2008年江苏省高考数学试卷加详细解析

序号i

分组

（睡眠时间）

组中值（Gi）

频数

（人数）

频率（Fi）

1

[4，5）

4.5

6

0.12

2

[5，6）

5.5

10

0.20

3

[6，7）

6.5

20

0.40

4

[7，8）

7.5

10

0.20

5

[8，9]

8.5

4

0.08

考点：

三角函数的周期性及其求法．4664233

专题：

计算题．

分析：

根据三角函数的周期公式，即T=可直接得到答案．

解答：

解：.

故答案为：10

点评：

本小题考查三角函数的周期公式，即T=．

考点：

古典概型及其概率计算公式．4664233

专题：

计算题．

分析：

分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．

解答：

解析：基本事件共6×6个，

点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，

故．

故填：．

点评：

本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

考点：

复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．4664233

专题：

计算题．

分析：

利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．

解答：

解：．∵，

∴a=0，b=1，

因此a+b=1

故答案为1

点评：

本小题考查复数的除法运算．

考点：

交集及其运算．4664233

分析：

先化简集合A，即解一元二次不等式（x﹣1）2＜3x+7，再与Z求交集．

解答：

解：由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A=（﹣1，6），因此A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．

故答案是 6

点评：

本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．

考点：

向量的模．4664233

专题：

计算题．

分析：

根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值．

解答：

解：由题意得，

=，

∴=7．

故答案为：7．

点评：

本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“”进行求解．

考点：

古典概型及其概率计算公式．4664233

专题：

计算题．

分析：

本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），满足条件的事件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果．

解答：

解析：本小题是一个几何概型，

∵试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），面积是42=16，

满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×12

根据几何概型概率公式得到

∴

故答案为：．

点评：

本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．

考点：

频率分布表；工序流程图（即统筹图）．4664233

专题：

图表型．

分析：

观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值，再结合直方图中数据即可求解．

解答：

解：由流程图知：

S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5

=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08

=6.42，

故填：6.42．

点评：

本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程．4664233

专题：

计算题．

分析：

欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．

解答：

解：y′=（lnx）′=，令=得x=2，

∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，

∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．

故答案为：ln2﹣1

点评：

本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

考点：

直线的一般式方程；归纳推理．4664233

专题：

转化思想．

分析：

本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE的方程为，分析A（0，a），B（b，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线OF的方程为：．

解答：

解：由截距式可得直线AB：，

直线CP：，

两式相减得，

显然直线AB与CP的交点F满足此方程，

又原点O也满足此方程，

故为所求直线OF的方程．

故答案为：．

点评：

类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

考点：

归纳推理；等比数列的前n项和．4664233

专题：

压轴题；规律型．

分析：

观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．

解答：

解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．

前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，

即个，

因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，

即为．

点评：

归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

考点：

基本不等式．4664233

分析：

由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．

解答：

解：∵x﹣2y+3z=0，

∴，

∴=，当且仅当x=3z时取“=”．

故答案为3．

点评：

本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．

考点：

椭圆的简单性质．4664233

专题：

计算题；压轴题．

分析：

抓住△OAP是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题迎刃而解．

解答：

解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，

故，

解得，

故答案为．

点评：

本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力．

考点：

三角形中的几何计算．4664233

专题：

计算题；压轴题．

分析：

设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．

解答：

解：设BC=x，则AC=x，

根据面积公式得S△ABC=AB•BCsinB

=×2x，

根据余弦定理得cosB=

==，

代入上式得

S△ABC=x=，

由三角形三边关系有，

解得2﹣2＜x＜2+2．

故当x=2时，S△ABC取得最大值2．

点评：

本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．

考点：

利用导数求闭区间上函数的最值．4664233

专题：

计算题；压轴题．

分析：

这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．

解答：

解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；

当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥

设g（x）=，则g′（x）=，

所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，

因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；

当x＜0即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，

g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，

因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．

答案为：4

点评：

本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．

考点：

两角和与差的正切函数．4664233

分析：

（1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；

最后利用tan（α+β）=解之．

（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．

解答：

解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，

因为α为锐角，则sinα＞0，从而

同理可得，

因此．

所以tan（α+β）=；

（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，

又，故，

所以由tan（α+2β）=﹣1得．

点评：

本题主要考查正切的和角公式与转化思想．

考点：

直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．4664233

专题：

证明题．

分析：

（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；

（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．

解答：

证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，

∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD

又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，

∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD

点评：

本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．

考点：

在实际问题中建立三角函数模型．4664233

分析：

（1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．

（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．

解答：

解：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），

则，故，又OP=10﹣10tanθ，

所以，

所求函数关系式为

②若OP=x（km），则OQ=10﹣x，所以OA=OB=

所求函数关系式为

（Ⅱ）选择函数模型①，

令y′=0得sin，因为，所以θ=，

当时，y′＜0，y是θ的减函数；当时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处．

点评：

本小题主要考查函数最值的应用．

①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．

②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．

考点：

二次函数的图象；圆的标准方程．4664233

专题：

计算题．

分析：

（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；

（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；

（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1﹣y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标．

