2019年山东省春季高考数学试卷

书海遨游十几载，今日考场见真章。从容应对不慌张，气定神闲平时样。妙手一挥锦绣成，才思敏捷无题挡。开开心心出考场，金榜题名美名扬。祝你高考凯旋！

2018-2019学年山东省春季高考数学试卷

一、选择题温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!

金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!

高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

1．已知全集U={1，2}，集合M={1}，则∁UM等于（　　）

A．∅ B．{1} C．{2} D．{1，2}

2．函数的定义域是（　　）

A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（　　）

A．y=x B．y=1 C． D．y=|x|

4．二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（　　）

A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+3

5．等差数列{an}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，则a5等于（　　）

A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32

6．已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（　　）

A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C． D．

7．“p∨q为真”是“p为真”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6

9．下列说法正确的是（　　）

A．经过三点有且只有一个平面

B．经过两条直线有且只有一个平面

C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直

D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直

10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（　　）

A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0

11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（　　）

A．72 B．120 C．144 D．288

12．若a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（　　）

A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2 D．

13．函数f（x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

14．如果，，那么等于（　　）

A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18

15．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（　　）

A． B． C． D．

16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是（　　）

A． B． C． D．

17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（　　）

A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5）2=4

18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（　　）

A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15

19．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为（　　）

成绩分析表

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

20．已知A1，A2为双曲线（a＞0，b＞0）的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若△A1MN的面积为，则该双曲线的离心率是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：

21．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于　 　．

22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，则cosA=　 　．

23．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长等于　 　．

24．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是　 　．

25．对于实数m，n，定义一种运算：，已知函数f（x）=a*ax，其中0＜a＜1，若f（t﹣1）＞f（4t），则实数t的取值范围是　 　．

三、解答题：

26．已知函数f（x）=log2（3+x）﹣log2（3﹣x），

（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；

（2）已知f（sinα）=1，求α的值．

27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：

①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；

②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．

请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．

28．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A1C1的中点，如图所示．

（1）求证：DE∥平面BCC1B1；

（2）求DE与平面ABC所成角的正切值．

29．已知函数．

（1）求该函数的最小正周期；

（2）求该函数的单调递减区间；

（3）用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．

30．已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如图所示．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．

2017年山东省春季高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．已知全集U={1，2}，集合M={1}，则∁UM等于（　　）

A．∅ B．{1} C．{2} D．{1，2}

【考点】1F：补集及其运算．

【分析】根据补集的定义求出M补集即可．

【解答】解：全集U={1，2}，集合M={1}，则∁UM={2}．

故选：C．

2．函数的定义域是（　　）

A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

【考点】33：函数的定义域及其求法．

【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可．

【解答】解：函数，

∴|x|﹣2＞0，

即|x|＞2，

解得x＜﹣2或x＞2，

∴函数y的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．

故选：D．

3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（　　）

A．y=x B．y=1 C． D．y=|x|

【考点】3E：函数单调性的判断与证明．

【分析】根据基本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可．

【解答】解：对于A，函数y=x，在区间（﹣∞，0）上是增函数，满足题意；

对于B，函数y=1，在区间（﹣∞，0）上不是单调函数，不满足题意；

对于C，函数y=，在区间（﹣∞，0）上是减函数，不满足题意；

对于C，函数y=|x|，在区间（﹣∞，0）上是减函数，不满足题意．

故选：A．

4．二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（　　）

A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+3

【考点】3W：二次函数的性质．

【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f（x）=a（x﹣1）2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决

