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第十五讲投影矩阵与Ｍｏorｅ-Ｐｅｎｒｏse逆
一、投影与投影矩阵
设Ｌ，M为Cn的子空间并构成直和LMLMCn.即
xCn，唯一的yL,zM使x=y＋z 称ｙ为x沿着M到L的投影。
１. 定义：将任意xCn变为其沿着Ｍ到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子,记为PL,M即PL,M xyL,投影算子是线性变换，其矩阵称为投影矩阵，仍记为PL,M。 2. 充要条件
引理：设n阶方阵E为幂等矩阵，则N(ER(IE 证明：
E2EE(IEOxCn,E[(IEx]0

E[R(IE]0R(IEN(E另一方面，xN(E,即Ex0,则
xIxOIxEx(IExR（IE） N（E）R（IE）
N（E）R（IE）定理：n阶方程P成为投影矩阵的充要条件是Ｐ为幂等矩阵。证明:充分性
。 P2P,xCn,令yPxR(P,z(IPxR（IP）N（P）0,则PPR（P）,N（P）确为投影矩阵,下面证之若 R（P）N（P） xR(PN(P,
一方面，因xR(P,存在uCn使xPu

另一方面xN(P,即Px0.但PxP2uPuxx0R(PN(P0。
必要性 PPL,M 故 xCn，唯一分解 yL,zM 使

xyz且 Pxy

x任意P2xPyyPxP2Pyy0
３. 投影矩阵的构造
设已知Cn的子空间Ｌ、M构成直和LMCn

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