解答：

解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；

令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．

（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．

令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．

所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．

（3）圆C必过定点，证明如下：

假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，

并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*）

为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0=0，解得

经检验知，（﹣2，1）均在圆C上，因此圆C过定点．

点评：

本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．

考点：

等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质．4664233

专题：

探究型；分类讨论；反证法．

分析：

（1）根据题意，对n=4，n=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推广到n≥4的所有情况．

（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可．

解答：

解：（1）①当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0．

若删去a2，则a32=a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d）化简得a1+4d=0，得

若删去a3，则a22=a1•a4，即（a1+d）2=a1•（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得

综上，得或．

②当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项．

若删去a3，则a1•a5=a2•a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）•（a1+3d）化简得3d2=0，因为d≠0，所以a3不能删去；

当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an﹣2，an﹣1，an中，由于不能删去首项或末项，

若删去a2，则必有a1•an=a3•an﹣2，这与d≠0矛盾；

同样若删去an﹣1也有a1•an=a3•an﹣2，这与d≠0矛盾；

若删去a3，，an﹣2中任意一个，则必有a1•an=a2•an﹣1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）

综上所述，n=4．

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，bn，其中bx+1，by+1，bz+1（0≤x＜y＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则b2y+1=bx+1•bz+1，即（b1+yd）2=（b1+xd）•（b1+zd），化简得（y2﹣xz）d2=（x+z﹣2y）b1d（*）

由b1d≠0知，y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0

当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾．

故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得

因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数．

于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．

例如n项数列1，，，，满足要求．

点评：

本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力．

考点：

指数函数综合题．4664233

专题：

计算题；压轴题；分类讨论．

分析：

（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）对所有实数成立，等价于f1（x）≤f2（x）对所有实数x成立等价于，即对所有实数x均成立，分析容易得证；再证必要性：对所有实数x均成立等价于，即|p1﹣p2|≤log32，

（2）分两种情形讨论：①当|p1﹣p2|≤log32时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p1﹣p2|＞log32时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度．

解答：

解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）这又等价于，即对所有实数x均成立．（*）

由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|（x∈R）的最大值为|p1﹣p2|，

故（*）等价于，即|p1﹣p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件

（2）分两种情形讨论

（i）当|p1﹣p2|≤log32时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]）

则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知，

再由的单调性可知，

函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度

为（参见示意图）

（ii）|p1﹣p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，，则p2﹣p1＞log32，于是

当x≤p1时，有，从而f（x）=f1（x）；

当x≥p2时，有

从而f（x）=f2（x）；当p1＜x＜p2时，，及，由方程

解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为（1）

显然，

这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知

综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图）

故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0﹣p1）+（b﹣p2），由于f（a）=f（b），即，得p1+p2=a+b+log32（2）

故由（1）、（2）得

综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为．

点评：

考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明方法．

考点：

与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．4664233

分析：

根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得．

解答：

证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，

所以∠CAE=∠CBA．

又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD

所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE

所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．

又EA2=EC•EB，

所以ED2=EB•EC．

点评：

此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB和EC的乘积．

考点：

圆的标准方程；矩阵变换的性质．4664233

专题：

计算题．

分析：

由题意先设椭圆上任意一点P（x0，y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x0′，y0′），得到两点的关系式，再由点P在椭圆上代入化简．

解答：

解：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，

则点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x0′，y0′）

则有，即，所以

又因为点P在椭圆上，故4x02+y02=1，从而（x0′）2+（y0′）2=1

所以，曲线F的方程是x2+y2=1

点评：

本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．

考点：

椭圆的参数方程．4664233

专题：

计算题；转化思想．

分析：

先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求．

解答：

解：因椭圆的参数方程为（ϕ为参数）

故可设动点P的坐标为，其中0≤ϕ＜2π．

因此

所以，当时，S取最大值2．

点评：

本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

考点：

平均值不等式；不等式的证明．4664233

专题：

证明题．

分析：

先根据平均值不等式证明 ，再证 ．

解答：

证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得 ，

即 ，

所以，，

而 ，

所以，

点评：

本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数 大于或等于它们的几何平均数 ．

考点：

用空间向量求直线间的夹角、距离．4664233

专题：

计算题；压轴题．

分析：

由题意易知∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于，即，再将用关于λ的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可

解答：

解：由题设可知，以、、为单位正交基底，

建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，

则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）

由，得，所以

显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于，则等价于

即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得

因此，λ的取值范围是

点评：

本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题．

考点：

微积分基本定理；二项式定理；类比推理．4664233

专题：

证明题；综合题；压轴题．

分析：

（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．

（2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式．

（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简即得证．

（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．

解答：

证明：（1）在等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn两边对x求导得n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x++（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1

移项得（*）

（2）（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得

所以

（ii）由（1）知n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，n≥3

两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn2+3•2Cn3x+…+n（n﹣1）Cnnxn﹣2

在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn2+3•2Cn3（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn2（﹣1）n﹣2

即，

亦即（1）

又由（i）知（2）

由（1）+（2）得

（iii）将等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边在[0，1]上对x积分

由微积分基本定理，得

所以

点评：

本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．