常见的分布函数

6 数理统计的基本概念

6.1 基本要求

1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。

2 了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。

3 了解2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。

4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。

6.2 内容提要

6.2.1 总体和样本

1 总体和个体 研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。

2 样本 从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。

3 简单随机样本 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的容量为n的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，Xn相互独立且每个样品Xi与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本。

4 样本的联合分布

若总体X具有分布函数F(x)，则样本(X1，X2，…，Xn)的联合分布函数为

若总体X为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则样本的联合概率密度为

(6.1)

若总体X为离散型随机变量，其分布律为P{X=ai}=pi (i=1，2，…n)，则样本的联合分布为

(6.2)

其中为的任一组可能的观察值。

6.2.2 样本分布

1 频率分布

设样本值(x1，x2，…，xn)中不同的数值是x1*，x2*，…，xl*，记相应的频数分别为n1，n2，…，nl，其中x1*< x2*<…< xl*且。则样本的频数分布及频率分布可由表6-1给出。

表6-1

2 经验分布函数

定义 设(X1，X2，…，Xn)为总体X的一个样本，其样本值为(x1，x2，…，xn)，则称函数

为样本值(x1，x2，…，xn)的经验分布函数。

若已知样本值(x1，x2，…，xn)的频数、频率分布表为

则经验分布函数

(6.3)

6.2.3 几个重要分布及临界值

1．分布 设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且Xi～N (0，1) (i=1，2，…，n)，则称随机变量

服从自由度为n的分布，简记为～(n)。

2分布的性质：

(1)设～(n)，则,

(2)设，，且Y1，Y2相互独立，则有

3．t分布 设，，且X，Y相互独立，则称随机变量

服从自由度为n的t分布，或称学生氏(Student)分布，简记为T～t(n)。

4．t分布的性质

(1)

(2)；这里f (x)为t分布的概率密度函数。

5．F分布 设，，且X，Y相互独立，则称随机变量

所服从的分布是自由度为m，n的F分布，简记为F～F(m，n)。

6．F分布的性质

(1) 若则

(2)

(2) 若F～F(m，n)，则。

7．临界值

(1) 标准正态分布的临界值 设X～N(0，1)，对给定的正数，若存在实数满足

则称点为标准正态分布X的临界值 (或称上分位点或分位数)。

由，若已知，可通过反查标准正态分布表，求出临界值。当时，表中无法查出，此时查表，再由可求得临界值。

(2)分布的临界值 设，概率密度为f(x)。对给定的数(0＜＜1)，若存在实数满足

则称数为分布的临界值。已知n，，通过查分布表可求得。当n＞45时，可利用近似公式： 这里是标准正态分布的临界值。

(3) t分布的临界值 设T～t(n)，概率密度为f(x)。对给定的(0＜＜1。若存在实数满足

则称点为t分布的临界值。已知n，，通过查t分布表可求得。

注：1) 类似标准正态分布临界值的性质，对t分布亦有：；

2) 当n＞45时，可用正态分布近似。

(4) F分布的临界值 设F～F(m， n)，概率密度为f(x)。对给定的(0＜＜1，若存在实数(m，n)满足

则称数(m，n)为F分布的临界值。注意公式

6.2.4 统计量及样本矩

1．统计量 设(X1，X2，…，Xn)为总体X的一个样本， (X1，X2，…，Xn)是X1，X2，…，Xn的函数，若是连续函数且不含末知参数，则称(X1，X2，…，Xn)是一个统计量。

2．几个常用的统计量——样本矩

(1)样本均值 。

(2)样本方差 。

(3)样本标准差 。

(4)样本k阶原点矩 。

(5)样本k阶中心矩 。

3 样本矩与总体矩的关系

由样本的独立性及与总体同分布这一特性出发，运用数字特征的运算法则，可得：若总体X的期望、方差存在，即，，又（X1，X2，…，Xn)是取自总体X的一个样本，则

，；，。 （6.4）

上述结论无论总体服从什么样的分布都正确，故它是计算任意总体，特别是非正态总体的样本均值和样本方差的期望、方差的常用结论。

6.2.5 正态总体样本均值和样本方差的分布

1． 设总体X～N()，()为样本，为样本均值，为样本方差

(1)～，或～N (0，1)； (6.5)

(2) (6.6)

(3) (6.7)

(4) 样本均值与样本方差相互独立；

(5)～ (6.8)

2．设()是取自总体X的一个样本，()是取自总体Y的一个样本，且这两个样本相互独立，即假定，是n1+n2个相互独立的随机变量。若总体X～N()，Y～N()，则有

1)～N(0，1)； (6.9)