【解答】解：二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3），则对称轴x=1，最大值是5，

可设f（x）=a（x﹣1）2+5，

于是3=a+5，解得a=﹣2，

故f（x）=﹣2（x﹣1）2+5=﹣2x2+4x+3，

故选：D．

5．等差数列{an}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，则a5等于（　　）

A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32

【考点】8F：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．

【分析】根据题意，由等比数列的性质可得（a3）2=4×49，结合解a3＜0可得a3的值，进而由等差数列的性质a5=2a3﹣a1，计算即可得答案．

【解答】解：根据题意，a3是4与49的等比中项，

则（a3）2=4×49，解可得a3=±14，

又由a3＜0，则a3=﹣14，

又由a1=﹣5，

则a5=2a3﹣a1=﹣23，

故选：B．

6．已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（　　）

A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C． D．

【考点】95：单位向量．

【分析】先求出=（﹣1，1），由此能求出向量的单位向量的坐标．

【解答】解：∵A（3，0），B（2，1），

∴=（﹣1，1），∴||=，

∴向量的单位向量的坐标为（，），即（﹣，）．

故选：C．

7．“p∨q为真”是“p为真”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由真值表可知：“p∨q为真命题”则p或q为真命题，故由充要条件定义知p∨q为真”是“p为真”必要不充分条件

【解答】解：“p∨q为真命题”则p或q为真命题，

所以“p∨q为真”推不出“p为真”，但“p为真”一定能推出“p∨q为真”，

故“p∨q为真”是“p为真”的必要不充分条件，

故选：B．

8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6

【考点】HW：三角函数的最值．

【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y的最小值．

【解答】解：∵函数y=cos2x﹣4cosx+1=（cox﹣2）2﹣3，且cosx∈[﹣1，1]，故当cosx=1时，函数y取得最小值为﹣2，

故选：B．

9．下列说法正确的是（　　）

A．经过三点有且只有一个平面

B．经过两条直线有且只有一个平面

C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直

D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直

【考点】LJ：平面的基本性质及推论．

【分析】在A中，经过共线的三点有无数个平面；在B中，两条异面直线不能确定一个平面；在C中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

【解答】在A中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故A错误；

在B中，两条相交线能确定一个平面，两条平行线能确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，故B错误；

在C中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直，故C错误；

在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故D正确．

故选：D．

10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（　　）

A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0

【考点】IB：直线的点斜式方程．

【分析】求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可．

【解答】解：由，

解得：，

由方向向量得：

直线的斜率k=﹣3，

故直线方程是：y+2=﹣3（x﹣1），

整理得：3x+y﹣1=0，

故选：A．

11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（　　）

A．72 B．120 C．144 D．288

【考点】D8：排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：

①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，

②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，

有C21C43=8种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，

则以排出8×24=192个不同节目单，

③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，

有C22C42=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A22=2种情况，排好后有3个空位，

在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A32=6种情况，

此时有6×2×6=72种可能，

就可以排出72个不同节目单，

则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，

故选：D．

12．若a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（　　）

A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2 D．

【考点】R3：不等式的基本性质．

【分析】A，由a＜b＜0，可得a+c＜b+c；

B，c的符号不定，则ac，bc大小关系不定；

C，由a＜b＜0，可得a2＞b2；

D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b⇒；

【解答】解：对于A，由a＜b＜0，可得a+c＜b+c，故正确；

对于B，c的符号不定，则ac，bc大小关系不定，故错；

对于C，由a＜b＜0，可得a2＞b2，故错；

对于D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b⇒，故错；

故选：A

13．函数f（x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

【考点】4H：对数的运算性质．

【分析】由g（9）=log39=2=f（﹣1）=2﹣k，解得即可．

【解答】解：g（9）=log39=2=f（﹣1）=2﹣k，

解得k=﹣1，

故选：C

14．如果，，那么等于（　　）

A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】由已知求出及与的夹角，代入数量积公式得答案．

【解答】解：∵，，

∴，且＜＞=π．

则==3×6×（﹣1）=﹣18．

故选：A．

15．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（　　）

A． B． C． D．

【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．

【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求cosα，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式可求cos（π+2α）的值．

