2020年湖南省郴州市中考数学试卷及答案

2020年湖南省郴州市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）（2020•郴州）如图表示互为相反数的两个点是（　　）

A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D

2．（3分）（2020•郴州）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（　　）

A．1×10﹣8秒 B．1×10﹣9秒 C．10×10﹣9秒 D．0.1×10﹣9秒

3．（3分）（2020•郴州）下列图形是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

4．（3分）（2020•郴州）下列运算正确的是（　　）

A．（﹣a）4＝a4 B．a2•a3＝a6

C． D．2a3+3a2＝5a5

5．（3分）（2020•郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2

6．（3分）（2020•郴州）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：

则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（　　）

A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差

7．（3分）（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　）

A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）

C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）

8．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2（x＜0）交于点B，连接AB，已知2，则（　　）

A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2

二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

9．（3分）（2020•郴州）若分式的值不存在，则x＝　 　．

10．（3分）（2020•郴州）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝　 　．

11．（3分）（2020•郴州）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有　 　件次品．

12．（3分）（2020•郴州）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝　 　．

13．（3分）（2020•郴州）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：

小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为　 　．

14．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是　 　．

15．（3分）（2020•郴州）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为　 　．

16．（3分）（2020•郴州）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝　 　．

三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）

17．（6分）（2020•郴州）计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1|﹣（1）0．

18．（6分）（2020•郴州）解方程：1．

19．（6分）（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．

求证：四边形BEDF是菱形．

20．（8分）（2020•郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般； D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：

（1）此次调查中，共抽查了　 　名学生；

（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；

（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）

21．（8分）（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：1.732，1.414）．

22．（8分）（2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．

（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？

（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？

23．（8分）（2020•郴州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．

（1）求证：直线DC是⊙O的切线；

（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

24．（10分）（2020•郴州）为了探索函数y＝x（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．

列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；

（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：

若0＜x1＜x2≤1，则y1　 　y2；若1＜x1＜x2，则y1　 　y2；

若x1•x2＝1，则y1　 　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．

（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．

①请写出y与x的函数关系式；

②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？

25．（10分）（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．

（1）如图2，在旋转过程中，

①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；

②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．

（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．

①求证：AG⊥CP；

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

26．（12分）（2020•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．

（1）求抛物线和直线BC的表达式；

（2）点P是抛物线上的一个动点．

①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2020年湖南省郴州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）（2020•郴州）如图表示互为相反数的两个点是（　　）