2)～F(n1－1，n2－1)； (6.10)

3)当时，有

～t(n1+n2－2)； (6.11)

其中，，。

6.3 典型例题分析

已知总体，求样本的联合分布

例1.设(X1，X2，…，Xn)是取自总体X的一个样本。试在下列三种情况下，分别写出样本(X1，X2，…，Xn)的联合分布律或联合概率密度。

(1)X～B(1，p)；(2)X服从参数为的指数分布；(3)X服从(0，)(>0)上的均匀分布。

分析: 解此类题先写出总体X的分布律（或概率密度）；再由Xi与X有相同的分布以及Xi之间的相互独立性，由式（6.1），（6.2）即可写出样本(X1，X2，…，Xn)的联合分布律或联合概率密度。

解:（1） 因为总体分布律为

于是

样本的联合分布律为:

(2) 因为总体概率密度函数为：

所以，每一个样本的概率密度为：

故样本的联合概率密度为：

（3）因为总体概率密度函数为：

所以样本Xi的概率密度为

故，样本的联合概率密度为：

例2．设X～N()，(X1，X2，X3)为来自总体X的一个样本。试求样本(X1，X2，X3)的联合概率密度和样本均值的概率密度函数。

解: 由于

故

又因为，所以，的概率密度函数为：

注： 此题用到结论：若，则。这一结果有十分广泛的应用。

例3.设总体服从泊松分布，是来自总体的简单随机样本

（1） 计算；

（2） 若容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8），试计算样本均值，样本方差和经验分布函数。

解: （1）解法一 由（6.4）式，因为

，于是，故，

解法二

故

（2），

又X的频率分布表为

所以，经验分布函数为

注: （1）解法一直接运用样本矩与总体矩之间的关系，即（6.4）式求得；

解法二运用样本与总体同分布的特性及数字特征的运算法则求得。

（2）写经验分布函数，可先列出频率分布表，这样不至遗漏或出错。

例4 设总体

为样本。试求：

（1）数学期望与方差，的数学期望；（2）。

解: 计算总体X的数学期望和方差

故（1），

。

（2）因为，所以

注：当总体的期望和方差不能直接写出时，要先求总体的期望和方差，再求样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的期望和方差。另外，要注意与之间的差异。由于，即是总体方差的无偏估计，而不是总体方差的无偏估计，因此，一般都是以作为方差的估计量。但，故当样本容量很大时，和两者相差很小，此时亦可用来估计总体方差。因此，有时把称为大样本方差，而有的书上也称为样本修正方差。

本题（2）的解答用到了中心极限定理。由中心极限定理可得，不论总体服从什么分布，只要知道总体的数学期望，方差，则样本均值的渐近分布就为正态分布。即

由此可知

求样本均值落在某个区间内的概率，就可以利用上述结论近似计算，这是很重要的结论。

*例5 设是来自正态总体的简单样本，且则当时，统计量服从2-分布，其自由度为（ ）。

解:

解法1令

则

欲使，就必须使，由于

于是

令，则，此时。

解法2 由于且相互独立，则

从而

所以

为使

必须使

同上面两个服从正态分布的随机变量比较可知

即 。

注:本题虽用了两种不同的解法，但目的相同且明确，即由分布的定义并由构成的特点，应选择恰当的a,b使恰为两个标准正态分布的平方和。

*例6 设是来自正态总体X的一个简单随机样本，

，

证明：统计量T服从自由度为2的t-分布.。

证明： 由于从而

所以

故

于是

又因为，且

从而与独立。于是由t分布的定义知

注： 本题的关键是熟练掌握t分布的定义及正态总体下样本均值、样本方差的分布：

～N(0，1)，。

例7．已知X～。证明～F(1，n)。

证明： 因为, 即, 其中

，又, 而

故由F-分布的定义知:

注： 本题解答看似简单，但本章所学的三个分布都涉及到。因而了解证明过程中每一步的来龙去脉，对于熟悉、掌握有关随机变量及其分布是一项基础性训练。

例8．设(X1，X2，…，Xn)是来自正态总体N(0，1)的样本。试求统计量(m<n)的抽样分布。

解 因为

所以, 故

同理

于是

例9．设(X1，…，X5)是来自正态总体N()的一个样本。试证：

(1)当时，～F(1，3)；

(2)当时，～t(3)。

解 (1)