【解答】解：若角α的终边落在直线y=﹣3x上，

（1）当角α的终边在第二象限时，不妨取x=﹣1，则y=3，r==，

所以cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=；

（2）当角α的终边在第四象限时，不妨取x=1，则y=﹣3，r==，

所以sinα=，cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=，

故选：B．

16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是（　　）

A． B． C． D．

【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．

【分析】利用二元一次不等式（组）与平面区域的关系，通过特殊点判断即可．

【解答】解：因为（1，0）点满足2x﹣y＞0，

所以二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是：C．

故选：C．

17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（　　）

A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5）2=4

【考点】J1：圆的标准方程．

【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆C1的圆心关于y=﹣x的对称点，再由圆的标准方程得答案．

【解答】解：由圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，得圆心坐标为（﹣5，0），半径为2，

设点（﹣5，0）关于y=﹣x的对称点为（x0，y0），

则，解得．

∴圆C2的圆心坐标为（0，5），

则圆C2的方程是x2+（y﹣5）2=4．

故选：D．

18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（　　）

A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15

【考点】DB：二项式系数的性质．

【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

【解答】解：∵二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6，

则展开式中的通项公式为 Tr+1=C6r•（﹣1）r•x．

令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为 C62•（﹣1）2=15，

故选：C．

19．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为（　　）

成绩分析表

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【考点】BC：极差、方差与标准差．

【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可．

【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙，

由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加．

故选：B．

20．已知A1，A2为双曲线（a＞0，b＞0）的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若△A1MN的面积为，则该双曲线的离心率是（　　）

A． B． C． D．

【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A1（﹣a，0）到直线渐近线的距离d，根据三角形的面积公式，即可求得△A1MN的面积，即可求得a和b的关系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x，设以A1A2为直径的圆与双曲线的渐近线y=x交于M，N两点，

则A1（﹣a，0）到直线y=x的距离d==，

△A1MN的面积S=×2a×==，整理得：b=c，

则a2=b2﹣c2=c2，即a=c，

双曲线的离心率e==，

故选B．

二、填空题：

21．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于　3π　．

【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2π，则圆锥侧面积S=πrl，由此能求出结果．

【解答】解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2πr

∴圆锥侧面积：

S==πrl

=π×1×3=3π．

故答案为：3π．

22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，则cosA=　　．

【考点】HR：余弦定理．

【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解．

【解答】解：∵∠B=2∠A，

∴sin∠B=2sin∠Acos∠A，

又∵a=2，b=3，

∴由正弦定理可得：，

∵sin∠A≠0，

∴cos∠A=．

故答案为：．

23．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长等于　24　．

【考点】K4：椭圆的简单性质．

【分析】利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=12，|QF1|+|QF2|=2a=12即可求得△PQF2的周长．

【解答】解：椭圆+=1的焦点在y轴上，则a=6，b=4，设△PQF2的周长为l，

则l=|PF2|+|QF2|+|PQ|，

=（|PF1|+|PF2|）+（|QF1|+|QF2|）

=2a+2a，

=4a=24．

∴△PQF2的周长24，

故答案为：24．

24．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是　　．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．

【分析】先求出基本事件总数n=，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m==4，由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率．

