要步骤．
在一个公式中，有一个字母表示未知数，在其余字母都表示已知数时求这个未知数的值．这类问题在实际应用中和在学生以后学习物理、化学等课程时，都经常会遇到，因此要予以足够的重视．
典型例题
例1 判断下面的移项对不对，如果不对，应怎样改正？
（1）从 得到
；
（2）从 得到
；
（3）从 得到
；
（4）从 得到
；
分析：判断移项是否正确，关键看移项后的符号是否改变，一定要牢记“移项变号”．注意：没有移动的项，符号不要改变；另外等号同一边的项互相调换位置，这些项的符号不改变．
解：（1）不对，等号左边的7移到等号右边应改变符号．正确应为：
（2）对．
（3）不对．等号左端的－2移到等号右边改变了符号，但等号右边的 移到等号左边没有改变等号．正确应为：
（4）不对．等号右边的 移到等号左边，变为
是对的，但等号右边的－2仍在等号的右边没有移项，不应变号．正确应为：
例2 解方程：
（1） ； （2）
; （3）
； （4）
分析：本题都是简单的方程，只要根据等式的性质2．把等号左边未知的系数化为1，即可得到方程的解．
解：（1）把 的系数化为1，根据等式的性质2．在方程两边同时除以3得，
检验 左边 ，右边
左边=右边．
所以 是原方程的解．
（2）把 的系数化为1，根据等式的性质2，在方程两边同时除以4得，
．
检验：左边 ，右边=2，
左边=右边
所以 是原方程的解．
（3）把 的系数化为1．根据等式性质2，在方程的两边同时乘以
得，
检验，左边
右边
左边=-右边，
所以 是原方程的解；
（4）把 的系数化为1，根据等式的性质2，在方程两边同时乘以－2得：
检验：左边 ，右边
，
左边=右边．
所以 是原方程的解．
说明： ①在应用等式的性质2把未知数的系数化为1时，什么情况适宜用“乘”，什么情况下适宜用“除”，要根据未知数的系数而定．一般情况来说．当未知数的系数是整数时，适宜用除；当未知数的系数是分数（或小数）适宜用乘．（乘以未知数系数的倒数）．②要养成进行检验的习惯，但检验可不必书面写出．
例3 解方程：
（1） ； （2）
；
（3） ； （4）
分析： 解方程的思路是将已知方程通过一系列变形化为最简方程 的形式，也就是说把
作为已知方程变形的目标．因此，要把已知方程转化为最简化，就要把含有未知数的项都移到等号的一边，常数项移到等号的另一端．
解法一：（1）移项，得：
合并同类项，得：
（2）移项，得
合并同类项，得 ，
系数化成1，得，
解法二：移项，得， ，
合并同类项，得：
系数化为1，得，
（3）移项，得：
合并同类项，得
系数化为1，得
（4）移项，得：
合并同类项，得，
系数化为1，得
说明：第（2）题采用了两种不同的移项方法，目的都是将未知数的项移到等号的一端，已知数移到等号另一端，事实上，其它的题目也都可以采用不同的移项方法，要根据题目的特点，寻找简捷的移项方法．
例4 解方程：
（1） ；
（2）
分析：为了把已知方程化为最简方程 的形式，首先要去括号，然后再作其它变形．
解：（1）去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得
系数化成1，得
说明： ①用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号；② 不是方程的解，必须把
系数化为1，得
才算完成了解方程过程．
（2）去小括号：
合并括号里的同类项，得： ，
去中括号，得：
合并同类项，得：
移项，得
说明： 方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，再去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算．
例5 解方程：
（1） ； （2）
分析： 方程中含有分母，应根据等式的性质2，方程两边同乘以各分母的最小公倍数，从而去掉分母，然后再作其它变形．
解：（1）方程两边都乘以4，去分母，得：
，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化成1，得
（2）方程两边都乘以12，去分母，得：
去括号，得
移项，得 ，
合并同类项，得：
系数化成1，得：
说明： ①去分母所选的乘数应是所有分母的最小公倍数，不应遗漏；
②用分母的最小公倍数去乘方程的两边时，不要遗漏掉等号两边不含分母的项．如（2）题的“1”．
③去掉分母以后，分数线也同时去掉，分子上的多项式用括号括起来（当式子前是正号时，可省略括号）．
例6 解方程：（1） ；
（2）
解：（1）移项，得：
合并同类项，得：，
移项，得
合并同类项，得
（2）先去中括号得
去小括号，得，
移项，得，
合并同类项，得 ，
系数化成1，得