于是

由F-分布的定义，即得：

（2） 据（1）的分析，

由t-分布的定义即得结论。

注： 本题仍是关于F-分布和t-分布的基础训练题。

例10 设为总体的一个样本，求。

解： 因为

于是 ，

由分布临界值的定义，查表可知，故。

注： 本题由于出现了随机变量的平方和，故在寻找的分布时自然想到分布。但分布中的均服从N (0,1)，所以只要将此处的标准化即可。由临界值的定义，一般查表是已知，找临界值，而此处则相反，是已知临界值找，故得到的是近似值。

*例11 从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多少？

解 ： 设正态总体为X，则，从而由(6.5)式得

所以

即。由此可得，即n(1.963)234.57,故n至少应取35。

例12．设X1，X2，…，Xn为相互独立且分别服从正态分布N()的随机变量。设

证明：～。特别地，若～N() i=1，2，…，n，则～。

证明相互独立

故

同理可证若～N() i=1，2，…，n，则～。

注： 本例说明n个相互独立正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布。特殊情形：若取，则结论正是正态总体下样本均值的分布（6.5）式。该题结果可作为一般结论直接引用。

例13．设总体X～N ()。现抽取容量为9的样本，得到，问是多少？

解 ：

而服从自由度为n-1=8的t分布，又由于t分布的对称性，有

令，查表知，由插值可求得，即。

注： 本题的关键是寻找含有统计量的分布。由于2未知，故不能用来解题，但S已知，由（6.8）式得，于是由t分布临界值的定义即可顺利求得相应的概率。

例14 设是来自总体X的随机样本，求下列概率。

（1）

（2）

解 （1）由内容提要6.2.5知

0.98-0.02=0.96

（2）利用（6.7）式得

注： 本题关键是要注意这两个统计量的差异。它们虽然都服从分布，但由于与的不同使其自由度也不同。查表时，上述两个随机变量的自由度分别是10和9。同例10由于是反查表，得到的仍是近似值。

例15 求总体N(20,3)的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。

解 设两独立样本分别为X,Y，其样本均值分别为，则

由内容提要中（6.9）式知

即

故

注 ：以上各题（例11-15），是掌握正态总体下几种常用统计量分布的基础训练题。

例16

:

;

.

证：

。

注： 本题是一道综合题，所述结果很重要。它说明，如果样本增加一个，其n+1个数据构成新样本的均值和方差的求法无需从头做起，只要根据前n个数据求出的均值和方差，加上新的这个数据便可由1）和2）计算出来。证明最后一步时用到结论。

6.4 练习与测试

1 设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布，而和是分别来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量

服从 分布，参数（自由度）为 。

2 设是来自总体的容量为n+m的样本，则

（1）统计量服从 分布。

（2）统计量服从 分布。

（3）统计量服从 分布。

3 X服从正态分布且则服从 分布。

4设为10个样本的均值，则。

5 设随机变量，则T服从 分布。

6 设是来自具有分布的总体的样本，则

7 设分别来自两个正态总体的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则。

8 设是来自正态总体的样本，为样本均值，记

则服从自由度为n-1的t-分布的随机变量是。

9 已知总体X有概率密度

试求样本的联合概率密度，并求

10 设是总体X的样本，而X服从区间[a，b]上的均匀分布，试求。

11 在总体中随机地抽取一个容量为5的样本。

（1） 求样本均值在11到15之间取值的概率；

（2） 求概率；

（3） 求概率。

12 随机观察总体X，取得10个数据如下

3.2，2.5，-4，2.5，0，3，2，2.5，4，2

求样本均值、样本方差及经验分布函数。

13 已知，从中随机抽取n=14的样本，试分别由以下条件求样本均值与总体均值之差的绝对值小于1.5的概率。

（1）；（2）。

14 某厂生产的灯泡使用寿命。现进行质量检查，方法如下：任选若干个灯泡，若这些灯泡的平均寿命超过2200个小时，就认为该厂生产的灯泡质量合格。若要使检查能通过的概率超过0.997，问至少应检查多少个灯泡？

15 设在总体中抽取一容量为16的样本，这里均未知

（1） 求；

（2） 求。

16 设总体，从此总体中取容量为6的样本，设

试决定常数c，使得随机变量cY服从分布。

17 设是正态总体的一个样本，求

18 设总体相互独立，且都服从是分别来自X和Y的样本，求。

6.5 练习与测试答案

1..

2

.

3

4.

5.

6 n, 2.

7 由（6.10）式即得。

8 将（6.8）式作简单变形知 (B) 正确。

9.

故.

10；

11 (1) 0.7372；

(2)

=

（3）

=

12 1.77, 5.185,

13 (1) 0.7372,

a)

==0.80

14 n=189.1190

15

(1)

(2)

因，故

所以 （这是一个有用的结论。）

16 解

故

17.

18

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d5630620482fb4daa58d4b39.html