A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D

【解答】解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．

故选：B．

2．（3分）（2020•郴州）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（　　）

A．1×10﹣8秒 B．1×10﹣9秒 C．10×10﹣9秒 D．0.1×10﹣9秒

【解答】解：∵1秒＝1000000000纳秒，

∴10纳秒＝10÷1000000000秒＝0.000 00001秒＝1×10﹣8秒．

故选：A．

3．（3分）（2020•郴州）下列图形是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意．

故选：D．

4．（3分）（2020•郴州）下列运算正确的是（　　）

A．（﹣a）4＝a4 B．a2•a3＝a6

C． D．2a3+3a2＝5a5

【解答】解：A、（﹣a）4＝a4，正确；

B、a2•a3＝a5，故此选项错误；

C、2，故此选项错误；

D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；

故选：A．

5．（3分）（2020•郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2

【解答】解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；

B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；

C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；

D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；

故选：D．

6．（3分）（2020•郴州）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：

则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（　　）

A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差

【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．

故选：C．

7．（3分）（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　）

A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）

C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）

【解答】解：由图可知，

图1的面积为：x2﹣12，

图2的面积为：（x+1）（x﹣1），

所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．

故选：B．

8．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2（x＜0）交于点B，连接AB，已知2，则（　　）

A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2

【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，

∵点A是双曲线y1（x＞0）上的点，点B是双曲线y2（x＜0）上的点，

∴S△AOD|k1|k1，S△BOE|k2|k2，

∵∠AOB＝90°，

∴∠BOE+∠AOD＝90°，

∵∠AOD+∠OAD＝90°，

∴∠BOE＝∠OAD，

∠BEO＝∠OAD＝90°，

∴△BOE∽△OAD，

∴（）2，

∴22，

∴4，

故选：B．

二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

9．（3分）（2020•郴州）若分式的值不存在，则x＝　﹣1　．

【解答】解：若分式的值不存在，

则x+1＝0，

解得：x＝﹣1，

故答案为：﹣1．

10．（3分）（2020•郴州）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝　　．

【解答】解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，

解得c．

故答案为：．

11．（3分）（2020•郴州）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有　20　件次品．

【解答】解：100020（件），

即这批电子元件中大约有20件次品，

故答案为：20．

12．（3分）（2020•郴州）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝　8.0　．

【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，

∴所得到的一组新数据的方差为S新2＝8.0；

故答案为：8.0．

13．（3分）（2020•郴州）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：

小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为　y＝3x+37　．

【解答】解：设该函数表达式为y＝kx+b，根据题意得：

，

解得，

∴该函数表达式为y＝3x+37．

故答案为：y＝3x+37．

14．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是　（，2）　．

【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），

∴点A1的坐标是：（2，3），

即A1（，2）．

故答案为：（，2）．

15．（3分）（2020•郴州）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为　48　．

【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，

圆锥的母线长为10，

侧面展开图的面积为60π，

故60π＝π×10×r，

解得：r＝6．

由勾股定理可得圆锥的高8，

∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，

∴它的面积48，

故答案为：48．

16．（3分）（2020•郴州）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝　2　．

【解答】解：如图，连接DN，

在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，

∴BD4，

根据作图过程可知：

MN是BD的垂直平分线，

∴DN＝BN，OB＝OD＝2，

∴AN＝AB﹣BN＝AB﹣DN＝8﹣DN，

在Rt△ADN中，根据勾股定理，得

DN2＝AN2+AD2，

∴DN2＝（8﹣DN）2+42，

解得DN＝5，

在Rt△DON中，根据勾股定理，得

ON，

∵CD∥AB，

∴∠MDO＝∠NBO，

∠DMO＝∠BNO，

∵OD＝OB，

∴△DMO≌△BNO（AAS），

∴OM＝ON，

∴MN＝2．

故答案为：2．

三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）

17．（6分）（2020•郴州）计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1|﹣（1）0．

【解答】解：原式＝3﹣21﹣1

＝32

＝1．

18．（6分）（2020•郴州）解方程：1．

【解答】解：1，

方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得

x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），

解得x＝3，

检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．

故x＝3是原方程的解．

19．（6分）（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．

求证：四边形BEDF是菱形．

【解答】证明：方法一：

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，

∴∠DCF＝∠BCF，

∵CF＝CF，

∴△CDF≌△CBF（SAS），

∴DF＝BF，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BCF，

∵AE＝CF，DA＝AB，

∴△DAE≌△BFC（SAS），

∴DE＝BF，

同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），

∴DF＝BE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵DF＝BF，

∴平行四边形BEDF是菱形．

方法二：∵ABCD为菱形

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，

∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，

所以就能得到四个三角形全等，

所以四条边相等，

所以四边形BEDF为菱形．

20．（8分）（2020•郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般； D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：

（1）此次调查中，共抽查了　200　名学生；

（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；

（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）

【解答】解：（1）80÷40%＝200（名），

故答案为：200；

（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°72°，补全条形统计图如图所示：

（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A，1人为B的有2种，

∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）．

21．（8分）（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：1.732，1.414）．

【解答】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：

AB＝3x，

在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，

∴AO＝2000，

∴DO＝2000，

∵CD＝460，

∴OC＝OD﹣CD＝2000460，

在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，

∴BO＝OC，

∵OB＝OA+AB＝2000+3x，

∴2000+3x＝2000460，

解得x≈335（米/秒）．

答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．

22．（8分）（2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．

（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？

（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？

【解答】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，

依题意，得：，

解得：．

答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．

（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，

依题意，得：，

解得：25≤m≤27．

∵m为正整数，

∴m可以为25，26，27，

∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．

23．（8分）（2020•郴州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．

（1）求证：直线DC是⊙O的切线；

（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，

∴∠DAB＝90°，

∵DA＝DC，OA＝OC，

∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，

∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，

即∠DCO＝∠DAO＝90°，

∴OC⊥BD，

∴直线DC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠CAB＝30°，

∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，

∵OC＝OB，

∴△COB是等边三角形，

∴OC＝OB＝BC＝2，

∴CEOC＝2，

∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB2．

24．（10分）（2020•郴州）为了探索函数y＝x（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．