说明： 在解方程时，要注意分析方程的结构特点，有针对性地确定解题方案，灵活地安排解题步骤．
例7 已知关于 的方程
的根是2，求
的值．
解法一：因为 是方程
的根，所以
代入方程左右两边一定相等，即：
，
解这个以 为未知数的方程，得：
解法二：把原方程看作以 为未知数的一元一次方程，
看作已知数求解；
∵
∴
把 代入上式，得：
说明： 解法一是利用方程解的概念，将 代入原方程，使原方程转化为以
为未知数的一元一次方程，从而求出
解法二是将原方程直接看成以 为未知数的一元一次方程，解出
用字母
的代数式表示，再将
代入代数式中求得
例8 甲、乙两工程队共有100人，甲队人数比己队人数的3倍少20人．求甲、乙两队各有多少人？
分析：题中已知甲、乙两工程队共有100人，由此可知等量关系为：
甲队人数十乙队人数=甲、乙两队总人数．
设乙队人数为x人，再分析上述相等关系中的左右两边，可得下表：
有了这个表，方程就不难列出来了．
解：设乙队有 人，则甲队有
人
根据题意，得
解这个方程，得
答：甲队有70人；乙队有30人．
说明：（1）先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再列出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理．
（2）所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等．
（3）要养成“验”的好习惯．即所求结果要使实际问题有意义．
（4）不要漏写“答”．“设”和“答”都不要丢掉单位名称．
（5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真．
练习
一、习题精选
1．填空题
（1）解方程中移项变号的根据是 ；（2）一元一次方程的标准形式是 ；
（3）解一元一次方程的一般步骤有 ____________________________ ；
（4）方程 的解是 ；（5）方程
的解是 ；
（6）方程 的解是 ；（7）方程
的解是 ；
（8）方程 的解是 ；（9）方程
的解是 ；
（10）解方程 去分母，得 _____________________ 。
2．解方程：
（1） ； （2）
； （3）
；
（4） ；（5）
； （6）
3．解方程：
（1） ；（2）
；
（3） ；（4）
；
4．解方程：
（1） ； （2）
；
（3） （4）
5．解方程：
（1） ； （2）
；
6．解方程：
（1） ； （2）
；
（3） ； （4）
7．根据下列条件列出方程，然后求出某数。
（1）某数的 比它的相反数小5；
（2）某数与3的差的一半比9与这个数的差少6；
（3）某数与－6的差的3倍等于这个数的相反数；
（4）某数的7倍与10%的和恰好是它的5%与3的差。
8．（1） x取何值，代数式 与
的值相等？
（2） x取何值，代数式 与
的值相等？
答案：
1．填空题
（1）等式的性质1； （2） ；
（3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1。
（4） ； （5）
； （6）
； （7）
；
（8） ； （9）
； （10）
2．解方程：（1） ； （2）
； （3）
； （4）
；
（5） ； （6）
3．解方程：（1） ； （2）
； （3）
； （4）
4．解方程：（1） ； （2）
； （3）
； （4）
5．解方程：（1） ； （2）
6．解方程：（1） ； （2）
； （3）
； （4）
7．根据下列条件列出方程，然后求出某数。
（1） ，
；（2）
；
（3） ；（4）
8．（1） ；（2）
二、探究活动
运动与学习成绩:班里共有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会打篮球．全部掌握这三种运动项目的学生一个也没有．在这25个学生中，有6人数学成绩不及格．而参加以上运动的学生中，有2人数学成绩优秀，没有数学不及格的(学习成绩分优秀、良好、及格、不及格)．问：全班数学成绩优秀的学生有几名？既会游泳又会打篮球的有几人？
参考答案:
全班数学成绩及格的学生有25-6=19(人)，参加运动的人次共有17+13+8=38，因没有一个学生掌握三个运动项目，且数学没有不及格的，所以参加运动的学生共19人．每人掌握两个运动项目，19人中有17个会骑自行车，只有两个学生同时会游泳又会打篮球．
参加运动的共19人，且数学成绩全部及格，不参加运动的数学全不及格，所以全班数学成绩优秀的学生只有2名．毛毛
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