【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，

基本事件总数n=，

其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m==4，

∴其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：

p===．

故答案为：．

25．对于实数m，n，定义一种运算：，已知函数f（x）=a*ax，其中0＜a＜1，若f（t﹣1）＞f（4t），则实数t的取值范围是　（﹣，2]　．

【考点】5B：分段函数的应用．

【分析】求出f（x）的解析式，得出f（x）的单调性，根据单调性得出t﹣1和4t的大小关系，从而可得t的范围．

【解答】解：∵0＜a＜1，

∴当x≤1时，ax≥a，当x＞1时，a＞ax，

∴f（x）=．

∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上为常数函数，

∵f（t﹣1）＞f（4t），

∴t﹣1＜4t≤1或t﹣1≤1＜4t，

解得﹣＜t≤或．

∴﹣．

故答案为：（﹣，2]．

三、解答题：

26．已知函数f（x）=log2（3+x）﹣log2（3﹣x），

（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；

（2）已知f（sinα）=1，求α的值．

【考点】4N：对数函数的图象与性质．

【分析】（1）要使函数f（x）=log2（3+x）﹣log2（3﹣x）有意义，则⇒﹣3＜x＜3即可，

由f（﹣x）=log2（3﹣x）﹣log2（3+x）=﹣f（x），可判断函数f（x）为奇函数．

（2）令f（x）=1，即，解得x=1．即sinα=1，可求得α．

【解答】解：（1）要使函数f（x）=log2（3+x）﹣log2（3﹣x）有意义，则⇒﹣3＜x＜3，

∴函数f（x）的定义域为（﹣3，3）；

∵f（﹣x）=log2（3﹣x）﹣log2（3+x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数．

（2）令f（x）=1，即，解得x=1．

∴sinα=1，

∴α=2k，（k∈Z）．

27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：

①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；

②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．

请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．

【考点】5D：函数模型的选择与应用．

【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论．

【解答】解：若按方案①缴费，需缴费50×0.9=45万元；

若按方案②缴费，则每天的缴费额组成等比数列，其中a1=，q=2，n=20，

∴共需缴费S20===219﹣=524288﹣≈52.4万元，

∴方案①缴纳的保费较低．

28．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A1C1的中点，如图所示．

（1）求证：DE∥平面BCC1B1；

（2）求DE与平面ABC所成角的正切值．

【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．

【分析】（1）取AC的中点F，连结EF，DF，则EF∥CC1，DF∥BC，故平面DEF∥平面BCC1B1，于是DE∥平面BCC1B1．

（2）在Rt△DEF中求出tan∠EDF．

【解答】（1）证明：取AC的中点F，连结EF，DF，

∵D，E，F分别是AB，A1C1，AC的中点，

∴EF∥CC1，DF∥BC，又DF∩EF=F，AC∩CC1=C，

∴平面DEF∥平面BCC1B1，

又DE⊂平面DEF，

∴DE∥平面BCC1B1．

（2）解：∵EF∥CC1，CC1⊥平面BCC1B1．

∴EF⊥平面BCC1B1，

∴∠EDF是DE与平面ABC所成的角，

设三棱柱的棱长为1，则DF=，EF=1，

∴tan∠EDF=．

29．已知函数．

（1）求该函数的最小正周期；

（2）求该函数的单调递减区间；

（3）用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．

【考点】HI：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；H2：正弦函数的图象．

【分析】（1）由已知利用两角差的正弦函数公式可得y=3sin（2x﹣），利用周期公式即可得解．

（2）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数的单调递减区间．

（3）根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．

【解答】解：（1）∵=3sin（2x﹣），

∴函数的最小正周期T==π．

（2）∵令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，

∴函数的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z，

（3）列表：

描点、连线如图所示：

30．已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如图所示．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．

【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）根据题意得F（1，0），即c=1，再通过e=及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；

（2）将准线方程代入椭圆方程，求得A点坐标，求得抛物线的切线方程，由△=0，求得k的值，分别代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段AB的长．

【解答】解：（1）根据题意，得F（1，0），∴c=1，

又e=，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，

故椭圆的标准方程为：

（2）抛物线的准线方程为x=﹣1

由，解得，，

由A位于第二象限，则A（﹣1，），

过点A作抛物线的切线l的方程为：

即直线l：4x﹣3y﹣4=0

由整理得

整理得：ky2﹣4y+4k+6=0，

当k=0，解得：y=，不符合题意，

当k≠0，由直线与抛物线相切，则△=0，

∴（﹣4）2﹣4k（4k+6）=0，解得：k=或k=﹣2，

当k=时，直线l的方程y﹣=（x+1），

则，整理得：（x+1）2=0，

直线与椭圆只有一个交点，不符合题意，

当k=﹣2时，直线l的方程为y﹣=﹣2（x+1），

由，整理得：19x2+8x﹣11=0，解得：x1=﹣1，x2=，

则y1=，y2=﹣，

由以上可知点A（﹣1，），B（，﹣），

∴丨AB丨==，

综上可知：线段AB长度为

2017年7月12日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d52d7fe050e79b89680203d8ce2f0066f5336484.html