列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；

（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：

若0＜x1＜x2≤1，则y1　＞　y2；若1＜x1＜x2，则y1　＜　y2；

若x1•x2＝1，则y1　＝　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．

（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．

①请写出y与x的函数关系式；

②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？

【解答】解：（1）函数图象如图所示：

（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，

若x1•x2＝1，则y1＝y2．

故答案为＞，＜，＝．

（3）①由题意，y＝1+（2x）×0.5＝1+x（x＞0）．

②由题意1+x3.5，

∵x＞0，

可得2x2﹣5x+2≤0，

解得：x≤2，

∴长x应控制在x≤2的范围内．

25．（10分）（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．

（1）如图2，在旋转过程中，

①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；

②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．

（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．

①求证：AG⊥CP；

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．

理由：∵四边形EFGD是正方形，

∴DG＝DE，∠GDE＝90°，

∵DA＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠GDE＝∠ADC，

∴∠ADG＝∠CDE，

∴△AGD≌△CED（SAS）．

②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．

∵△AGD≌△CED，CD＝CE，

∴AD＝AG＝4，

∵AT⊥GD，

∴TG＝TD＝1，

∴AT，

∵EF∥DG，

∴∠GHF＝∠AGT，

∵∠F＝∠ATG＝90°，

∴△GFH∽△ATG，

∴，

∴，

∴GH．

（2）①如图3中，设AD交PC于O．

∵△AGD≌△CED，

∴∠DAG＝∠DCE，

∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，

∴∠AOP+∠DAG＝90°，

∴∠APO＝90°，

∴CP⊥AG．

②∵∠CPA＝90°，AC是定值，

∴当∠ACP最小时，PC的值最大，

∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），

∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，

∴EC2，

∵EF＝DE＝2，

∴CP＝CE+EF＝2+2，

∴PC的最大值为2+2．

26．（12分）（2020•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．

（1）求抛物线和直线BC的表达式；

（2）点P是抛物线上的一个动点．

①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，

解得，

∴抛物线的表达式，y＝﹣x2+2x+3，

∴点C坐标为（0，3），

把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，

解得，

∴直线BC的表达式：y＝﹣x+3．

（2）①∵PA交直线BC于点，

∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），

设直线PA的表达式为y＝k1x+b1，

∴，

解得，

∴直线PA的表达式，yx，

∴xx2+2x+3，

整理得，（x）（x+1）＝0

解得x或﹣1（不合题意，舍去），

∴点D的横坐标为m，点P的横坐标，

分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：

∴DM∥PN，OM＝m，ON，OA＝1，

∴，

设t，则t

整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，

∵△≥0，

∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，

解得t

∴有最大值，最大值为．

②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，

∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣1，

∴OE＝1，

∵B（3，0），C（0，3）

∵OC＝OB＝3，∠OCB＝90°，

∴△OCB是等腰直角三角形，

∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，

∴△OCB是等腰直角三角形，

∴EG＝GB＝EG＝1，

∴点F的坐标为（2，1），

当EF为边时，

∵EFPQ为平行四边形，

∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，

∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，

当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，

∴点P的坐标为（2，3），

∴QE＝PF＝3﹣1＝2，

点Q的坐标为（1，2）；

当EF为对角线时，如图3中，

∵PEQF为平行四边形，

∴QE＝PF，QE∥PF∥轴，

同理求得：点P的坐标为（2，3），

∴QE＝PF＝3﹣1＝2，

点Q的坐标为（1，﹣2）；

综上，点P的标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）；

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