（完整版）概率论基本公式

概率论与数理统计基本公式

第一部分 概率论基本公式

1、

例：证明：

2、对偶率：

3、概率性率：

(1) (2)

（3）

4、古典概型

5、条件概率

例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？

6、独立事件

（1）P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。

(2)伯努利概型

如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：

P(A)=p, (0

相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。

伯努利定理： （k=0,1,2……）

事件A首次发生概率为：

例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。

第二章

7、常用离散型分布

（1）两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为：

（0）则称X服从处参数为p的两点分布。

特别地，若X服从参数为p的两点分布，即：

则称X服从参数为0—1分布。

其中期望E（X）=p,D(X)=p(1-p)

（2）二项分布：若一个随机变量X的概率分布由 （k=0,1,2……）给出，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为：X~b(n,p)（或B(n，p)

其中，当n=1时变为： （k=0,1）,此时为0—1分布。

其期望E（X）=np，方差D(X)=n(1-p)

（3）泊松分布：若一个随机变量X概率分布为：则称X服从参数为的泊松分布，记为：,其中，称为泊松流强度。

泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为,如果时，，则对任意给定的k，

有，这表明，当n很大时，p接近0或1时，有（）。

其期望方差相等，即：E(X)=D(X)= 。

8、常用连续型分布

（1）均匀分布：若连续随机变量X的概率密度为则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)。其中，分布函数为：

其期望E（X）=，方差D(X)=。

（2）指数分布：若随机变量的概率为，则称X服从参数为的指数分布，简记为X~e().其分布函数：

其期望E(X)=,方差D(X)=.

(3)正态分布：若随机变量X的概率密度为，则称X服从参数为μ和的正态分布，记为X~N(μ, ),其中μ和（>0）都是常数。分布函数为：。当称为标准正态分布，概率密度函数为：分布函数为：

定理：设

其期望E(X)= μ,D(X)= 。

9、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值，然后通过Y的每一个可能的取值(i=1,2,……)来确定Y的概率分布。

（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知X的分布函数或者概率密度，则随机变量Y=g(X)的分布函数,其中，，进而可通过Y的分布函数，求出Y的密度函数。

例：设随机变量X的密度函数为，求随机变量

10、设随机变量X~N(,Y=也服从正态分布.即。

11、联合概率分布(1)离散型联合分布：

(2)连续型随机变量函数的分布：

例：设随机变量（X，Y）的密度函数

求，，D(X+Y).

解：①当0≤x≤2时由，得：，当x<0或x>2时，由，所以，

同理可求得:；

② E(X)=,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。

③因为E(XY)=

所以，cov（X,Y）= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。

④

同理得D(Y)=,所以，=

⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=

12、条件分布：若

13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y≤y},且P{Y≤y}>0,则：

，设随机变量（X,Y）的联合分布概率为F（x,y），边缘分布概率为，若对于任意x、y有：

，即：，则称X和Y独立。

14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为,边缘概率密度函数为，则对于一切使>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：，同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为：，若=几乎处处成立，则称X,Y相互独立。

例：设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：，求（1）确定常数c；（2）X,Y的边缘概率密度函数；（3）联合分布函数F(x,y);(4)P{Y≤X};

(5)条件概率密度函数；（6）P{X<2|Y<1}

15、数学期望：（1）离散型：

（2）连续型：，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机变量都有数学期望。

数学期望的性质：① E(CX)=CE(X) ① ③设X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).

例：10个人随机进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求E(X)(设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立)

附：二项分布b(n,p)和两点分布b(1,p)的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果：,且P(A)=p,现在将试验独立进行n次，记为n次试验中结果A出现的次数，则，若记

其中：

16、方差：(1)

(2)方差性质：①D(CX)=CD(X);②若X.Y相互独立，则：

17、协方差：(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特别，X,Y独立时，有：cov(X,Y)=0.

（2）协方差性质：①cov(X,X)=D(X);②cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);③cov(C,Y)=0;④cov(,Y)=⑤随机变量和的方差与协方差的关系.

(3)相关系数,性质：①;②若X和Y相互独立，则=0，即X和Y不相关。③若D(X)>0，D(Y)>0，则当且仅当存在常数a，b（），使：

附注：

④设e=E[Y-(,称为用来近似Y的均方差，则：设D(X)>0，D(Y)>0,有：使均方误差达到最小。

18、切比雪夫不等式：设随机变量X的期望E(X)=μ,方差D(X)=,则对于给定任意正数，有：

19、大数定理：设随机变量X,X,……X……相互独立，且具有相同的期望和方差：

，i=1,2,3……，，则对于任意>0,有：20、中心极限定理；（1）设随机变量X,X,……X……相互独立，服从同一分布，且， i=1,2,3……，则：

一个结论：

(2)棣莫佛—拉普拉斯定理：设随机变量X,X,……X……相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，有：

第二部分 数理统计

21、由于样本方差（或样本标准差）很好的反应总体方差（或标准差）的信息，因此，当方差未知时，常用去估计，而总体标准差则常用样本标准差S去估计。

22、常用统计分布（1）分位数：设随机变量X的分布函数F（x）,对给定的实数

22、抽样分布A、单正态总体抽样分布

（1）设总体

则有：

B、双正态总体抽样分布：

23、参数估计——点估计：

，，需要构造一个适当的：

，然后观察值：来估计，称为的估计量，称为的估计值，估计量和估计值统称为点估计。

设是未知参数的估计量，若,则称为的无偏估计量，

24、点估计常用方法（1）矩估计法：先求E（X）,得到一个E(X)与未知参数的式子，用E(X)表示未知参数，再把E(X)用代替即可。

例：已知总体X的概率分布为求参数的矩估计。

（2）最大似然估计：一般方法：a、写出最大似然函数L(;或c、判断并求出最大值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。

25、假设检验的一般步骤：（1）根据实际问题的要求，充分考虑和利用已知的背景知识，提出原假设及备择假设；（2）给定显著水平α以及样本容量n；（3）确定检验统计量U，并在原假设成立的前提下导出U的概率分布，要求U的分布不依赖于任何未知参数；

（4）确定拒绝域，即依据直观分析先确定拒绝域形式，然后根据给定的显著性水平α和U的分布，由P{拒绝|为真}=α，确定拒绝域的临界值，从而确定拒绝域W；（5）做一次具体抽样，根据得到的样本观察值和所得的拒绝域，对假设做出拒绝或接受的判断。

例：水泥厂用包装机包装水泥，每袋额定重量50千克，某日开工后随机抽查了9袋，得其样本均值为49．9，样本方差为0．29．假设每袋重量服从正态分布，问包装机工作是否正常（）？（已知

解：（1）建立假设:μ=50，:μ≠50;

（2） 选择统计量：；

（3） 对于给定的显著性水平α，确定k，使

P{|T|>k}=α，查t分布表得：，从而得拒绝域为：|t|>2.306.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/da38987485c24028915f804d2b160b4e777f815d.html